实验名称用恒定电流场模拟静电场
一、前言
静电场是由电荷分布决定的。给定区域内的电荷分布和介质分布及边界条件，可根据麦克斯韦方程组和边界条件来求解电场分布。但大多数情况下求不出解析解，因此，要靠数值解法求出或实验方法测出电场分布。直接测量静电场很困难，因为仪表（或其探测头）放入静电场中会使被测电场发生一定变化。如果用静电式仪表测量，由于场中无电流流过，不起作用。实验中采用恒定电流场来模拟静电场，即通过测绘点定电流场的分布来测绘对应的静电场分布。
二、教学目标
1、学会用模拟法描绘和研究静电场的分布状况。
2、测绘柱形电极和平行板电极间的电场分布。
3、掌握了解模拟法应用的条件和方法。
4、加深对电场强度及电势等基本概念的理解。
三、教学重点
1、用模拟法描绘静电场的原理。
2、模拟法应用的条件和方法。
四、教学难点
1、正确选择等势点，掌握打点的方法。
2、学会用半对数坐标纸作图。
五、实验原理
电场强度和电势是表征电场特征的两个基本物理量，为了形象地表示静电场，常采用电场线和等势面来描绘静电场。电场线与等势面处处正交，因此有了等势面的图形就可大致画出电场线的分布图，反之亦然。当我们要测出某个带电体的静电场分布
时，由于其形状一般来说比较复杂，用理论计算其电场分布非常困难。同时仪表（或其探测头）放入静电场，总要使被测场原有分布状态发生畸变，不可能用实验手段直接测绘真实的静电场。为了克服上述困难，本实验采用数学模拟法，仿造一个与待测静电场分布完全一样的电流场（称为模拟场），使它的分布和静电场的分布完全一样，当用探针去探测模拟场时，它不受干扰，因此可以间接测出被模拟的静电场。
一般情况下，要进行数学模拟，模拟者和被模拟者在数学形式上要有相同的方程，在相同的初始条件和边界条件下，方程的特解相同，这样才可以进行模拟。由电磁学理论可知，电解质（或水）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性，都是有源场和保守场，都可以引入电势U ，两个场的电势都是拉普拉斯方程。
对于电流场有：222222
0U U U x y z ∂∂∂++=∂∂∂稳恒稳恒稳恒
对于静电场有：
2222
2
2
0U U U x
y
z
∂∂∂+
+
=∂∂∂静电静电静电
在相同的边界条件下，这两个方程的特解相同，即这两种场的电势分布相似。实验中只要两种场的带电体的形状和大小，相对位置以及边界条件一样，就可以用电流场来研究和测绘静电场的分布。下面以同轴圆柱形电极的静电场和相应的模拟场——稳恒电流场来讨论这种等效性。
图1 同轴圆柱电极(a )及其静电场分布图(b )
如图1(a )所示为一个同轴圆柱电极，内电极半径为a r ，外电极内半径为b r ，内电极电势a U ，外电极电势0b U =，其间充以电容率为0ε的均匀电介质，在两极间距轴心
r 处的电势为
a
r r a r U U E dr =-⎰
（1）
由高斯定理知半径为r 的圆柱面上的电场强度为
002E r r
λπε=
（2）
其中λ是柱形电极的电荷线密度，0ε是两极间介电常数，由(1) 式和(2)式可得
0ln 2a
r
r a a r a
r
U U E dr U r λπε=-=-⋅⎰
（3）
当b r r =时，0ln()02b r b a a r U U U r λ
πε==-
⋅=，则02ln(/)
a b a U r r πελ=
，代入(3)式有：0ln(/)ln(/)ln()2ln(/)ln(/)
a b r a a a a a b a b a r r r r r
U U U U U r r r r r λπε=-⋅=-⋅=⋅
（4）
(4)式即为同轴圆柱电极间静电场中的电势分布公式。 距中心r 处电场强度为
1ln a r
r b
a
U dU E r dr
r r =-
=
（5）
图2 同轴圆柱电极的模拟模型
若上述圆柱形导体A 与圆筒形导体B 之间不是真空，而是均匀地充满了一种电导率为σ的不良导体，且A 和B 分别与直流电源的正负极相连（见图2），则在A 、B 间将形成径向电流，建立起一个稳恒电流场r E '。可以证明不良导体中的稳恒电流场r E '与原真空中的静电场r E 是相同的。
取高度为t 的圆柱形同轴不良导体片来研究。设材料的电阻率为ρ(ρ=1/σ)，则从半径为r 的圆周到半径为r +dr 的圆周之间的不良导体薄块的电阻为
2dr
dR t r
ρπ=
（6）
半径r 到r b 之间的圆柱片电阻为
ln 22b
b r b rr r
r dr R t r t r
ρρ
ππ=
=⎰ （7）
由此可知，半径r a 到r b 之间圆柱片的电阻为
ln 2a b b r r a
r R t r ρ
π=
（8）
若设U b =0，则径向电流为
2ln a b a a
b
r r a
U tU I r R r πρ=
= （9）
距中心r 处的电势分布公式为
ln(/)
ln(/)
b r a b a r r U U r r '=⋅
（10）
ln ln ln ln(/)
b r a b a r r
U U a b r r r -'=⋅
=+⋅
（11）
其中ln ;ln(/)ln(/)
a b a
b a b a U r U a b r r r r =
=-均为常数。
稳恒电流场r E '为
1ln a r r b a
U dU E r dr r r ''=-
=
（12）
(4)式同(10)式相比较，说明恒定电流场与静电场的电势分布函数是相同的，从(11)可看出柱面之间的电势r U 与ln r 为直线关系，并且r a U U 即相对电势仅是坐标的函数，与电场电势的绝对值无关。因此可用尺寸相同，边界条件相同的稳恒电流场来模拟静电场。
当采用电流场模拟法研究静电场时，应注意以下适用条件：稳恒电流场中的电极
