专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第1节 集合、常
用逻辑用语
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·浙江)设集合A ＝{x | 1＜x ＜4}，集合B ＝{x | x 2
－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝
A ．(1,4)
B ．(3,4)
C ．(1,3)
D ．(1,2)∪(3,4)
解析 首先用区间表示出集合B ，再用数轴求A ∩(∁R B )．解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，∴B ＝[－1,3]，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A ∩(∁R B )＝(3,4)． 答案 B
2．(2012·福建)下列命题中，真命题是
A ．∃x 0∈R ，0e x
≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b
＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 解析 应用量词和充要条件知识解决．
对于∀x ∈R ，都有e x
＞0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x
＝x 2
，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b
无意义，故选项C 是假命题；当a ＞1，b ＞1时，必有ab ＞1，但当ab ＞1时，未必有a ＞1，b ＞1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞1，但a 不大于1，b 不大于1，故a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件，选项D 是真命题． 答案 D
考题分析
高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用，常用逻辑用语考查知识面十分广泛，可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容．考查的形式多为选择题，难度不大，但需掌握基本知识与方法．
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考点一：集合的概念与运算
【例1】(1)(2012·朝阳二模)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a等于A．1 B．0 C．－2 D．－3
(2)(2012·西城二模)已知集合A＝{x| log2x＜1}，B＝{x| 0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B ＝B，则c的取值范围是
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)
(3)(2012·宜春模拟)设全集U＝R，A＝{x| 2x(x－2)＜1}，B＝{x| y＝ln(1－x)}，则图中
阴影部分表示的集合为
A．{x| x≥1} B．{x| 1≤x＜2}
C．{x| 0＜x≤1} D．{x| x≤1}
[审题导引] (1)利用子集的定义求解；
(2)解出A，然后借助于数轴解决；
(3)观察图形，求得阴影部分表示的集合，解出A，B并求解．
[规范解答] (1)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.
(2)解不等式log2x＜1，得0＜x＜2，
∴A＝{x| 0＜x＜2}．
∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴c≥2.
(3)解不等式2x(x－2)＜1＝20得0＜x＜2，
∴A＝{x| 0＜x＜2}．
又易知B＝{x| x＜1}，图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x| 0＜x＜2}∩{x| x≥1}
＝{x| 1≤x＜2}．
[答案] (1)C (2)D (3)B
【规律总结】
解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路
(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合．
(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化． 一般规律为：
①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若给定的集合是点集，用数形结合法求解； ③若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解．
[易错提示] (1)准确理解集合中代表元素的属性，以求解有关不等式(如例1中的第(3)题，集合B 表示函数y ＝ln(1－x )的定义域)．
(2)在借助于数轴进行集合的运算时，要标清实点还是虚点，避免漏解或增解(如例1中的第(2)题)． 【变式训练】
1．(2012·三明模拟)已知集合M ＝{m ，－3}，N ＝{x | 2x 2＋7x ＋3＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠∅，则m 等于
A ．－1
B ．－2
C ．－2或－1
D ．－32
解析 由2x 2
＋7x ＋3＜0，得－3＜x ＜－12，
又x ∈Z ，∴N ＝{－2，－1}， 又M ∩N ≠∅，∴m ＝－2或－1.
答案 C
2．(2012·海淀二模)设全集为R ，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x 2
4
＋y 2
＝1
，N ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －3
x ＋1≤0
，则集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋322＋y 2＝
1
4可表示为 A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．(∁R M )∩N
D ．M ∩(∁R N )
解析 根据椭圆的有界性知M ＝{x | －2≤x ≤2}，解不等式
x －3
x ＋1
≤0，得N ＝{x | －1＜x ≤3}．
由圆的定义可得⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋322＋y 2＝
1
4 ＝{x | －2≤x ≤－1}，
即⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋322＋y 2＝
14＝M ∩(∁R N )． 答案 D
