第二章一元二次方程
３．用公式法求解一元二次方程（一）
横山县第三中学柳金帛
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.
学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.
二、教学任务分析
公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：
①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力
三、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固
活动内容：
①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0
全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算
②由学生总结用配方法解方程的一般方法:
第一题： 2x2+3=7x
解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0
两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x
配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-
x x
即: 016
25)47(2=--x
1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x
4547±=
x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21
第二题： 3x2+2x+1=0
解：两边都除以一次项系数:3
031322=++x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x
即: 01825)31(2=++x
1825)31(2-=+x ∵01825<-
∴原方程无解
活动目的：
（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。
（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习. 活动的实际效果：
通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。
第二环节 探究新知
（1）活动1：自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)
学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.
解：两边都除以一次项系数:a 02=++a
c x a b x
问：为什么可以两边都除以一次项系数:a
答：因为a ≠0
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
4)2(22
2
2
=+-++a c a b a b x a b x 即: 044)(2
22=--+a ac b a b x 2
2244)(a ac b a b x -=+ 问：现在可以两边开平方吗？
答：不可以，因为不能保证 0442
2
≥-a ac b 问：什么情况下 0442
2
≥-a ac b 学生讨论后回答：
答： ∵ a ≠0
∴ 4a 2>0 要使0442
2
≥-a ac b 只要 b 2-4ac ≥0即可
∴当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得： 2
2
44a ac b a b x -±=+ a
ac b a b x 242-±=+ a
ac b a b x 242
-±-= a
ac b b x 242-±-= 问：如果b 2-4ac<0时，会出现什么问题？
答：方程无解
如果b 2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。
活动目的：
学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
