利用导数研究函数的零点
（求导求出极值，画出函数的草图分析）
1.已知曲线C ：32
112132
y x x x =
--+，直线:l y a = （1）若直线l 与曲线C 有唯一一个交点，求a 的取值范围；（73a <-或13
6a >） （2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求a 的取值范围；（73a =-或13
6a =）
（3）若直线l 与曲线C 有三个不同的交点，求a 的取值范围.（76a -<13
6
<）
解：令2
'2(1)(2)y x x x x =--=+-0=得11,x =-或22x = 当12x -<<时，'0y <；当1x <-或2x >时，'0y >. 所以()g x 在(1,2)-为减函数，在(,1)-∞-，(2,)+∞为增函数.
当1x =-时，取得极大值max 13
6
y =；当2x =时， 取得极大值min 73y =-
； （1）当73a <-或13
6a >时，直线l 与曲线C 有唯一一个交点；
（2）当73a =-或13
6a =时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；
（3）当713
36
a -<<时，直线l 与曲线C 有三个不同的交点.
2.已知函数3
()31,1f x x ax a =--≠ （1）函数()y f x =的单调区间；
（2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.（-3,1）
解: (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，
∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a . 由f ′(x )<0，解得－a 0时，f (x )的单调增区间为 (－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.
由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值 f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m
与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)．
x
y
(2,-7
6
)(-1,7
3
)f x () = 13∙x 3 1
2
∙x 2 2∙x + 1
2-1
3.已知函数32
11()2()32
f x x ax x a R =-
+-∈. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若过点1(0,)3
可作函数()y f x =图像的三条不同切线，求实数a 的取值范围.(2)a > 解：(1)当a ＝3时，函数f (x )＝-
13x 3+3
2
2x ，得f ′(x )＝－x 2＋3x －2＝－(x －1)(x －2)． 所以当1＜x ＜2时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 所以函数f (x )的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞) .
(2)设点P 3
2
1(,2)3
2
a t t t t -+
-是函数y ＝f (x )图象上的切点，则过点P 的切线的斜率k ＝f ′(t )＝－t 2＋at －2， 所以过点P 的切线方程为y ＋32
1232
a t t t -+＝(－t 2＋at －2)(x －t )，
因为点1(0,)3-在该切线上，所以32112332a t t t -+-+＝(－t 2＋at －2)(0－t )，即32211
0323t at -+=.
若过点 1(0,)3- 可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，则函数g (t )＝32211
323
t at -+有三个不同的零点．
即函数y ＝g (t )的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．令g ′(t )＝2t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝2
a
.
因为g (0)＝13＞0，311()2243a g a =-+ 所以必须311
()2243
a g a =-+0>，即a ＞2.
所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)．
4.(2012江苏)若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点，已知,a b 是实数，1和-1是函数3
2
()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（0,3a b ==-）
（2）设函数()g x 的导函数'()()2g x f x =+，求()g x 的极值点；（-2是1不是） （3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点的个数.
（当2c =±时，函数()y h x =有5个零点；当22c -<<时，函数()y h x =有9个零点） 解： (1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，
解得a ＝0，b ＝－3.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，
所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x <－2时，g ′(x )<0；当－20，故－2是g (x )的极值点． 当－21时，g ′(x )>0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. (3)令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c .先讨论关于x 的方程f (x )＝d 根的情况，d ∈[－2,2]．
