人教新课标版数学高二-2014年春数学人教选修4-4练习2.3直线的参数方程

第二讲 2.31．直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( C )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是 解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数)的方向向量可以是( B ) A ．(－a ，b )B ．(－a ，－b )C ．(a ，－b )D ．⎝⎛⎭⎫1，b a 解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a ，－b )，也可以是(a ，b )，不能选D ，原因是a 有可能等于0，故选B ．3．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x (x ≥0)，x 2＋y 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1故曲线C 1与C 2交点的直角坐标是(3，1)． 4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10.求l 的斜率．解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x ＋6)2＋y 2＝25 得ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)设直线l 的斜率为k ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α得l ：y ＝kx . 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，(x ＋6)2＋y 2＝25得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11＝0 ∴x 1＋x 2＝－12k 2＋1，x 1x 2＝11k 2＋1， ∴|AB |＝10＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2＋12－4×11k 2＋1⇒k ＝±153.。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。

人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2讲参数方程3 直线的参数方程课后练习新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2讲参数方程3 直线的参数方程课后练习新人教A版选修4-4的全部内容。

新人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分,共20分)1．已知直线错误!(t为参数）,下列命题中错误的是( ）A．直线经过点(7，－1）B．直线的斜率为3 4C．直线不过第二象限D．｜t｜是定点M0（3，－4)到该直线上对应点M的距离解析：直线的普通方程为3x－4y－25＝0。

由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t｜不具有上述几何意义，故选D.答案：D2．以t为参数的方程错误!表示( ）A．过点(1，－2）且倾斜角为π3的直线B．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C．过点(1，－2)且倾斜角为错误!的直线D．过点(－1，2)且倾斜角为错误!的直线解析：化参数方程错误!为普通方程得y＋2＝－错误!（x－1)，故直线过定点(1，－2)，斜率为－错误!，倾斜角为错误!.答案:C3．直线错误!（t为参数）的倾斜角为（)A．10°B．80°C．100°D．170°解析:消参数t，得错误!＝－错误!＝错误!＝tan 100°.∴直线的倾斜角为100°。

答案：C4．直线错误!(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点,则AB的中点坐标为（）A．(3,－3）B．(－错误!，3)C．(错误!，－3) D．(4，0）解析：错误!2＋错误!2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8,错误!＝6。

课后训练1．已知P 1，P 2是直线11,2322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是( )．A ．12||||2t t + B ．12||2t t + C ．12||2t t - D ．12||||||2t t - 2．若直线的参数方程为13,2332x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则此直线的斜率为( )．A ．3B ．3- 3．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为( )．A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)4．设直线的参数方程为53,104x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线的普通方程为__________． 5．直线13,:1x t l y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)上的点P (－4,13-)到l 与x 轴交点间的距离是________．6．直线3,1x t y t=-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线y ＝x 相交，则交点到点(3,1)的距离为__________． 7．经过点P (1,0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为________．8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为,2x t y m t=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？ 9．已知斜率为1的直线l 过椭圆22+=14x y 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,2252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25sin ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.参考答案1. 答案：B解析：由t 的几何意义可知，P 1P 2的中点对应的参数为122t t +，P 对应的参数为t ＝0，∴它到点P 的距离为12||2t t +. 2. C ．33 D ．33- 答案：B解析：直线的参数方程为13,233,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化为标准形式3cos120,3sin120x t y t ⎧=+(-)︒⎪⎨=+(-)︒⎪⎩(－t 为参数)，∴直线的倾斜角为120°，斜率为3-.3. D ．(2－2，2＋2)答案：D解析：曲线2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩即为圆(x －2)2＋y 2＝1．直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1， 即|2|<12b -， ∴22<<2+2b -. 4. 答案：4x ＋3y －50＝0解析：把53x t -=代入y 的表达式，得45103x y (-)=-，化简得4x ＋3y －50＝0. 5. 答案：232－解析：在直线13,:1x t l y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩中令y ＝0，得t ＝－1．故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． ∴222||=13413431=232PQ (--+)+(-)=(-)-. 6. 答案：2解析：两直线相交时，可求得t ＝1，故交点坐标为(2,2)，它到点(3,1)的距离为2.7. 答案：172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：设直线的倾斜角为α.由直线的斜率为34，得cos α＝45，sin α＝35.又直线过点P (1,0)，则直线的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入抛物线方程y 2＝x ，得234=1+55t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即9t 2－20t －25＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 中点M 的相应参数是121029t t t +==， 所以点M 的坐标是172,93⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. 解：由题知椭圆的标准方程为22+=14y x ．由直线l 的参数方程,2x t y m t =⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 得55,5255,5x t y m t ⎧=()⎪⎪⎨⎪=+()⎪⎩令5t't =，则得直线的参数方程的标准形式55255x t'y m t'⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，(t ′为参数，其绝对值的几何意义是直线上的点到点(0，m )的距离)，将其代入椭圆方程并整理，得8t ′2＋45mt'＋5m 2－20＝0.设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则根据根与系数的关系，有t 1′＋t 2′＝52m -，t 1′·t 2′＝25208m -. ∴弦长为22125520||=4648m m t 't '---⋅=， ∴2165m =，解得45±5m =. 9. 解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4. 椭圆22+=14x y 的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为23,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入椭圆方程22+=14x y ，得222322=142t t ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭， 整理，得5t 2＋26t －2＝0.设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 12265t t +=-，1225t t ⋅=-， 2121212||=4t t t t t t -(+)- 22688555⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以弦AB 的长为85. 10. 解法一：(1)由25sin ρθ=，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223=522t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2324=0t t -+.由于△＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根． 所以121232,4.t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝32.解法二：(1)同解法一．(2)因为圆C 的普通方程为x 2＋(y －5)2＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5. 由2255,35,x y y x ⎧+(-)=⎪⎨=-++⎪⎩得x 2－3x ＋2＝0. 解得1,25x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩或2,1 5.x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩ 不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝222=32+.。

更上一层楼基础·巩固1下列可以作为直线2x －y+1=0的参数方程的是( )A.⎩⎨⎧+=+=t y t x 31(t 为参数)B.⎩⎨⎧-=+=ty t x 252(t 为参数) C.⎩⎨⎧-=-=t y t x 231(t 为参数) D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 5555522(t 为参数) 思路解析：根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A 选项的斜率是1,B 选项的斜率是-2,C 选项的斜率是2,D 选项的斜率是21,所以只有C 符合条件,这里C 虽然不是标准式的参数方程,但是只有C 能化成2x-y+1=0.答案：C2已知直线l 的斜率为k=-1,经过点M 0(2,-1),点M 在直线上,以M 0的数量t 为参数,则直线l 的参数方程为_____________.思路解析：∵直线的斜率k=-1,∴倾斜角α=43π.因此得cosα=22-,sinα=22.代入参数方程的标准形式即可. 答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 221,222(t 为参数)3直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角为3π,且交直线x-y-2=0于M 点,则|MM 0|=_________. 思路解析：直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235,211(t 为参数),代入方程x-y-2=0中得 1+21t-(5+23t)-2=0⇒t=6(3-1). 根据t 的几何意义即得|MM 0|=6(3-1).答案：6(3-1)4已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ααcos 2sin 1t y t x (t 为参数),其中实数α的范围是(2π,π),则直线l的倾斜角是___________.思路解析：首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角.答案：2π-α 5已知圆x 2+y 2=r 2及圆内一点A(a,b)(a 、b 不同时为零),求被A 平分的弦所在的直线方程. 思路分析：利用直线参数方程中参数t 的性质.所以,首先设出直线的参数方程,代入圆的方程,可以得到关于参数t 的二次方程,根据参数的性质可知,方程两根的和为0.解：设所求直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数),①② 代入圆的方程x 2+y 2=r 2,整理得t 2+2(acos θ+bsinθ)t+a 2+b 2-r 2=0.设t 1、t 2为方程两根,∵A 是中点, ∴t 1+t 2=0,即acosθ+bsinθ=0.①×a+②×b,得ax+by ＝a 2+b 2+t(acosθ+bsinθ)＝a 2+b 2,故所求直线方程是ax+by=a 2+b 2.6下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:参数t 2 2 6 22 横坐标x2-2 1 2-23 0 纵坐标y 5+2 6 5+23 7根据数据,可知直线的参数方程是_________,转化为普通方程是(一般式)_________,直线被圆(x-2)2+(y-5)2=8截得的弦长为_________.思路解析：这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的一个综合问题.充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225,222(t 为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0,而由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截得的弦长恰好是圆的直径,易知直径长为24.答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225,222(t 为参数) x+y-7=0 24 7已知点A(3,0),点B 在单位圆x 2+y 2=1上移动时,求∠AOB 的平分线与AB 的交点的轨迹. 思路分析：本题综合了圆和直线的参数方程两者的应用,要注意的是当点O\,A\,B 共线这种特殊情况的讨论.解：点B 在单位圆上,则可设B(cosθ,sinθ),∠AOB 的平分线与AB 的交点为P(x,y),则分 ||||OB OA PB AP ==3,又点P 在AB 上,由直线的参数方程得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,34sin ,334cos ,4sin 3,4cos 33y x y x θθθθ即 ∴(334-x )2+(34y )2=1.整理得(x-43)2+y 2=169. 特别地,如果点B 的坐标为(1,0),则∠AOB 的平分线与AB 交于线段AB 上任一点,P 点轨迹为线段BA;如果点B 的坐标为(-1,0),则∠AOB 的平分线与AB 交于点O.∴当点B 的坐标为(1,0)时,所求轨迹为线段BA;当点B 的坐标为(-1,0)时,所求轨迹为点O; 当点B 为单位圆上其他点时,所求轨迹为以(43,0)为圆心,以43为半径的圆. 综合·应用8给出两条直线l 1和l 2,斜率存在且不为0,如果满足斜率互为相反数,且在y 轴上的截距相等,那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”.(1)现在给出4条直线的参数方程如下:l 1:⎩⎨⎧--=+=ty t x 24,22(t 为参数); l 2:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 224,223(t 为参数); l 3:⎩⎨⎧-=+=ty t x 1,1(t 为参数); l 4:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 228,226(t 为参数).其中构成“孪生直线”的是__________________.(2)给出由参数方程表示的直线l 1:⎩⎨⎧+=+=1111sin ,cos ααt y y t x x (t 为参数),直线l 2:⎩⎨⎧+=+=2222sin ,cos ααt y y t x x (t 为参数),那么,根据定义,直线l 1、直线l 2构成“孪生直线”的条件是_______________.思路解析：根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y 轴的截距相等,也就是在y 轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y 轴上的截距.令x=0得出相应的t 值,代入y 可得只有直线l 1和直线l 4在y 轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2,即tanα1+tanα2=0；然后再考虑在y 轴上的截距,首先在l 1的参数方程中,令x=x 1+tcosα1=0,可得t=11cos a x -,代入得y=y 1-x 1tanα1.同理可得直线l 2在y 轴上的截距是y=y 2-x 2tanα2.由定义中的条件“截距相等”可得y 1-x 1tanα1=y 2-x 2tanα2,即y 1-y 2=x 1tanα1-x 2tanα2.如果把tanα1=-tanα2代入式子还可以进一步得到y 1-y 2=x 1tanα1+x 2tanα1,即y 1-y 2=(x 1+x 2)tanα1. 答案：（1）直线l 1和直线l 4（2）tanα1+tanα2=0且y 1-y 2=x 1tanα1-x 2tanα2〔也可以写出y 1-y 2=(x 1+x 2)tanα1〕9已知抛物线方程：y=x 2-2x+43,过焦点F 作直线交抛物线于A 、B,且AF ∶FB=1∶2.求(1)直线AB 的方程;(2)弦AB 中点到抛物线准线的距离.思路分析：由题目中的条件可知：利用直线的标准参数方程来求解,主要考虑从t 的几何意义来入手解题.解：(1)由y=x 2-2x+43,得(x-1)2=y+41,∴焦点F （1,0）.可设直线AB:⎩⎨⎧=+=.sin ,cos 1ααt y t x 代入y=x 2-2x+43,∴t 2cos 2α-tsinα-41=0,由题意AF ∶FB=1∶2, ∴2121-=t t 或21t t =-2,即t 1=-21t 2或t 1=-2t 2. ∴⎩⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+.2,21,222212212221221t t t t t t t t t t t t 或 ∴(t 1+t 2)2=-21t 1t 2或(t 1+t 2)2·(-2)=t 1t 2,解得tanα=±42. ∴AB:y=±42(x-1). (2)设AB 中点为M,AB:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧•=•+=,31,3221t y t x t m =21(t 1+t 2)=21·163cos sin 2=αα, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=161,821m m y x准线l:y=-21.∴d=y m -(-21)=169. 10过点M （2,1）的直线l 交椭圆C ：41622y x +=1于A 、B 两点,使点M 是AB 的一个三等分点,求直线方程.思路分析：本题为一直线与圆锥曲线的相交问题,由此类问题的一般求解方法：把直线的参数方程同椭圆的参数方程联立即可,考虑利用直线参数方程中参数的几何意义来解答. 解：设AB 方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),A 、B 两点对应的参数为t 1\,t 2,则t 1=-2t 2. 则由t 1+t 2=-t 2,t 1t 2=-2t 22⇒t 1t 2=-2(t 1+t 2)2；联立C 与l 得(4sin 2α+cos 2α)t 2+(18sinα+4cosα)t -8=0.故t 1+t 2=αααα22cos sin 4)cos 4sin 8(++-,t 1t 2=αα22cos sin 48+-, ∴tanα=-8±72=k.∴l 方程为y-1=(-8±72)(x-2).11已知AB 是半径为R 的圆O 的直径,CN 为平行于AB 的弦,M 为CN 的中点,求BM 、ON 交点P 的轨迹方程.思路分析：求交点的轨迹方程问题,其一般方法是联立方程组求解即可.但入手的角度不同,选择的参数不一样,则解题思路及消参方法自然不同.解：建立直角坐标系:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 中垂线为y 轴.(自行作图)则B(R,0),设P(x,y),∵CN ∥AB,∴y m =y n .设M 纵坐标为参数t,则M(0,t),t ∈(-R,R),t≠0.则N(22t R -,t),由点斜式得l ON :y=t R -21x,l BM :y=Rt -x+t. 由于动点P 是BM 、ON 的交点,故P 的坐标同时满足以上两个直线方程,两者联立消去参数t 得P 的轨迹方程为y 2=-2R(x-2R )(0<x<2R ,-R<y<R). 12给出一个参数方程⎩⎨⎧+=+=.sin 5,cos 2ααt y t x （1）如果分别以t,α为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是什么？请分别把它们转化为普通方程.(α为参数时,设t>0,t 为参数时,设α≠2π) (2)求上述直线截上述曲线所得的弦长.(3)根据上述求解过程总结出一个结论,并用基本语句编写一个算法计算弦长.思路分析：本题综合考查参数方程,直线与曲线的位置关系以及算法等基本知识.首先根据参数方程的形式知:当t 为参数时,参数方程表示直线,当α为参数表示圆,且直线恰好过圆的圆心,所以弦长就是圆的直径.根据所给的参数方程不难得到一般结论,用算法表示弦长只需根据数据求出圆的直径,所以只需使用顺序结构即可.解：(1)以t 为参数时,所给参数方程表示的图形是过点(2,5)且斜率为tanα的直线,化为普通方程是y-5=tanα(x -2);以t 为参数时,参数方程表示以(2,5)为圆心,半径为t 的圆,化为普通方程是(x-2)2+(y-5)2=t 2.(2)上述直线恰好过圆的圆心,所以截圆所得弦长为圆的直径2t.(3)根据上述计算过程可以总结出一般的结论为:对于一个参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (α为参数时,设t>0,t 为参数时,设α≠2π),如果分别以t,α为参数,则所给的参数方程表示的图象分别是一条直线和一个圆,且直线过圆的圆心,所以直线截圆所得弦长是圆的直径2t.用基本语句写出表示弦长的算法如下:INPUT“参数t(t>0)”;t,d=2t,PRINT“所给参数方程表示的直线被圆截得的弦长是”;d,END.。

自我小测1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 是参数)表示的曲线是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则该直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．300°D ．150°3．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长为( ) A ．225 B ．425C ．2 2D ．3254．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°(t 为参数)，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两条平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1,2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1,2)的直线5．与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程(其中t 为参数)是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t ，y ＝cos 2tB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec t ，y ＝－tan 2t C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t D ．⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t6．若⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tc os α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t的关系是( )A ．λ＝5tB ．λ＝－5tC ．t ＝5λD ．t ＝－5λ 7．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1,2)，则|AB |＝________.8．已知直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|＝__________.9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB的长度．10．已知直线l 过点P (－1,2)，且方向向量为n ＝(－1，3)，圆的方程为ρ＝2c os ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. (1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值．参考答案1． 解析：y ＝2表示一条平行于x 轴的直线． ①当t ＞0时，x ＝t ＋1t ≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1时，取等号； ②当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2t ·1t＝－2，当且仅当t ＝－1时，取等号， 综上，x ≥2或x ≤－2.故参数方程表示的曲线是两条射线． 答案：D2．解析：y －y 0＝－3(x －x 0)，斜率k ＝－3，倾斜角为120°. 答案：B3．解析：直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，将其代入圆的方程得t 2＋2＝4，解得t 1＝－2，t 2＝2，所以所求弦长为|t 1－t 2|＝|－2－2|＝2 2. 答案：C4．解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋(－t )cos 150°，y ＝2＋(－t )sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1,2)，故两条直线重合．答案：B5．解析：原方程中x ∈R ，而选项A 中x ∈[－1,1]，选项D 中x ≥0，原方程中y ＝1－x 2≤1，选项B 中y ≤0，故选C.答案：C6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－3λ，x ＝x 0＋tc os α，得－3λ＝tc os α.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0＋4λ，y ＝y 0＋t sin α，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.答案：C7．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0.又A (1,2)，所以|AB |＝52. 答案：528．解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x－y －2＝0，得1＋12t －⎝⎛⎭⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)9．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 是参数)，代入椭圆方程x24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫3＋22t 24＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10． 解：(1)∵n ＝(－1，3)， ∴直线l 的倾斜角为2π3.∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋tc os2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2⎝⎛⎭⎫12c os θ－32sin θ＝c os θ－3sin θ，∴ρ2＝ρc os θ－3ρsin θ. ∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23， 即|PM |·|PN |＝6＋2 3.。