总体参数的区间估计

P( x t a S x x t a S x ) 1 a
称为置信半径； ta S x
（5-13）式称为总体平均数μ 置信度为1-a的置
信区间。其中
x和 ta S x
分别称为置信下限和置信上限； 置信上、下限 x ta S x
之差称为置信距，置信距越小，估计的精确度就
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ˆ 只是总体百分数 ρ 的点估计值。 P
当 n 1000 ， 99%置信区间为：
ˆ 时 ， 1 %总 体 ρ 的95%、 P
ˆ 1.96S ˆ P ˆ 1.96 （ 5-16 ） P S ˆ P P
ˆ 2.58S ˆ P ˆ 2.58 （ 5-17 ） P S ˆ P P
总体参数的区间估计
所谓参数估计就是用样本统计量来估计总 体参数，有 点估计 （point estimation）和区 间估计 （interval estimation） 之分。
将样本统计量直接作为总体相应参数的估 计值叫点估计。点估计只给出了未知参数估计 值的大小，没有考虑试验误差的影响，也没有 指出估计的可靠程度。
P(t a t t a ) 1 a ，也就是说 t在区间
t a , t a 内取值的
可能性为1-a，即：
x P(t a ta ) 1 a Sx
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对
x ta ta 变形得： Sx
5-13） x t a S x x t a（ Sx 亦即
即
8.01% 11.99%
Baidu Nhomakorabea
8.49% 11.15%
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t 0.01(9)，因此 3.250
得 t 0.05(9) 2.262 ，
95%置信半径为 95%置信下限为
t 0.05(df ) S x 2.262 0.08 0.18
x t 0.05(df ) S x 1.2 0.18 1.02
95%置信上限为
x t 0.05(df ) S x 1.2 0.18 1.38
x t 0.01(df ) S x 1.2 0.26 1.46
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所以该免疫球蛋白总体平均数μ 的99%置信
区间为
0.94(kg) 1.46(kg)
二、二项总体百分数ρ 的置信区间
样本百分数 百分数的置信区间则是在一定置信度下对总体百 分数作出区间估计。求总体数的置信区间有两种 方法：正态近似法和查表法，这里仅介绍正态近 似法。
ˆ 其中， P 为样本百分数， 为样本百分数标准 S ˆ P
误， 的计算公式为： SP ˆ
SP ˆ ˆ (1 P ˆ P ) 5-18） （ n
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【例5.10】 调查某地1500老年人，患结核病
的有150人，求该地区老年人结核病患病率的
95%、99%置信区间。
ˆ ，采用正态分布近似法求 由于>1000， >1% P 置信区间。
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区间估计是在一定概率保证下指出总体参数 的可能范围，所给出的可能范围叫 置 信 区 间
（confidence interval），给出的概率保证称为
置 信 度 或 置 信概 率 （confidence probability）。本节介绍正态总体平均数和二项 总体百分数P的区间估计。
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一、正态总体平均数的置信区间
设有一来自正态总体的样本，包含n个观测
xn 值 x1 , x2 ,, ，样本平均数
误
Sx S
x ，标准 x n
。总体平均数为 μ。 n

因为 t ( x 服从自由度为 n-1的 t分布。双 ) Sx 侧概率为a时，有：
例9 10名患者某免疫球蛋白测值为1.5、 1.2、 1.3、 1.4、 1.8、0.9、1.0、1.1、 1.6、 1.2（单 位），求该免疫球蛋白总体平均数的置信区间。
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经计算得 由
， x 1 .2
，0.08 Sx
，查 df n 1 10 1 t9值 表
因为
ˆ (1 P ˆ) P SP ˆ n
0.1 (1 0.1) 0.0077 1500
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所以该地区老年人结核病患病率ρ 的95%、 99%置信区间为：
0.1 1.96 0.0077 0.1 1.96 0.0077
0.1 2.58 0.0077 0.1 2.58 0.0077
越高。
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常用的置信度为95%和99%，故由（5-13）
式可得总体平均数μ 的95%和99%的置信区间如
下：
（ x t 0.05 S x x t 0.05 S5-14 x ） （ 5-15 ） x t 0.01S x x t 0.01 S x
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所以该免疫球蛋白总体平均数μ 的95%置信 区间为
1.02 1.38
又因为
99%置信半径为
99%置信下限为 99%置信上限为
t 0.01(df ) S x 3.25 0.08 0.26
x t 0.01(df ) S x 1.2 0.26 0.94