反证法

反证法（麻城实验高中：阮晓锋）定义：反证法就是从命题结论的否定出发，先假设结论的否定成立， 然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得到与已知条件， 已知公理，定理，定义，法则，公式等相矛盾的结果。

这样就 证明了结论的否定不成立，从而得出原命题的结论成立。

证题步骤：一般地，反证法的证题步骤如下1.反设：即假设命题的结论不成立，从而命题结论的否定成立。

2.导出矛盾：即在上述“命题结论的否定”参与推理的前提下，得到矛盾。

3.肯定结论：即由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

适证题型：主要是以下两类⑴含否定性词语或含“至多，至少，唯一，无限”等词语的命题。

⑵不易找到直接证明的思路，但若从反面入手问题变得容易解答的命题。

例一：试证明质数的个数有无穷多个证明：假设质数的个数仅有有限个，不妨设为n 个：p p p ,,,,321n p 取整数N=p p p p n 321+1,易知N 不能被上述质数整除且它不等于其中任意一个∴N 只有两种可能：①N 本身就是一个质数；②N 还含除这n 个质数以外的质因数p不管是上述那种情况都与质数的个数为n 个矛盾故假设不成立，从而原命题成立。

例二：求证：直径是圆中最长的弦证明：如图，假设直径AB 不是☉O 中最长的弦则一定存在弦CD>AB.连接OC,OD,则OC+OD=AB∵OC+OD>CD∴AB>CD 这与CD>AB 矛盾∴假设不成立，从而原命题成立。

例三：证明2是无理数 O A BC D证明：假设2是有理数，则可设2=qp （p,q 是互质的整数） ∴p=2q,于是得q 22=p 2 故p2是偶数，因而p 是偶数 ∴又可设p=2k(k 为正整数），从而得q 2=k 22 故q 2是偶数，从而得q 也是偶数∴p,q 都是偶数，从而2为其公约数，这与p,q 互质矛盾 ∴2必为有理数。

例四：当a a 21=2(b 21b +)时，试证方程b a x 112x ++=0和b a x 222x ++=0中至少有方程有实数根。

2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。

下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。

一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤：1. 假设待证命题的反命题为真；2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；3. 由此得出结论，待证命题为真。

二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。

由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。

设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。

同样地，可知b也是2的倍数。

这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。

2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。

考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。

根据素数的定义，M必然是一个合数。

而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。

然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。

这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。

3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。

由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。

根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。

设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。

同样地，可知b也是3的倍数。

这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。

4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

自然界的反证法
（原创实用版）
目录
1.反证法的定义和概述
2.反证法在自然界中的应用实例
3.反证法在科学研究中的重要性
4.反证法的局限性和注意事项
正文
1.反证法的定义和概述
反证法是一种逻辑推理方法，其基本思想是先假设某个命题的否定成立，然后通过推理证明这个假设会导致矛盾。

如果证明了矛盾，那么原命题就是正确的。

这种方法在数学、物理、化学等自然科学领域中被广泛应用。

2.反证法在自然界中的应用实例
在自然界中，反证法被用于解释一些奇特的现象。

例如，在物理学中，著名的狄拉克方程通过运用反证法，证明了电子必须存在负能量状态，从而解释了为什么没有观测到所有电子都处于正能量态的现象。

另一个例子是生物学中的“物种大爆发”现象。

科学家们通过反证法推理，假设物种的逐渐演化过程中不存在大规模的爆发，然后通过这个假设推导出现象的矛盾。

这使得科学家们相信，物种大爆发现象是真实存在的。

3.反证法在科学研究中的重要性
反证法在科学研究中的重要性不言而喻。

许多科学理论和发现都是通过反证法推理得出的。

反证法使得科学家们能够从一个独特的角度出发，对现象进行深入的研究和探讨。

4.反证法的局限性和注意事项
尽管反证法在科学研究中具有重要作用，但它并非万能。

反证法的局限性在于，它只能证明某个命题的正确性，而无法证明其错误性。

此外，反证法的使用也需要谨慎，因为错误的假设可能导致错误的结论。

总的来说，反证法是一种重要的逻辑推理方法，它在自然科学领域中发挥着重要作用。

反证法逆否命题
反证法（proof by contradiction）是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论为假，然后推导出矛盾，从而证明原始假设为真。

这个方法的基本思想是通过反证法来证明一个命题，首先假设它的否定，然后通过逻辑推导导出一个矛盾，从而证明原命题成立。

逆否命题（contrapositive）是一个命题的逻辑等价形式，对于命题"如果P，则Q"，其逆否命题是"如果非Q，则非P"。

在逆否命题中，原命题的条件和结论都被否定，并且这两者的关系保持不变。

在证明过程中，有时会将反证法与逆否命题结合使用。

具体步骤如下：
1. 反证法的步骤：
-假设原命题的否定为真。

-推导出一个矛盾。

-得出结论：原命题为真。

2. 逆否命题的应用：
-将原命题表示为"如果P，则Q" 的形式。

-将其逆否命题表示为"如果非Q，则非P" 的形式。

-在证明过程中，有时会转而证明逆否命题，因为逆否命题的证明可能更容易。

总体而言，反证法是一种更宽泛的证明方法，而逆否命题则是一种特殊的逻辑形式，两者在某些情况下可以相互补充使用。

在证明中选择使用哪种方法通常取决于具体问题的性质和证明的难易程度。