洛必达法则巧解高考压轴题

洛必达法则巧解高考压轴题

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洛必达法则巧解高考压轴题

洛必达法则：

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：

(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a

g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；

(3)()()

lim x a f x l g x →'='， 那么 ()

()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 00

型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：

(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；

(3)()()

lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 ∞∞

型 注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则

也成立。

○

2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 典例剖析

例题1。 求极限

（1）x

x x 1ln lim 0

+→ (∞∞型) （2）lim x ®p 2

sin x -1cos x (00型) （3） 20

cos ln lim x x x → (00

型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型)

变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22

)2(sin ln lim x x x -→ππ

例题2。 已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2

（1）当1-=m 时，求)(x f 在[]1,2-上的最小值

（2）若)()2('2x f x m x >++在()0,∞-上恒成立，求m 的取值范围

例题3.已知函数)0(,)(>++

=a c x

b ax x f 的图像在点())1(,1f 处的切线方程为1-=x y ， （1）用a 表示

c b ,

（2）若x x f ln )(≥在[)+∞,1上恒成立，求a 的取值范围

例题4.若不等式3sin ax x x ->在⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈2,

0πx 是恒成立，求a 的取值范围

例题5.已知2)1()(ax e x x f x --=

（1）若)(x f 在1-=x 时有极值，求函数)(x f 的解析式

（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围

强化训练

1. 设函数x e x f -1)(-=

（1）证明：当1->x 时，1)(+≥

x x x f 。 （2）当0≥x 时1

)(+≤

ax x x f 求a 的取值范围

2.设函数2()1x f x e x ax =---。

（1）若0a =，求()f x 的单调区间；

（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

3．已知函数x

b x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >

+-，求k 的取值范围。

4.若函数x

x x f cos 2sin )(+=， （1）求)(x f 的单调区间。

（2）对0≥∀x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围