《一元二次方程的概念》PPT课件

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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)

【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)．解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程．注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．

北师大九年级数学上册《一元二次方程》课件(共17张PPT)

1.判断下列哪些是一元二次方程
(×1)4x25y22 (×5)y2 1 80
y
×23x429 ×62x3y0
3y2 1 y√
3
4x2 0 √
×7 x2 3 x 4x2 7 8 ×a2x b xc0
(a、b、c为常数 )
考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
1、一元二次方程定义：把握住：①整式方程②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 2、一元二次方程一般形式：
3x24x10
49x2212 0 1
强调：在选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
考点3、一元二次方程根的判别式。
3.根的判别式△=___b_2－__4_a_c_：（1）△＞0时 __原__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数根（2）△＝0时 __原__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根（3）△＜0时 __原__方__程__无__实__数__根__________
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022

苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2x22x240
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
能用一个一般形式表示一元二次方程吗？
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bx的c形式0,我们把
ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
一次项系数
二次项系数
为什么要限制a≠0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，b,c可 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
以为零吗 a x 2 叫
？
二次项
b x叫一次项
c叫常数项
即学即用
指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
x2 2
x(192x)24
整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件.
(5 ).x 2 3 ( x 1 )( x 2 )
(6 ).ax 2 b x c 0
(7 ).m x 2 0 ( m 为不等于 0 的常数 )
把情境中的四个一元二次方程化简为右边为0的形式
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?

人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件

③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想：还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄清已知量与未知量之间的关系
设设未知数
找
找出等量关系
列
根据等量关系列方程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10，则左边≠右边，所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的

人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)

解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程

一元二次方程ppt课件

一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加到等式两边，使左侧成为一个完全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看

一元二次方程课件ppt

• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
方程
二次项一次项常数系数系数项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)

同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．

一元二次方程(第一课时)课件

一元二次方程(第一课时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过实例来解释。
二次方程的标准形式和一般形式
标准形式和一般形式的区别是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分析
学习如何分析二次函数图像以解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质

《一元二次方程的概念》教学PPT课件

3 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，那么a+b+c=_0_.如
倍果a-b+c=0那么方程的另一个根是_x_=_.-1 速课时学练
辨析概念感悟内涵
例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
学
（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为
练
0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。
线段的黄金分割
2.关于x 的方程（k-1)x│k│+1-x-2=0是一元二次方程，求 k 的值。
具体作答过程见黑板板书
倍速课时学练
回忆概念善于反思
1.本节课你收获了哪些知识？一元二次方程的概念以及根的定义一元二次方程的ax2+bx+c=0 其中 a≠0 b c为常数
2.本节课包含了哪些数学思想？
倍速课时
化简，得 x2－75x+350=0 ②
2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
学
练
列方程，得 x(x-1)=56
化简，得 x2-x-56=0 ③
类比学习剖析概念
思考方程① ② ③有什么特点？
练
类比学习剖析概念
1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax2+bx+c=0(a≠0 b c为常数）

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4
知识归纳
像这样的等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，
都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做
一元二次方程的一般形式．
பைடு நூலகம்
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）
解析：原方程化为一般形式为 x2－11x＋4＝0.
.
9
课堂小结
本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？
1、一元二次方程的概念； 2、一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用； 3、学习过程中用到的数学方法。
.
10
答案： X2-75x+350=0
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2
情境引入2
问题：组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛
一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天
安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
按以下步骤分析： ①全部比赛共有（28 ）场？ ②若设应邀请x个队参赛,那么每个队要与其他（ X-1）个队各赛1场，
全部比赛共有[ x(x-1) ]场？ ③.由此我们可以列方程[ x(x-1) /2=28 ]，化简得（ x2-x-56=0）。
.
3
探索新知
思考：
（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）是整式方程吗？
结论：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次；（3）是整式方程。
.
8
3．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)(m－1)x2＋3x＝5；(2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意得 m－1≠0，∴m≠1. (2)m＋3＝2，∴m＝－1.
4．方程(x－4)2＝3x＋12 的二次项系数是___1 ___，一次项系数是__－__11__，常数项是___4___．
后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项．
.
5
范例点击
例1：将方程 3x(x-1) = 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数。
解：去括号得 3x23x5x10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x28x100
其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．
.
7
2、将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解： (8－2x)(5－2x)＝18 去括号得 40－16x－10x＋4x2＝18，移项得： 4x2－26x＋22＝0
其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
.
6
巩固练习
1、下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1） 3x=0 （3）x2-1/X=2
(5) 4x2=9
（2） x2+2x-4=0 （4） 3y2-5x=7 （6） (x+2)2 =(x-1)2
方程(1)中 x 的最高次数不为 2；方程(2)是一元二次方程；方程(3)有分式，不是整式方程；方程(4)有两个未知数；方程(5)是一元二次方程；方程(6)化简后为 6x+3＝0，是一元一次方程．所以只有方程(2)和(5)是一元二次方程．
第二十二章一元二次方程
22.1一元二次方程
梁家寨中学教师：梁向花
.
1
情境引入1
问题引入：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
作业布置
作业：
1、必做题：教材P28 -29 习题22．1 第1、2、5题. 2、选做题：教材P29页习题22．1 第6、 7题。
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11