幂函数练习题及答案解析
13
)n
，则n ＝________. 解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－13
)n
，
∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2
1．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)
解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减．
2．幂函数的图象过点(2，1
4
)，则它的单调递
增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞) 解析：选C.
幂函数为y ＝x －2
＝1
x
2，偶函数图象如图．
3．给出四个说法：
①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y＝x n在第一象限为减函数，则n ＜0.
其中正确的说法个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－1 2的
图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.
4．设α∈{－2，－1，－1
2，
1
3，
1
2，1,2,3}，
则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.∵f(x)＝xα为奇函数，
∴α＝－1，1
3，1,3.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.
5．使(3－2x－x2)－3
4
有意义的x的取值范围是()
A．R B．x≠1且x≠3
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
解析：选 C.(3－2x－x2)－3
4＝
1
4
(3－2x－x2)3
，
∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，
解得－3＜x＜1.
6．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝()
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m ＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.
7．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值
范围可以是1,2,3，－1，1
2)的图象恒过点
________．
解析：当x－1＝1，即x＝2时，无论α取何值，均有1α＝1，
∴函数y＝(x－1)α恒过点(2,1)．
答案：(2,1)
8．已知 2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．
答案：α＜0
9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76
)0
按从小到大的顺
序排列____________________．
解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23
)0
＝1，
(35)12＜1，(25
)1
2＜1， ∵y ＝x 1
2
为增函数，
∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23
)－13. 答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23
)－1
3
10．求函数y ＝(x －1)－
2
3的单调区间． 解：y ＝(x －1)－
2
3＝1(x －1)23＝
1
3(x －1)2
，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －
2
3，t ≠0为偶函数．
因为α＝－23
＜0，所以y ＝t －
23在(0，＋∞)上
单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x －1
单调递增，故y ＝(x －1)－
2
3在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．
11．已知(m ＋4)－
1
2＜(3－2m )－
1
2，求m 的取值范围．
解：∵y ＝x －
1
2的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．
∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋4＞03－2m ＞0m ＋4＞3－2m ，
解得－13＜m ＜3
2
.
∴m 的取值范围是(－13，3
2)．
12．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3
(m ∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
解：由幂函数的性质可知
m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1，
又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0.
当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3
， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，
∴y ＝x －3
在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，
又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，
