回归模型的建立和分析

(8 分 )
^ yi ^ ei
6.443
11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
9.23 －13.381 34.675
0.557 －0.101 1.875 －8.950
(10分) (3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131. (12分)
y
n
6.06
12.09
24.09
48.04
95.77
190.9
6
12
25
n
49
2
95
n
190
2 2 ˆ ˆ e ( y y ) i i i 3.1643, i=1 i 1
n
2 2 ( y y ) y ny 25553.3. i i i 1 i=1
3.1643 R 1 0.9999. 25553.3
解：（1）散点图如右所示
天数
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数C y= eC2 x 1 的周围，于是令Z=lny,则 x Z
1 1.79
2
2.48
3
3.22
4
3.89
5
4.55
6
5.25
0.69x 1.112 ˆ ˆ y =e 由计数器算得 Z=0.69X 1.112 则有
（ 3）
ˆ ywk.baidu.com
小结
解决非线性回归问题的方法及步骤
(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、
对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；
(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问 题；
(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；
2
回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，
需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果 有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据 可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平 带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以
上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．
yi－^ yi yi－－ y
6
0.05
0.005
－0.08 －0.045 0.41
0.04 1.41
0.025 2.31
－2.24 －1.37 －0.54
2 6
所以 (yi－^ y i) ≈0.013 18， (yi－－ y )2＝14.678 4.
i＝1 i＝1
0.013 18 所以，R ＝1－ ≈0.999 1， 14.678 4
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 残差 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 图法 说明模型拟合精度越高
残差平 方和
越小 ， i＝1 残差平方和为__________ ，残差平方和_____ 模型拟合效果越好
y )2 (yi－^
n
i＝1
y i 2 yi－^
n
n
相关指 数R2
规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差 分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面．
【例2】 下表为收集到的一组数据：
x y 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x＝40时y的值． 审题指导 (1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变
10
8.12
15
8.95
20
9.90
25
10.9
30
11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析．
[思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说
明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样 本点的带状分布区域的宽窄．
[自主解答] (1)散点图如图
课题导入
前面我们已经初步学习了线性回归分析这节课我们继 续来对回归模型的建立和分析做一些探讨
本节课我们将介绍相关知识
目标引领
了解随机误差、残差、残差分析的概念； 会用残差分析判断线性回归模型的拟合效 果； 掌握建立回归模型的步骤； 通过对典型案例的探究，了解回归分析的 基本思想方法和初步应用．
1 － x ＝ (5＋10＋ 15＋ 20＋25＋30)＝17.5， 6 1 － y ＝ (7.25＋ 8.12＋ 8.95＋ 9.90＋10.9＋11.8)≈9.487， 6 x2 i ＝2 i＝1

6
275， xiyi＝ 1 076.2
i＝1
6
计算得，^ b ≈0.183，^ a ≈6.285， 所求回归直线方程为^ y ＝0.183x＋6.285. (2)列表如下：

独立自 学
回归分析 1．
相关关系 的两个变量进行统计分析的一 回归分析是对具有_________ 种常用方法． 线性回归模型 2． (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不
是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的
关系，因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b 随机误差 ． 为未知参数，e为_________
的非线性回归方程了，数据可以转化为：
x z
21
23
25
27
29
32
35
1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得回归直线方程为^ z ＝0.272x－3.849， ∴^ y ＝e0.272x－ 3.849. 残差
yi 7 11 21 24 66 115 325
2
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.
强化补清

完成教材全解相关内容
当堂诊学 为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖的个数，收
集数据如下：
天数x/ 天
繁殖个数 y/个
1 6
2 12
3 25
4 49
5
95
6 190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图； 繁殖个数 （2） 描述解释变量与预报变量 之间的关系； （3） 计算残差、相关指数R2.
R2 ＝ 1 －
解释 变量对 ， R2 表示 _____
i＝1
y 2 yi－－
预报 变量变化的贡献率，R2 越接近于 1，表 _____ 示回归的效果越好
引导探究
【例1】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影 响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x
y
5
7.25
3．刻画回归效果的方式
^i)是随 数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y ^i＝yi－y ^i 为残差， ^i 称为相应于点(xi， 机误差 ．称e e yi)的
残差
n
残差.

i ＝1
^i)2 称为残差平方和 (yi－y
残差 图
残差， 利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为_____ 样本编号 ，或_________ 身高数据 ，或 横坐标可以选为_________ 体重估计值 等，这样作出的图形称为残差图 ___________
(5)写出非线性回归方程．
目标升华：
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量 是预报变量。 （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它 们之间的关系（如是否存在线性关系等）。 （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线 性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）. （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。 （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应 残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在 异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
量x、y是否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型．
(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．
[规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y
不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布
在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待 定的参数． (4分)
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则 有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，(a＝ln c1，b＝ c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间