高一数学（必修1）专题复习一
函数的单调性和奇偶性
一．基础知识复习
1．函数单调性的定义：
如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ，当21x x <时都有
()()21x f x f <，则()x f 在I 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在I 内时减函数．
2．单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么
()()()x f x x x f x f ⇔>--02
121在 []
,a b 是增函数；
()()()x f x x x f x f ⇔<--02
121在[]
,a b 是减函数；
()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔
在[],a b 是减函数．
3．函数单调性的应用：利用定义都是充要性命题．
即若()f x 在区间I 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x ，I x ∈2)；
若()f x 在区间I 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>(1x ，I x ∈2)．
① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等．
4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． （1）用定义． （2）用已知函数的单调性． （3）图象法．
（4）如果()f x 在区间I 上是增（减）函数，那么()f x 在I 的任一非空子区间上也是增（减）函数
（5）复合函数的单调性结论：“同增异减” ．
（6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． （7）在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．
（8）函数)0,0(>>+
=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
或上单调递增；在
0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝
或上是单调递减． 5．函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数．
6．奇偶函数的性质：
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称．（3）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
（4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
二．训练题目
（一）选择题
1．下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（ ） A ．842
+-=x x y B ．)(log 2
1x y -= C ．1
2
+-
=x y D ．x y -=1 2．若函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．[)3,-+∞ B ．(],3-∞- C ．(],3-∞ D ．[)3,+∞ 3．函数()f x 在递增区间是()4,7-，则(3)y f x =-的递增区间是（ ） A ．()2,3- B ．()1,10- C ．()1,7- D ．()4,10- 4．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛的实数x 的范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0 C ．()()1,00,1 - D ．()()+∞-∞-,11,
5．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，那么在区间[]7,3--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-
6．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得
()0f x <的x 的取值范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．()2,+∞
C ．()(),22,-∞-+∞
D ．()2,2-
7．若2
()2f x x ax =-+与1
)(+=x a
x g 在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．()
()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1 D ．(]0,1
8．若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．以上均不对 9．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A ．()()f x f x ⋅-是奇函数
B ．()()f x f x ⋅-是奇函数
C ．()()f x f x +-是偶函数
D ．()()f x f x --是偶函数
10．已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且
12||||x x <，则（ ）
A ．12()()f x f x ->-
B ．12()()f x f x -<-
C ．12()()f x f x ->-
D ．12()()f x f x -<-
（二）填空题
1．已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性 为 ．
2．已知奇函数()f x 在()0,+∞单调递增，且(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集
