一、几何图形的识读与描绘
1．现实生活中接触到的各种物体，大多是由柱、锥、台、球形状的物体组成，我们研究空间几何体，不仅要了解其结构，从复杂的几何体中分解出我们熟悉的简单几何体，而且要画出三视图和直观图，定量研究需要计算的面积和体积．通过侧面展开，计算空间几何体表面积，体现出转化的思想．
由空间几何体画出其三视图和直观图，或由三视图和直观图想象出空间几何体，两者之间相互转化，可以培养我们几何直观能力、空间想象能力．
2．图形的画法
几何图形主要有三种画法：一是斜二测画法，二是三视图画法，三是中心投影法．
(1)斜二测画法
主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．
(2)三视图画法
它包括正视图、侧视图，俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．
(3)中心投影法
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影．立体几何中的图形很少用中心投影画法．画效果图时，主要用中心投影画法．识画图形是立体几何的一项重要基本功．通过本章的学习，要能够熟练进行三视图、直观图和实物的相互转化，熟练识读图形和画出图形．
[例1]一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图(不写画法)，并求其表面积．
[例2] 一个不透明的正四面体物体被一束垂直于桌面的平行光线照射，则此正四面体在桌面上的正投影可能是下列的__________．(要求把可能图形的序号都填上)
①正三角形 ②正方形
③等腰梯形 ④对角线不相等的菱形
二、柱、锥、台、球的表面积与体积
1．①棱柱的所有侧面面积的和为棱柱的侧面积，侧面积与两底面积的和为棱柱的表面积，特别地
S 直棱柱侧＝ch (其中c 、h 分别为直棱柱的底面周长和高)
S 正n 棱柱侧＝nah (a 、h 分别为正n 棱柱的底面边长和高)
②圆柱的侧面积S 圆柱侧＝2πrl ，表面积S 表＝2πr (r ＋l )(其中r 、l 分别为圆柱底面半径和母线长)
③柱体的体积V ＝sh (其中s 、h 分别为柱体的底面积和高)
V 圆柱＝πr 2h (r 、h 分别为圆柱底面半径和高)
2．①棱锥的所有侧面面积的和为棱锥的侧面积，棱锥的侧面积与底面积的和为棱锥的表面积．
S 正n 棱锥侧＝12
nah ′(其中a 、h ′分别为棱锥的底面边长和侧面等腰三角形的高(即斜高)) ②S 圆锥侧＝πrl ，
S 圆锥表＝πr (r ＋l )(其中r 、l 分别为圆锥底面半径和母线长)
③V 锥＝13
Sh (其中S 、h 分别为锥体底面面积和高) V 圆锥＝13
πr 2h (其中r 、h 分别为圆锥底面半径和高) 3．①棱台可视作棱锥用平行于底面的截面截得的．棱台的表面积等于两底面积与侧面积的和．
②S 正n 棱台侧＝12n (a ′＋a )h ′＝12
(c ＋c ′)h ′(其中a ′、a 、h ′、c ′、c 分别为正棱台两底面边长．斜高和两底面的周长)
③S 圆台侧＝π(R ＋r )l ，
S 圆台表＝π(R 2＋Rl ＋rl ＋r 2)(其中R 、r 、l 分别为圆台两底面半径和母线长)
④V 台＝13
h (S ＋SS ′＋S ′)(其中S 、S ′、h 分别为台体的上、下底面积和高) ⑤V 圆台＝13
πh (r 2＋rR ＋R 2)(其中r 、R 、h 分别为圆台两底面半径和高) 4．①球的表面积S 球＝4πR 2
②球的体积V 球＝43
πR 3(其中R 为球半径) 5．①计算空间几何体的侧面积(或表面积)一般采用侧(或表)面展开的方法．
②空间几何体的体积计算的基本原理即理论基础是祖暅原理，要特别注意．
等底等高的三角形(平行四边形)的面积相等；
等底面积、等高的两个柱体(锥体)的体积相等．
一切几何体的面积、体积计算都以熟记常见简单几何体(即柱、锥、台、球)的面积、体积公式为基础，记熟公式是解题的前提．
[例3] 如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱．
(1)试用x 表示圆柱的侧面积；
(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
三、折、展、卷、转、割补、等积变换是立体几何解决问题的特有技巧、方法和题型．应细细揣摩体会、把握．
[例4] (1)把边长为6π和4π的矩形卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为________．
(2)把半径为2的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的体积为________．
[例5] 圆柱形钢锭的轴截面是边长为5m 的正方形ABCD ，从A 到C 拉一条绳子，则最短绳长为( )
A ．10m B.52π2＋4m C ．52m D ．5π2＋1m
[例6] 如图，一扇形半径为4，中心角为240°，沿实线AB 、BC 、CD 、DA ′将阴影部分剪去，再沿虚线折成一个四棱锥O －ABCD ，则四棱锥的体积为________．
[例7]一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥容器内取出后，圆锥容器内水面的高是多少？
[例8]把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正方体的体积．
[解析]设熔制后的大铜球半径为r，
4 3π(33＋43＋53)＝
4
3
πr3，∴r＝6(cm)，
据题意：此正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体对角线的长，
故正方体的棱长a＝2r
3
＝
12
3
＝43(cm)．
∴V正方体＝a3＝(43)3＝1923(cm3)．
