初二数学人教版因式分解-讲义

人教版八年级数学上因式分解讲座一、学习目标1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力．2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解．3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．二、基础知识 基本技能1．因式分解(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解的注意事项①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．②分解因式的对象必须是多项式，如把5a 2bc 分解成5a ·abc 就不是分解因式，因为5a 2bc 不是多项式；再如把1x 2－1分解为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1也不是分解因式，因为1x2－1不是整式． ③分解因式的结果必须是积的形式，如x 2＋x －1＝x (x ＋1)－1就不是分解因式，因为结果x (x ＋1)－1不是积的形式．④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x 2－x ＝x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 就不是分解因式，因为x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 不是整式的乘积形式． ⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是 1.如4x 2－6x ＝x (4x －6)．结果中的因式4x －6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x 2－6x ＝2x (2x －3)．【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )．A ．x 2y ＋x ＝x 2⎝⎛⎭⎫y ＋1x B ．x 2－4－3x ＝(x ＋2)(x －2)－3xC ．ab 2－2ab ＝ab (b －2)D ．(x －3)(x ＋3)＝x 2－9解析：选项A 右边的其中一个因式不是整式，不符合；选项B 的结果不是整式的乘积，只分解了一部分；选项D 是整式乘法；选项C 符合因式分解的意义，故选C ．解题技巧：分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：n(a＋b＋c)na＋nb＋nc，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要是整式，二要是多项式．【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？(1)12a2b＝3a·4ab；(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；(3)4x2－8x－1＝4x(x－2)－1；(4)2ax－2ay＝2a(x－y)；(5)a2－4ab＋b2＝(a－2b)2.解：(1)不是分解因式．因为等号左边必须是一个多项式，而12a2b是单项式．(2)不是分解因式．因为等号左边(x＋3)(x－3)是积的形式，右边x2－9是一个多项式，不符合分解因式的定义．(3)不是分解因式．因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x(x －2)－1不是整式积的形式．(4)是分解因式．因为等号左边2ax－2ay是一个多项式，且等号右边2a(x －y)是整式积的形式．(5)不是分解因式．因为分解因式是多项式的恒等变形，左右两边必须相等，而此题左边＝a2－4ab＋b2；右边＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2.因为左、右两边不相等，即不是恒等变形，当然不是分解因式．：判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必须是乘积的形式．2．因式分解的基本方法——提公因式法(1)公因式的意义多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab＋ac＋ad中，各项都含有因式a，故a是这个多项式的公因式．(2)公因式的确定准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式，其方法如下：①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的．如：多项式4x4＋6x2＋12x3y中，系数的最大公约数是2，相同字母为x，它的最低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x2.③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：(b＋a)n＝(a＋b)n(n为正整数)，(b－a)n＝(a－b)n(n为偶数)，(b－a)n＝－(a－b)n(n为奇数)．【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：(1)4x2y3z＋12x3y4；(2)47(x＋1)2y3－12(x＋1)3y4；(3)12x n y2n＋16x n－1y n＋1(n为大于1的整数)．(3)提公因式法①如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．我们在学习乘法分配律时知道，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，现在把它反过来就有ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，这正是提公因式法，可见提公因式法在实质上是逆用乘法分配律．②提公因式法的步骤运用提公因式法分解因式一般分为三步：第一步，确定公因式；方法：系数取最大公约数，相同因式取最低次幂。

因式分解基本方法二这节课我们学什么1. 十字相乘法（二次系数为1或不为1）；2. 分组分解法（一三、二二型分组、五项、六项、七项）；知识点梳理1、2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++十字相乘法可以看做多项式与多项式相乘的逆运算，借助十字交叉线来分解因式．2、 将多项式进行分解后运用提取公因式法，十字相乘法和公式法进行分解，其中对于综合型题目需要能分组的分组，不能分组的化简后分组因式分解典型例题分析1、 十字相乘法（二次项系数为1）；例1、分解因式26x x +-【答案：(3)(2)x x +-】例2、分解因式22496x xy y --【答案：(12)(8)x y x y -+】 例3、分解因式2()3()54x y x y +-+-【答案：(9)(6)x y x y +-++】 例4、已知多项式256(8)()x mx x x n +-=+-，求m n +的值【答案：8】例5、分解因式(1)(2)(7)(8)8x x x x +++++ 【答案：22(910)(912)x x x x ++++】2、 十字相乘法（二次项系数不为1）；例6、分解因式222x xy y +-【答案：(2)()x y x y -+】例7、已知多项式22(35)()310x y x ny x mxy y ++=++，求m n 、的值【答案： 11m = 2n =】例8、已知x ay +是22253x xy y +-的一个因式，求a 的值 【答案：12-或 3】 例9、分解因式2(1)(2)(3)(6)3x x x x x ++++- 【答案：22(46)(86)x x x x ++++】3、 分组分解法（一三、二二型分组、五项、六项、七项）；例10、分解因式225526m m n n mn -++-+【答案：(3)(2)m n m n ----】例11、分解因式(1)(1)(1)xy x y xy ++++【答案： (1)(1)xy x xy y ++++】例12、分解因式22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-【答案： (1)(1)(1)(1)x x xy y x x xy y ++-+----】例13、分解因式2422(1)1a a a a ++-+【答案： 22(1)a a ++】例14、分解因式444222222222a b c a b b c c a ++---【答案： ()()()()a c b a c b a c b a c b +++--+--】例15、分解因式2231092x xy y x y --++- 【答案： (52)(21)x y x y +++-】例16、分解因式44(5)(3)32x x ++-【答案：22(5)(3)(5)(3)22(5)(3)x x x x x x ⎡⎡⎤⎡+++++-+++⎣⎢⎢⎥⎣⎣⎦】 例17、分解因式662264121x y x y ++-【答案：22442222(41)(16441)x y x y x y x y +-+-+++ 】 例18、分解因式42424(41)(3110x x x x x -++++）【答案： 2222(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+】 例19、分解因式432673676x x x x +--+【答案： (21)(2)(31)(3)x x x x +--+】例20、分解因式2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-【答案： 22(1)(1)x y --】例21、分解因式2(3)(1)(5)x x x +-+【答案：(3)(1)1(5)x x x x +-++（）】 例22、已知多项式2225101023x xy y x y -++--的值为0，求5x y -的值【答案： 3-或1】课后练习练1． 分解因式33()(2)8a b b a -+--+ ． 【答案：6()(2)a b b a ---】练2． 2323(1)x x x x +++-分解因式为 ．【答案：2234(1)(1)x x x x x x ++++++】练3． 分解因式22222()4()x xy y xy x y ++-+ ． 【答案：222()x xy y -+】练4． 分解因式22496x x y y --- ． 【答案：(31)(31)x y x y +---】练5． 分解因式32332a a a +++【答案：2(2)(1)a a a +++】练6． 因式分解2(1)(2)(3)(6)3x x x x x ++++-【答案：22(86)(46)x x x x ++++】练7． 拆项后分解因式2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【答案：2(2)(4)(58)x x x x ++++】练8． 计算333(1)(2)(32)x x x -+-+-【答案：3(32)(1)(2)x x x ---】练9． 分解因式212a a +-【答案：(4)(3)a a +- 】练10． 分解因式223223223()()()x y z x y z ++--+【答案：22223()()()()x y y z x z x z +++-】课后小测验1. 因式分解2253x x +-【答案： (21)(3)x x -+】2. 分解因式21832x x -+【答案：(16)(2)x x --】3. 证明2241293035x x y y -+++永远比0大 【答案：22(23)(35)11x y ++++≥】4. 分解因式2232a ab b --【答案：(3)()a b a b +-】5. 因式分解212a a +-【答案：(4)(3)a a +-】本章小结。

第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。

在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。

中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。

知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a±b)2= a 2±2ab+b 2——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；例.已知a b c ，，是ABC 的三边，且222a bcab bc ca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca abc ab bcca222()()()0ab bc ca a bc选C练习 (1))(3)(2x yb y xa (2)1222baba(3)（x －1）（x ＋4）－36(4)（m 2＋n 2）2－4m 2n2(5)－2a 3＋12a 2－18a ；(6)9a 2(x －y)＋4b 2(y －x)；(7) (x ＋y)2＋2(x ＋y)＋1.三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbm an am 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解大归类知识点：因式分解：【定义】 把一个单项式或多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。

整式乘法与因式分解的对比如：x x x x +=+2)1(， 称这种式子变形为整式的 乘法 。

反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。

一、提公因式法例1：把c ab b a 323128+分解因式 （温馨提示：方法是先“找”，再“提”）“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是 ；（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是 （指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是 ，所以，238b a 与c ab 312的公因式就是 。

解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式 （分析：“找”公因式，是 ）针对性练习：1、找下列各式的公因式（1）n m 2与3mn 公因式是 （2）102x 与x 15的公因式是（3） 23x 与212xy 的公因式是 （4）bc a ab c ab 223201612+-的公因式是2、把下列各式分解因式（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2293xy x -（7）22912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()2222b a q b a p +-+（11）()()712742+-+x x a（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2二、利用“平方差公式”进行因式分解整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ， ，这个变形过程是 因式分解 。

因式分解知识点一、因式分解的概念把一个多项式化为若干个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解因式分解：多项式 = 整式1 × 整式2 × 整式3 × ……例1、下列变形属于因式分解的有______________________①ab+ac=a(b+c) ②x 2+2x+1=(x+1)2 ③a 2-b 2=(a+b)(a-b) ④(a+b)(a-b)=a 2-b 2⑤x 2+6x-9=(x-3)(x+3)+6x ⑥6ab=2a.3b ⑦)1(12x x x x +=+ ⑧))(24())(42(m n a b n m b a --=--1、下列变形属于因式分解的有______________________①x 2-2=(x+1)(x-1)-1 ②4x 2-9y 2=(2x+3y)(2x-3y) ③2a(b+c)=2ab+2ac ④16x 2y 3=2xy.8xy 2 ⑤x 2+4x+4=(x+2)2 ⑥x 2-6x+9=(x+3)22、下列变形属于因式分解的有______________________①xy 2+xz=x(y 2+z) ②6xy+2y 2=2y(3x+y) ③)1(12a a a a -=- ④x 2-8x+16=(x-4)2 ⑤a 2-4a+4=a(a-4)+4 ⑥(a+1)(a-1)=(1+a)(-1+a)知识点二、提公因式法提公因式法其实就是运用乘法分配律a(b+c)=ab+ac来变形例1、分解因式：ab+ac 例2、分解因式：4a2+10ab 例3、分解因式：2ab2-6a2b2+4a3b21、分解因式①xy-x2②mx-my ③2m+2 ④a2x+ax2+a⑤12m2n+18mn ⑥8a3b2-12ab3c ⑦3a2b2-15a3b3-12a2b2c ⑧3xy2-6x2y+9xy例4、分解因式：6p(p+q)-4q(p+q) 例5、分解因式：2(a-3)2-a+3 例6、分解因式：2(a-b)2+3(b-a)①2b(x-3)+3a(x-3) ②m 2(x-2)+m(x-2) ③x(x-y)-y(x-y)④2x(x-2)-2+x⑤6(x-5)+2y(5-x) ⑥-6(x-y)2-3y(y-x)2知识点三、公式法1、完全平方公式a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)例1、分解因式422b ab a ++例2、分解因式229124y xy x ++ 例3、分解因式-x 2+9y 2①x 2+2xy+y 2 ②a 2-4a+4 ③-x 2+2xy-y 2④1+4a+4a 2⑤412++x x ⑥2292416y xy x +-例3、(a+b)2+2(a+b)y+y 2例4、(a 2b-c)2-4(a 2b-c)+42、分解因式①x 2+2x(4a-b)+(4a-b)2②-9a 2+6a(a-b)-(a-b)2 ③16-8(x-y)+(x-y)2例5、分解因式：a2-4 例6、分解因式：9x2-16y2例7、分解因式：-x2+9y3、分解因式①a2-25 ②x2-y2③9-x2④49x2-y2z2⑤16m4n2-25p2⑥x2-6 ⑦3-4y2⑧-x2+1 ⑨-x2+4y2⑩2241ba+ -例7、分解因式：(3a+2b)2-(a-b)24、分解因式①(x-1)2-9 ②4(x-2)2-1 ③(x+2y)2-(2x-y)2。

1．因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的__________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【注意】（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．2．用提公因式法分解因式（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的__________．（2）怎样确定公因式（五看）：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．（3）提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做__________．（4）提公因式法分解因式的一般步骤：①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；②提公因式并确定另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．【注意】（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．3．用平方差公式分解因式（1）平方差公式的等号两边互换位置，得22()()-=+-a b a b a b语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的__________的积．（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．4．用完全平方公式分解因式（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得2222()-+=-a ab b a b2()a ab b a b++=+，222语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的__________的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．（3）公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做__________．K知识参考答案：1．积2．公因式，提公因式法3．差4．积，公式法K—重点用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式K—难点综合运用多种方法进行分解因式K—易错分解因式时用错公式一、提公因式法分解因式1．（1）公因式必须是每一项中都含有的因式．（2）公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式．（3）要善于发现隐蔽的公因式，如（a -b ）与（b -a ）是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式． 2．提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式，即用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式． 【例1】多项式2126abc bc -各项的公因式为 A ．2abcB ．23bcC ．4bD ．6bc【答案】D【解析】多项式2126abc bc -各项的公因式为6bc ，故选D ． 【例2】利用提公因式法分解多项式32x x +可以得到 A ．21x -B ．2(1)x x +C ．21x +D ．2x x -【答案】B二、用平方差公式分解因式1．只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式． 2．运用平方差公式分解因式的条件是多项式可以写成两个数的平方差的形式． 【例3】把多项式2425m -分解因式正确的是 A ．(45)(45)m m +- B ．(25)(25)m m +- C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：22()()a b a b a b -=+-，分解因式为：222425(2)5(25)(25)m m m m -=-=+-．故选B ．三、用完全平方公式分解因式只有符合公式左边特点的三顶式，才可以运用完全平方公式分解因式．【例4】下列各式中能用完全平方公式分解因式的是 A ．22a ab b ++B ．294y y -C ．2414a a +-D ．221q q +-【答案】C【解析】A 选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；B 选项不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；C 选项符合完全平方公式的特点；D 选项不符合完全平方公式的特点，故本选项错误，故选C ．四、综合多种方法进行分解因式如何选择分解因式的方法：分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若式中有两项，则可考虑用平方差公式；若式 中有三项，则可考虑用完全平方公式．【例5】把代数式xy 2-9x 分解因式，结果正确的是A ．x （y 2-9）B ．x （y +3）2C ．x （y +3）（y -3）D ．x （y +9）（y -9）【答案】C【解析】xy 2-9x =x （y 2-9）=x （y +3) （y -3）．故选C ．【例6】分解因式212123x y xy y -+-=__________．【答案】23(21)y x --【解析】根据因式分解的方法，先提公因式-3y ，再根据完全平方公式分解因式为：222121233(441)3(21)x y xy y y x x y x -+-=--+=--．故答案为：23(21)y x --．学@科网1．多项式-6a 2b +18a 2b 3x +24ab 2y 的公因式是 A ．2abB ．-6abC ．-6a 2bD ．-6ab 22．如果多项式-15abc +15ab 2-a 2bc 的一个因式是-15ab ，那么另一个因式是 A ．c -b +5acB ．c +b -5acC ．c -b +15acD ．c +b -15ac 3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是 A ．6a 2b 2=3ab ·2abB ．2x 2+8x -1=2x （x +4）-1C ．a 2-3a -4=（a +1）（a -4）D ．a 2-1=a （a -1a） 4．下列各式的因式分解中正确的是 A ．-m 2+mn -m =-m （m +n -1） B ．9abc -6a 2b 2=3ab （3-2ab ） C ．3a 2x -6bx +3x =3x （a 2-2b ）D ．12ab 2+12a 2b =12ab （a +b ） 5．计算1052-952的结果为 A ．1000 B ．1980 C ．2000D ．40006．把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是 A ．2(2)()a m m -+ B ．(2)(1)m a m -- C ．(2)(1)m a m -+D ．(2)(1)m a m --7．若x +y =10，xy =1，则x 3y +xy 3的值是__________．8．如果20081a b a b +=-=，，那么22a b -=__________． 9．因式分解:225101a a -+= __________． 10．把下列各式分解因式：（1）236x y xy -；（2）2332525x y x y -；（3）3241626m m m -+-；（4）22(3)3a a --+；（5）23()2()m x y y x ---；（6）2318()12()b a b a b ---；（7）1532223520x y x y x y +-；（8）6x （x +y ）-4y （x +y ）；（9）()()()a x a b a x c x a -+---；（10）()()()()m n p q m n p q ++-+-．11．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）．（1）22201199-； （2）21.99 1.990.01+⨯．12．讨论993-99能被100整除吗？13．计算：1252-50×125+252=A ．100B ．150C ．10000D ．2250014．把2x 2-4x 分解因式，结果正确的是A ．（x +2）（x -2）B ．2x （x -2）C ．2（x 2-2x ）D ．x （2x -4）15．分解因式2()4a b ab -+=__________． 16．分解因式：22n n n a a a +++=__________． 17．分解因式：x 2（x -y ）2-4（y -x ）2．18．若关于x 的多项式3x 2+mx +n 分解因式的结果为（3x +2）（x -1），求m 、n 的值．19．分解因式：1124m n m n x y x y ---（m,n 均为大于1的整数）．20．（2018·广西贺州）下列各式分解因式正确的是A ．x 2+6xy +9y 2=（x +3y ）2B ．2x 2-4xy +9y 2=（2x -3y ）2C ．2x 2-8y 2=2（x +4y ）（x -4y ）D ．x （x -y ）+y （y -x ）=（x -y ）（x +y ）21．（2018·甘肃兰州）因式分解：23x y y -=__________． 22．（2018·辽宁大连）因式分解：x 2-x =__________．23．（2018·四川攀枝花）分解因式：x 3y -2x 2y +xy =__________． 24．（2018·黑龙江大庆）已知：x 2-y 2=12，x +y =3，求2x 2-2xy 的值．1．【答案】B2．【答案】A 【解析】-15abc +15ab 2-a 2bc =-15ab （c -b +5ac ）．故选A ．3．【答案】C【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得选项C 属于因式分解，故选C ． 4．【答案】D【解析】选项A ，原式=-m （m -n +1）；选项B ，原式=3ab （3c -2ab ）；选项C ，原式=3x （a 2-2b +1）；选项D ，原式=12ab （a +b ）．故选D ．9．【答案】2(51)a -【解析】根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=2(51)a -．故答案为：2(51)a -．10．【解析】（1）原式=3xy （x -2）．（2）原式=225(5)x y y x -．（3）原式=22(2813m m m --+）． （4）原式(3)(27)a a =--． （5）原式=()(322)x y m x y --+．（6）原式=26()(52)a b b a --．（7）原式=225(314)x y xy y +-． （8）原式=2（x +y ）（3x -2y ）． （9）原式=()()x a a b c ---． （10）原式=2()q m n +．13．【答案】C【解析】原式=1252-2×25×125+252=（125-25）2=1002=10000．故选C ． 14．【答案】B【解析】2x 2-4x =2（x 2-2x ）=2x （x -2）．故选B ．15．【答案】2()a b +【解析】根据完全平方公式进行相乘，合并同类项之后再利用完全平方公式因式分解为：222222()4242()a b ab a ab b ab a ab b a b -+=-++=++=+．故答案为：2()a b +．16．【答案】2(1)n n a a a ++【解析】提取公因式n a 分解因式即可，即原式=2(1)n n a a a ++．故答案为：2(1)n na a a ++．17．【解析】x 2（x -y ）2-4（y -x ）2=x 2（x -y ）2-4（x -y ）2 =（x -y ）2（x 2-4）=（x -y ）2（x +2）（x -2）．18．【解析】由题意可得：（3x +2）（x -1）=3x 2+2x -3x -2=3x 2-x -2=3x 2+mx +n ，所以m =-1，n =-2．19．【解析】1111242(2)m n m n m n x y x y x y x y -----=-． 20．【答案】A21．【答案】()()y x y x y +-【解析】23x y y -=22()y x y -=()()y x y x y +-，故答案为：()()y x y x y +-． 22．【答案】x （x -1）【解析】x 2−x =x （x −1）．故答案为：x （x −1）．23．【答案】xy （x -1）2【解析】原式=xy （x 2-2x +1）=xy （x -1）2．故答案为：xy （x -1）2．24．【解析】∵x 2-y 2=12，∴（x +y ）（x -y ）=12，∵x +y =3①， ∴x -y =4②， ①+②得，2x =7，∴2x 2-2xy =2x （x -y ）=7×4=28．。