2021届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(文)试题

2021届陕西省西安市第一中学高三上学期模拟调研考试数学（文）试题一、单选题1．若1z i =-+，则1z z+=（ ）A ．0B ．2C ．1D【答案】B【解析】由共轭复数定义写出复数z ，求出1z z+后，再由模的公式计算模． 【详解】1i z =--，()i 1i 1i11i 1i 222z z -+-===+--，则12z z +=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求复数的模，考查复数的除法运算及共轭复数的概念，根据定义直接计算求解．属于基础题．2．已知集合{}4A x x a =-≤，(){}30B x x x =-≤，且{}02A B x x ⋂=≤≤， 则a =（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4【答案】A【解析】确定集合,A B 的元素，根据交集的结果得出a 的值． 【详解】由题意，{}4A x x a =≤+，{}03B x x =≤≤，又{}02A B x x ⋂=≤≤，故42a +=，得2a =-，故选：A ． 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题．3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A．cos3cos8απB．sin3sin8απC．3cos8cosπαD．3sin8sinπα【答案】C【解析】设O为正八棱锥S ABCDEFGH-底面外接圆心，连接OA，OB，OE，由题意可得，38OABπ∠=，SABα∠=，运用锐角三角函数可得选项．【详解】如图，O为正八棱锥S ABCDEFGH-底面外接圆心，连接OA，OB，OE，由题意，38OABπ∠=，SABα∠=，则3cos138cos cos28cosSAAB SA OAOAππαα=⋅=⋅⇒=.故选：C．【点睛】本题考查对数学文化的理解，以及空间中的角的实际运用，考查空间想象能力，属于中档题．4．在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中，任取一个，是钝角三角形的概率为（）A．12B．13C．14D．23【答案】A【解析】由已知列举出所有的基本事件，根据古典概率公式可得选项．如图，以正五边形 ABCDE 的顶点为顶点的三角形有ABE △、ADC 、BAC 、BDE 、CBD 、CAE 、DCE 、DAB 、EAD 、EBC 10个，钝角三角形有ABE △、BAC 、CBD 、DCE 、EAD 5个，是钝角三角形的概率为12. 故选：A ．【点睛】本题考查古典概率的计算，采用列举法是常用的方法，属于基础题．5．已知变量x ，y ，z 都是正数，y 与x 的回归方程：ˆˆ3ybx =+，且x 每增加1个单位，y 减少2个单位，y 与z 的回归方程：2ˆ2yz =，则（ ） A ．y 与x 正相关，z 与x 正相关 B ．y 与x 正相关，z 与x 负相关 C ．y 与x 负相关，z 与x 正相关 D ．y 与x 负相关，z 与x 负相关【答案】D【解析】根据x 每增加1个单位，y 减少2个单位，可得ˆ2b=-，所以y 与x 负相关，又y 与z 正相关，所以z 与x 负相关. 【详解】因为x 每增加1个单位，y 减少2个单位，所以ˆ2b=-，所以y 与x 负相关， 又y ，z 都是正数且2ˆ2yz =，所以y 与z 正相关， 所以z 与x 负相关. 故选：D. 【点睛】本题考查了两个变量的相关性，属于基础题.6．P 是圆()22:34M x y +-=上的动点，则P 到直线330l x y --=的最短距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．1【解析】利用点到直线的距离公式可求得圆心到直线的距离，再减去半径即为所求. 【详解】如图，过M作MA l⊥于A，当P在线段MA上时，PA为最短距离，23033331MA⋅--==+，21PA MA=-=.故选：D.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解决问题的灵活性.7．设函数()()2cos22f x x aπϕϕ⎛⎫=++<⎪⎝⎭在571212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图像大致如图，则a与ϕ分别为（）A．1-和6π-B．1和3π-C．1和3πD．1和6π【答案】C【解析】由图知()f x的最大值为3和图象过点()02，，代入可得选项.【详解】由图知()f x的最大值为3，即231a a+=⇒=，又2cos123πϕϕ+=⇒=±，由图可看出()f x 的图像是由()cos2g x x =的图像首先向左平移，再向上平移后得来的，则3πϕ=.故选：C. 【点睛】本题考查由三角函数的图象求函数的解析式，属于基础题.8．若153a⎛⎫= ⎪⎝⎭，则5log 3a =（ ） A ．1- B ．1C ．25log 3D ．23log 5【答案】A【解析】由对数运算与指数运算的关系可得3log 5a =-，再由换底公式即可得解. 【详解】由153a⎛⎫= ⎪⎝⎭可得331log 5log 5a ==-， 则353533log 3log 3log 5log 3log 51log 5a =-⋅=-⋅=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数运算与指数运算的转化，考查了对数运算法则及换底公式的应用，属于基础题.9．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．14B ．310C ．34D ．45【答案】D【解析】根据给定的程序框图，得到运行时的计算功能，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的程序框图，可得1111()11S S S n n n n =+⋅=+-++， 又由11111111122311S n n n =-+-++-=-++，当4n =时，程序终止，输出14155S =-=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据给定的程序框图，得出程序运行时的计算功能是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 10．已知22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，cos23sin 10αα++=，则tan α=（ ）A ．B ．-C D 【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式化为sin α，解方程得sin α，然后由同角间的三角函数关系求得结论． 【详解】2212sin 3sin 102sin 3sin 20αααα-++=⇒--=，1sin 2α=-或sin 2α=，由sin 1α≤，所以1sin 2α=-，cos tan αα=⇒=故选：B ． 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查同角间的三角函数关系，属于基础题．11．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于第一象限的一点A ，1F 为左焦点，直线1F A 的倾斜角为4π，则离心率为（ ）A ．)21B 1C ．D【答案】B【解析】由平面几何知识得2122AF F F c ==，122AF c =，再由双曲线的定义表示长轴长，根据离心率的定义可得选项. 【详解】如图，由题意，2122AF F F c ==，122AF c =， 可得：1222222121c AF AF c c a e a -=-=⇒===+-. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义和求双曲线的离心率，属于中档题.12．边长为4的正方形ABCD 的四个顶点都在球O 上，OA 与平面ABCD 所成角为4π，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．32πC ．16πD ．128π【答案】A【解析】先根据线面角求得球的半径，再由球的表面积公式可得选项. 【详解】如图，设正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ，由题意，14OAO π∠=，则1cossin444AO AO AD AO AD ππ=⋅=⋅⇒==，球的表面积24464S ππ=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查空间中的线面角的定义和计算，以及球的表面积，属于中档题.二、填空题13．x 、y 满足约束条件220200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为______.【答案】1【解析】作出可行域，目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】2y x z -=，2y x z =+，z 的几何意义是直线在y 轴上截距，作出可行域的图，如图，阴影部分，作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增大，当直线l 过点(0,1)C 时，2z y x =-取得最大值1．故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题方法作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解，属基础题．14．设向量()1,2a =-，()2,5b m m =-，若//a b ，则m =____________. 【答案】1【解析】根据平面向量共线的坐标表示列式可解得结果.【详解】因为//a b ，()1,2a =-，()2,5b m m =-， 所以1(5)(2)20m m ⨯---⨯=，解得1m =. 故答案为：1 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.15．曲线2x y e x =-的一条切线方程为0x y a ++=，则a =_____________. 【答案】1-.【解析】求得函数的导数2xy e '=-，根据曲线的一条切线方程为0x y a ++=，求得切点的坐标，将切点坐标代入切线方程，即可求解. 【详解】由题意，函数2xy e x =-，可得2x y e '=-，因为曲线2xy e x =-的一条切线方程为0x y a ++=， 令21x e -=-，解得0x =，当0x =时，01y e ==，即切点为()0,1，将切点()0,1代入0x y a ++=，可得010a ++=，解得1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答熟记曲线在某点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.16．长方体1111ABCD A B C D -的展开图如图所示侧面展开图是正方形1AMNA ，下底面为矩形ABFE ，且22AB AE ==，对角线1A M 上一动点Q ，当AQ FQ +最小时，AQF ∠的余弦值为______.【答案】5665【解析】A 关于对角线1A M 的对称点是N ，连FN 与1A M 交于Q ，此时AQ FQ FN +=最小，由此先由余弦定理计算cos AMF ∠，再由余弦的二倍角公式计算出cos AQF ∠． 【详解】A 关于对角线1A M 的对称点是N ，连FN 与1A M 交于Q ，此时AQ FQ FN +=最小，由题意得：16A A AM ==，62AN =，227465FN =+=，5AF =，由余弦定理得：cos 26265130ANF ∠==⋅⋅，256cos 221651cos 30AQF ANF ∠=∠=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：5665．【点睛】本题考查余弦定理，余弦的二倍角公式，解题关键是利用对称性找到使AQ QF +最小时的点Q 的位置．三、解答题17．公差0d ≠的等差数列{}n a 中，数列{}n a 的前n 项和为n S 且520S =，3a 是1a 与7a 的等比中项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n n b a =⋅求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）22n n +⋅.【解析】（1）由已知条件建立方程组，解之可得数列的通项； （2）由（１）得()1212n an n n b a n +=⋅=+⋅，运用错位相减法可求得数列的和．【详解】（1）由题意，()()()22111131715262524120202a d a a d a a a a a d d S ⎧+=+⎧==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==⎩=⎩⎪⎩，得：1n a n =+.（2）()1212n an n n b a n +=⋅=+⋅，()2312232212n n n T n n +=⨯+⨯++⋅++⋅①， ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅②，①-②得：()234122222212n n n T n ++-=⋅++++-+⋅()()312222122212212n n n n n -++-=+⋅-+⋅=-⋅-，得22n n T n +=⋅.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，运用错位相减法求数列的和，属于中档题． 18．如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，1O 、O 分别是上、下底面的圆心，C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是1AA 与BC 中点.（1）求证：//DE 平面11A CB ；（2）求DE 与平面1B BC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（227. 【解析】（1）取1CB 的中点为M ，连接DE ，ME ，1A M ，由平面几何知识可证得四边形1A DEM 是平行四边形，再运用线面平行的判定定理可得证.（2）设AB a ，点D 到平面1B BC 的距离为h ，由线面平行可得h 等于点A 到平面1B BC 的距离，根据线面垂直的性质和勾股定理，以及线面角的定义可得答案． 【详解】（1）取1CB 的中点为M ，连接DE ，ME ，1A M ，则11////EM BB AA ，且1112EM AA A D ==， ∴四边形1A DEM 是平行四边形，所以1//DE A M ，又1A M ⊂平面11A CB ，∴//DE 平面11A CB .（2）设AB a ，点D 到平面1B BC 的距离为h ，则由1////DA B B DA ⇒平面1B BC ， 故h 等于点A 到平面1B BC 的距离，AC CB ⊥，1AC B B AC ⊥⇒⊥平面1B BC ，故2h AC ==，. 而2222222221414241641++2DE AE AD a a DE a a ⎛⎫⎛⎫=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎭⎣⎦. 故所求线面角的正弦为277h DE =.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的定义与计算，属于中档题．19．我国西北某地区很适合优质苹果生长，种植了大量苹果.为了防止虫害，在苹果刚结果时，就给每个果子套上袋子，在成熟采摘时，一经销商来收购苹果，一次只能收购一个果园的苹果.苹果分为一、二、三、四四个等级，“一等”苹果经销商售价为8元/千克，“二等”苹果售价为6元/千克，“三等”苹果售价为5元/千克，“四等”苹果售价为1元/千克，现有甲、乙两个果农，甲果农的苹果3元/千克，乙果农的苹果3.2元/千克，收购商还要付其它费用0.5元/千克，收购商要在甲、乙两个果农中选择一人的苹果收购，由于果园的苹果量很大，不可能每个都检查，由于套着袋子，收购商看不见苹果，所以在甲、乙两个果农的果园中各采摘40千克样本，制成如下表（单位：千克）：一等二等三等四等甲果农的苹果（千克）810148乙果农的苹果（千克）71689（1）分别估计甲、乙两果农的苹果“一等品”的概率；（2）分别估计40千克样本中，收购甲、乙两果农的苹果平均每千克获利，若以平均每千克获利的多少为依据来决定收购，你建议收购商应该收购谁的.【答案】（1）甲：15，乙：740；（2）甲.【解析】（1）根据古典概率公式可求得答案；（2）由已知求得甲，乙果农收购商平均每千克获利，比较可得结论. 【详解】（1）由表得：概率的估计值分别为甲果农的苹果“一等品”的概率181 405P==，乙果农的苹果“一等品”的概率740P =2. （2）由上表知：甲果农的40千克苹果样本中，收购商每千克获利频数分布为：乙果农的40千克苹果样本中，收购商每千克获利频数分布为：甲果农的40千克苹果样本中，收购商平均每千克获利为：4.58 2.510 1.514 2.5840⨯+⨯+⨯-⨯ 1.55=（元）.乙果农的40千克苹果样本中，收购商平均每千克获利为：4.37 2.316 1.38 2.7940⨯+⨯+⨯-⨯ 1.325=（元）.比较甲、乙两果农的苹果样本中，收购商平均每千克获利，应该选甲果农的苹果. 【点睛】本题考查古典概率公式，平均值的计算，以及由数字特征做出决策问题，属于中档题．20．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒. （1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程. （2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得： ()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上. 【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD bk b ==︒=-⇒=-， 所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)22222222222213333x x y y x x x y +=⇒=-=⇒=-，分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，==，两式相除得：22311k x x --===222222222336313336312k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++====-23x ==，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.21．已知函数()ln f x ax x =-. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x-'=-=，然后解不等式()0f x '<和()0f x '>即可..（2）由()1f x a x '=-，当0a ≤时，()10f x a x'=-<，()f x 单调减不成立，当0a >时，()11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-=，易得1x a=是()f x 的极小值点，然后分1a e ≥，10a e<<两种情况，利用零点存在定理求解. 【详解】（1）当1a =时，由()111x f x x x-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；. （2）由()1f x a x'=-， 若0a ≤，()10f x a x'=-<， ()f x 单调减，()f x 最多有一个零点，不合题意；若0a >，()11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调增，则1x a=是()f x 的极小值点， （i ）若111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫≥⇒<≤⇒=⋅-≥-= ⎪⎝⎭，此时，()f x 最多有一个零点，不合题意；. （ii ）当111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫<<⇒>⇒=⋅-<-= ⎪⎝⎭， 又1110f a e e⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭，故在11,e a ⎛⎫⎪⎝⎭内，()f x 有一个零点， 又∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内，()f x 有且只有一个零点. 由（1）知，ln 1ln11x x -≥-=，等号仅当1x =时成立，22442222ln 2ln 2f a a a a aa ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故在214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭内，()f x 有一个零点， 又∵1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 单调增， 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内，()f x 有且只有一个零点. 所以a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及函数的零点与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为42x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为413cos 4k k k k ρπθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点若有，求出交点的坐标；若无，说明理由. 【答案】（1）0x -=，330x y --=；（2）无交点，理由见解析.【解析】（1）由公式cos sin x y ρωρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，消去参数可化参数方法为普通方程；（2）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线方程与C 的直角坐标方程联立方程组，根据方程组的解确定有无交点． 【详解】（1）当1k =时，4cos 4223cos 4ρρθθπθ⎛⎫=⇒-= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即433022x y x y -=⇒--=，由242x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）消去t并整理得：0x +-=. （2）当2k =时，222222443sin 413sin 13cos 2ρρρθπθθ==⇒+=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 得：22224414x x y y +=⇒+=，:043l x y x +-=⇒=-+，代入2244x y +=，得：271800x -+=，(2471800-⨯⨯<，所以，直线l 和C 无交点. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查曲线的交点问题，用曲线的方程联立方程组，方程组解的情况确定曲线交点情况是基本方法． 23．已知函数()1112f x x x =--+. （1）作出函数()f x 的图象；（2）求()4f xx ≤-的解集.【答案】（1）作图见解析；（2）53x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）将函数写成分段函数，根据解析式即可作图. （2）由（1），利用分段函数解析式解不等式即可. 【详解】 （1）依题意，()13,12213111,1122213,122x x f x x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，作出函数()f x 的图象如图所示：（2）由（1）可知()()440f x x f x x ≤-⇔-+≤，1110221x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤-⎩或5702211x x ⎧-+≤⎪⎨⎪-<<⎩或35052231x x x ⎧-+≤⎪⇔≥⎨⎪≥⎩. 所以不等式的解集为53x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了分段函数的图像、绝对值不等式的解法，考查了基本作图已经基本运算能力，属于基础题.。

2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。

2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1 B．2 C．4 D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26 D．585．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6 B．8 C．12 D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3 B．lg9 C．lg3 D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4 B．3 C．2 D．110．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）A．8 B．10πC．12πD．π二、填空题（共4小题）.13．已知x，y 满足约束条件，则2x﹣y的最大值为．14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c 由大到小的顺序为．15．已知实数x，y 满足约束条件，则z＝3x+2y 的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1 B．2 C．4 D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26 D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6 B．8 C．12 D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3 B．lg9 C．lg3 D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4 B．3 C．2 D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab∴b2﹣a2＝ab，即9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝3b，联立解得：|PF1|＝，|PF2|＝，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，可得：×＝ab，∴9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）A．8 B．10πC．12πD．π解：如图：底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为 4 ．解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示．令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作直线y＝2x，向下平移，可知当直线经过点（2，0）时z最大，∴z max＝2×2﹣0＝4．故答案为：4．14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c 由大到小的顺序为c＞b＞a．解：平均数＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，则c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9 ．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84 ．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B ＝≥，当且仅当b ＝时取等号，此时B ＝，C ＝，所以△ABC的面积S ＝ab ＝＝．18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（1）由所给数据计算得＝，＝．，．．．所求回归方程为．（2）由（1）知，b＝0.5＞0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．【解答】（1）证明：连接AC，∵PA＝PD且E是AD的中点，∴PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD．∴PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE．又ABCD为菱形，且E、F分别为棱AD、CD的中点，∴EF∥AC．∵BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF＝E，PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，∴BD⊥平面PEF；∴PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF．（2）解：如图，连接MA、MD，设，则，∴，又．∴．解得，即M点在PB上靠近P点的四等分点处．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k＝k QB，得＝，TB两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x+x2＝，x1x2＝，1可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．∴M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，M′＝．令g（t）＝﹣6t3+12t2﹣8t+2，g′（t）＝﹣18t2+24t﹣8＝﹣2（3t﹣2）2＜0，∴函数g（t）在t∈上单调递减，＝＞0．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈上单调递增，∴M（t）≤＝．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。

绝密★启用前陕西省西安市第一中学2021届高三年级上学期第五次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)一、选择题1. i 是虚数单位，则复数221i i i ++等于（ ） A. iB. ﹣iC. 1D. ﹣1【答案】A【解析】【分析】根据复数四则运算法则直接求解即可得到结果 【详解】()()()2212111111i i i i i i i i i -+=-=+-=++- 故选：A 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 2. 已知集合0,2x M x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ，{}21,N y y x x ==+∈R ，则()M N ⋂=R （ ）A. []0,2B. (]0,2C. (),2-∞D. (],2-∞ 【答案】D【解析】【分析】先利用分式不等式的解法和二次函数的性质化简集合A ，B ，再利用集合的交集和补集运算求解.【详解】因为集合{0,22x M x x x x x ⎧⎫=≥∈=⎨⎬-⎩⎭R 或}0x ≤，{}{}21,1N y y x x y y ==+∈=≥R ， 所以{}|2M N x x ⋂=>，所以(){}|2M N x x ⋂==≤R故选：D 3. 下列函数中,最小正周期为2π的是（ ） A. sin y x = B. cos 2y x = C. tan y x = D. sin 2y x =【答案】D【解析】【分析】利用三角函数周期公式依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ,由于函数sin y x =不是周期函数,故排除A ； 对选项B ,由于函数cos 2cos2y x x ==,周期为22ππ=,故排除B ； 对选项C ,由于函数tan y x =的周期为1ππ=,故排除C ；对选项D ,由于函数sin 2y x =的周期为2π,故D 正确. 故选：D4. 某质点的位移函数是()32122s t t gt =-（210m/s g =）,则当2s t =时,它的速度()v t 对t 的瞬时变化率（即加速度）是（ ）A. 214m/sB. 24m/sC. 210m/sD. 24m/s -【答案】A【解析】。

2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。

2021年陕西省西安中学高考数学模拟试卷（文科）（三）一、选择题（共12小题）．1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i 3i z ⋅+=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D利用方程的思想、复数除法求出复数z 而得解.由()1i 3i z ⋅+=+，得()()()()2223i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 112z +-+-+--=====-++-+， ∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．故选：D2. 已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A. {1} B. {1,1}- C. {1,0} D. {1,1,0}-D先求出集合M={x |x 2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a ≠0时，N={1a}，由N ⊆M ，得11a =-或1a=1．由此能求出实数a 的取值集合． ∵集合M={x |x 2=1}={﹣1，1}，N={x |ax=1}，N ⊆M ， ∴当a=0时，N=∅，成立；当a ≠0时，N={1a }， ∵N ⊆M ，∴11a =-或1a=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D ．本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3. 函数()e xf x x -=-的零点所在的区间是（ ）A. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D利用函数x y e -=和y x =的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断．解：函数()e xf x x -=-，画出e x y -=与y x =的图象，如下图：当12x =时，102e y =->， 当1x =时，110ey =-<，∴函数()e x f x x -=-的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：D ．4. 已知直线l 和两个不同的平面，β，则下列结论正确的是（ ）A. 若//,l l αβ⊥，则αβ⊥B. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥C. 若//,//l l αβ，则//αβD. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ A根据空间中的平行垂直关系，结合相应的判定和性质定理，对选项逐一分析，选出正确结果. 对于A 中，过l 做一平面γ，且m αγ=，//l α，则//l m ，又由l β⊥，所以m β⊥， 由面面垂直的判定定理，即可证得αβ⊥；对于B 中，若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，所以不正确；对于C 中，若//,//l l αβ，则平面α与平面β可能是相交的，所以不正确； 对于D 中，若αβ⊥，//l β，则l 与β可能是平行的，所以不正确.故选：A.该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直、线面垂直和面面平行的判定，属于简单题目.5. 若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5D作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图阴影部分，联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得()3,4A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，直线l 向上平移，z 增大，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为5．故选：D ．6. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为2a ，大正方形的面积为225a ，直角三角形中较小的锐角为θ，则3tan()4πθ+=A. 12-B. 13-C. 15-D. 17-D由图形可知三角形的直角边长度差为a ，面积为62a ，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．由题意可知小正方形的边长为a ，大正方形边长为5a ，直角三角形的面积为22254a a -=62a ， 设直角三角形的直角边分别为x ，y 且x ＜y ，则由对称性可得y ＝x +a ， ∴直角三角形的面积为S 12=xy ＝62a ， 联立方程组可得x ＝3a ，y ＝4a ，∴sinθ35=，tanθ＝34． ∴334tan 3414tan tan tan tan πθπθπθ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-=11tan tan θθ-+=314314-+=17-，故选D ． 本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题． 7. 数列{}n a 中，121n n a a +=+，11a =，则6a =（ ） A. 32 B. 62C. 63D. 64C把121n n a a +=+化成()1121n n a a ++=+，故可得{}1n a +为等比数列，从而得到6a 的值.数列{}n a 中，121n n a a +=+，故()1121n n a a ++=+， 因11a =，故1120a +=≠，故10n a +≠，所以1121n n a a ++=+，所以{}1n a +为等比数列，公比为2，首项为2. 所以12nn a +=即21n n a =-，故663a =，故选C.给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下： （1）11n n n pa a qa p --=+，取倒数变形为111n n qa a p--=；（2）()10n n a q p p q a -+≠=，变形为()110,1n nn n n a qpq p p p a p --+≠≠=，也可以变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-； 8. 执行如图所示的程序框图，如果输出结果为4124，则输入的正整数N 为A. 3B. 4C. 5D. 6B执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环1,1,2T S k ===，不满足判断条件；第二次循环13,,322T S k ===，不满足判断条件；第三次循环15,,463T S k ===，不满足判断条件；第四次循环141,,52424T S k ===，满足判断条件，此时输出4124， 所以4N =，故选B ．9. 在四边形ABCD 中，//AB CD ，设AC AB AD λμ=+(λ，R μ∈).若43λμ+=，则CD AB=（ ）A. 23B.12C.13D.14C根据共线向量的性质，结合平面向量加法的运算法则进行求解即可. 解：∵//AB CD ， ∴设CD k AB=，则DC k AB =，0k >，∵AC AD DC k AB AD AB AD λμ=+=+=+，∴1k λμ=⎧⎨=⎩，∵43λμ+=， ∴413k +=，即13k =，即13CDAB =，故选：C. 10. 已知直线y kx =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（） A. 2y x =± B. 3y x =±C. y =D. y =C设F '是右焦点，利用对称性，得3AF AF '=，由双曲线定义得,3'==AF a AF a ，然后利用AOF AOF π'∠+∠=可得出关于,,a b c 的关系式，从而求得ba，则可求渐近线的方程．设F '是右焦点，则BF AF '=，3AF BF =，即3AF AF '=，又22AF AF AF a ''-==，∴AF a '=，3AF a =，而,OA b OF c '==， ∴OA AF '⊥，由AOF AOF π'∠+∠=得cos cos 0AOF AOF '∠+∠=，∴222902b c a bbc c +-+=，且222b c a =-整理得2b a =．所以双曲线的渐近线的方程为2by x x a=±=±，故选：C ．关键点点睛：本题解题关键是列出关于,,a b c 的等量关系．为此利用双曲线的对称性把BF 转化为AF '，利用双曲线的定义求得3,AF a AF a '==，最后利用cos cos 0AOF AOF '∠+∠=得出关系式．求得渐近线方程．11. 已知()(sin ),(0,)2x f x πθθ=∈，设24161(log 7),(log 3),(log 5)2a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c a b >> B. a c b >> C. b a c >> D. c b a >>A根据题意，分析可得()(sin )x f x θ=为减函数，由对数的运算性质分析可得1641log 5log 7log 32<，结合函数的单调性分析可得答案． 解：根据题意，()(sin )x f x θ=，(0,)2πθ∈，则0sin 1θ<<，则函数()(sin )x f x θ=为减函数，又由24161log 7log 7log 72==，416log 3log 9=，则有16241log 5log 7log 32<<，42161(log 3)(log 7)(log 5)2f f f ∴<<则c a b >>，故选：A ．本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数()(sin )x f x θ=，的单调性，属于基础题．12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为过三点B 、E 、F 的面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法错误．．的是A. HF BEB. 三棱锥的体积14B BMN V -=C. 直线MN 与面11A B BA 的夹角是45︒D. 11:1:3D G GC = C根据面面平行的性质定理，判断A 选项是否正确，计算出三棱锥1B BMN -的体积判断B 选项是否正确，计算直线MN 与平面11A B BA 所成角的正切值，判断C 选项是否正确，计算11:D G GC 的值判断D 选项是否正确.对于A 选项，由于平面11//ADD A 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知//HF BE ，故A 选项判断正确.由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 中点，故111112131,,,,2322MA HD D G GC C N =====.对于B 选项，11111111134243232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故B 选项判断正确.对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成角为1NMB ∠，且1114tan 13B N NMB B M ∠==≠，故C 选项判断错误.对于D 选项，根据前面计算的结果可知1113,22D G GC ==，故D 选项判断正确.综上所述，本小题选C.本小题主要考查面面平行的性质定理，考查三棱锥体积计算，考查线面角的概念，考查平行与比例等知识，综合性较强，属于中档题. 二、填空题13. 若lg ,0(),0x x x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩，(0)2f =，()14f -=，则((2))f f -=_______．1利用()0f 和()1f -求解得到,a b 的值；再将2-代入x a b +，求得()2f -；根据()2f -的值代入对应解析式求得结果.【详解】()()0214f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 0124a b a b -⎧+=⇒⎨+=⎩，解得：131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴当0x ≤时，()113xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2121103f -⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭()()()210lg101f f f ⇒-===本题正确结果：1本题考查利用分段函数解析式求解函数值，关键在于能够将自变量代入符合范围的解析式当中.14. 在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是__________．25利用枚举法将所有可能的情况列出再分析即可.易得所有可能的情况有()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5共10种情况.其中满足取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有()()()()1,3,1,5,2,4,3,5 共4种情况.故概率取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是42105=. 故答案为：25本题主要考查了枚举法求解古典概型的方法,属于基础题.15. 如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．6 将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16. 已知数列{}n a 的首项n1n 1n n n 1n n a a 1,a ,b a a ,S 3a 1++===+为数列{}n b 的前n 项和.若n S t <恒成立，则t 的最小值为______．13首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果． 数列{}n a 的首项n1n 1n a a 1,a 3a 1+==+， 则：n 1n113(a a +-=常数) 故数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，3为公差的等差数列．则：n 1a (3n 2=-首项符合通项)． 故：n 1a 3n 2=-，()()n n n 11111b a a 3n 23n 133n 23n 1+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，n 111111111S 1134473n 23n 133n 13⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 由于数列{}n b 的前n 项和n S t <恒成立， 故：1t 3≥， 则：t 的最小值为13，故答案为13．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，设F 为线段AC上一点，CF ，有下列条件：①1c =；②b =③222a b c +=. 请从以上三个条件中任选两个，求:ABF CBF S S △△的值.不管选哪两个条件，首先都可求出23ABC π∠=，6A C π==，然后可求出4CBF π∠=，然后算出sin ABF ∠的值，然后利用:sin :sin ABF CBF S S ABF CBF =∠∠△△可得答案.法一：选①②，则1a c ==，b =由余弦定理可得：2221cos 22a c b ABC ac +-∠==-， 又(0,)ABC π∠∈，所以23ABC π∠=，所以6A C π==. 在BCF △中，由正弦定理得sin sin CF BFCBF C=∠，因为CF =，所以sin 2CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=， 所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sinsin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sincoscossin64644ππππ=+=. 于是:sin :sin ABF CBF S S ABF CBF =∠∠△△51sin:sin 1242ππ+==.法二：选②③，因为1a =，b =222a b c +=，所以1c =.由余弦定理可得222cos 22a b c C ab +-==， 又(0,)C π∈，所以6C π=，所以6A C π==，所以23ABC A C ππ∠=--=. 在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，因为CF =，所以sin CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=， 所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sinsin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sincoscossin6464ππππ=+=.于是5:sin :sin sin:sin 124ABF CBF S S ABF CBF ππ=∠∠==△△法三：选①③，则1a c ==，222a b c +=，则222a b c +-=，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-==， 又(0,)C π∈，所以6C π=，因为a c =，所以6A C π==， 所以23ABC A C ππ∠=--=. 在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BFCBF C=∠，因为CF =，所以sin 2CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=， 所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sinsin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sincoscossin64644ππππ=+=.于是51:sin :sin sin:sin 1242ABF CBF S S ABF CBF ππ+=∠∠==△△. 18. 某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x （x N ∈，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x m m ∈∈Z 时表示该地区下雨，当[]1,9x m ∈+时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率； （2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm ）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 成线性回归，求回归直线方程y bt a =+，并计算如果该地区2021年（10t =）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）参考公式：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：()()9158i i i t ty y =--=-∑，()()7154i i i t ty y =--=-∑，()92160i i t t=-=∑，()72152i i t t=-=∑．（1）4m =，25；（2）29179306y t =-+；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm ．（1）利用概率模拟求概率；（2）套用公式求回归直线方程即可.解：（1）由题意可知，150%10m+=，解得4m=，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨，故所求的概率为82=205；（2）由题中所给的数据可得5t=，25y=，所以()()()9192158296030i iiiit t y ybt t==---===--∑∑，29179255306a y bt⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭-=，所以回归方程为29179306y t=-+，当10t=时，29179121103066y=-⨯+=≈20.2，所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm．求线性回归方程的步骤：①求出,x y；②套公式求出b a、；③写出回归方程y bx a=+；④利用回归方程y bx a=+进行预报；19. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形．AE⊥平面BCE，且1AE=．（1）求证：平面ABCD⊥平面ABE．（2）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥C BEF-的高6?5h=若存在，请求出DFAF的值；若不存在，请说明理由．（1）详见解析；（2）存在，12DFAF=.（1）根据线面垂直的性质定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.（2）假设存在这样的点F.结合（1）中的结论，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，棱锥的体积公式，结合线面平行的判定理和线面平行的性质进行求解即可.（1）∵AE⊥平面BCE，BC⊂平面BCE，∴AE BC⊥．又因为ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥，AE AB A =，因此BC ⊥平面ABE ．又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE ；（2）∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE = 假设线段AD 上存在一点F 满足题意． 由（1）知，平面ABCD ⊥平面ABE ， 平面ABCD 平面ABE AB =．又∵DA AB ⊥，∴DA ⊥平面ABE ，则DA BE ⊥． ∵BE AE ⊥，BE AD ⊥，AEAD A =，∴BE ⊥平面ADE ，又EF ⊂平面ADE ，∴BE EF ⊥，∴116325C BEF V EF EF -⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭．∵AD BC ∥，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴AD平面BCE ，∴点F 到平面BCE 的距离与点A 到平面BCE 的距离相等．又BC BE ⊥，∴11132F BCE V -⎛=⨯⨯= ⎝．又F BCE C BEF V V --=，∴53EF =．∵222EF AF AE =+，∴43AF =．∴12DF AF =． 本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式的应用，考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面平行的判定和性质，考查了推理论证能力和数学运算能力.20. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，点()在双曲线上，抛物线()220y px p =>的焦点F 与双曲线的右焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过点F 做互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 与抛物线的交点为A ，B ，2l 与抛物线的交点为D ，E ，求AB DE +的最小值．（1）22193x y -=，2y =；（2）（1）根据渐近线方程得出,a b 的关系，再代入已知点的坐标求得双曲线方程，求出焦点坐标后可得抛物线方程；（2）由1l ，2l 与坐标轴不平行，设设直线1l的方程为(y k x =-，代入抛物线方程，整理后应用韦达定理得A B x x +，同理得C D x x +，再利用焦点弦长公式求得AB DE +并用基本不等式求得最小值． 解：（1）由题意可得b a =3a b ，所以双曲线方程22233x y b -=，将点()代入双曲线方程，可得23b =，所以双曲线的标准方程为22193x y -=，22212c a b =+=，所以2pc ==，所以抛物线的方程为2y =．（2）由题意知()F ，1l ，2l 与坐标轴不平行， 设直线1l的方程为(y k x =-，(2y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理可得(2222120k x x k -++=， 0∆>恒成立，A B x x ∴+= 因为直线1l ，2l 互相垂直，可设直线2l的方程为(1y x k=--，同理可得2D E x x +=+22A B D E x x x x p AB DE =++++=+++221k k ⎫=+≥⎪⎭当且仅当1k =±时取等号，所以AB DE +的最小值为关键点点睛：本题考查求双曲线和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线相交问题中的最值．求最值问题，方法是设而不求思想，引入直线AB 斜率k 得出直线方程，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得A B x x +，利用焦点弦长公式A B B x p A x ++=得弦长，求得弦长和后应用基本不等式求得最小值．21. 已知函数()()()12e 1xf x x =+-．（1）求曲线()y f x =在1x =-处的切线方程；（2）证明()f x 有唯一的极值点0x ，且()01162f x -<<-． （1）2211e e y x ⎛⎫⎪⎭+⎝=--；（2）证明见解析． （1）求导函数，得(1)f 为切线斜率，然后可得切线方程；（2）求出导函数()'f x ，令()()g x f x '=，再求导()'g x ，由()'g x 确定()'f x 的单调性，极值，以及函数值的正负，确定()'f x 有唯一零点0x ，且01(1,)2x ∈--，由01()(1)02f x f <-=<-，再引函数()h x （0()f x 的表达式中0x 改为x 得到），()h x 是减函数，证明011()()26h x h >->-．即可完成证明． 解：（1）()()()12e 1x f x x =+-，()10f -=，()()22e 1x f x x ∴'=+⋅-，()211ef '-=-，∴切线方程是：()2011e y x ⎛⎫⎪⎝⎭-=-+，即2211e e y x ⎛⎫⎪⎭+⎝=--；（2）证明：由（1）记()()(2)21x g x f x x e '==+⋅-， ()()32e xg x x =+⋅'，令()0g x '>，解得：3x >-，令()0g x '<，解得：3x <-， 故()f x '在(),3-∞-递减，在()3,-+∞递增，故()()min 2310ef x f '='-=--<，当3x <-时，()()22e 10xf x x '=+⋅-<，当3x >-时，1102f ⎛⎫'-=> ⎪⎝⎭，()2110e f '-=-<， ()f x ∴'存在唯一零点011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故()00f x '=即()0022e 1xx +⋅=，故()f x 在()0,x -∞递减，在()0,x +∞递增，()()0f x f x ∴=极小值，()f x 有唯一的极值点0x，01()(1)02f x f <-=<， ()()()()()00000000012e 122e 12e 2e x x x x f x x x x x =+-=+⋅-+-=--，显然()2x h x x e =--在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，01()()2h x h >-()01112122236h x h ⎛⎫>-=>-=- ⎪⎝⎭，所以0001()26x f x x e =-->-．()f x ∴有唯一的极值点0x ，且()01162f x -<<． 关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的极值，证明与极值有关的不等式．证明的关键是对导函数再一次求导，确定导函数的单调性，正负性，从而确定导函数的零点，即为原函数的极值点．求得极小值0()f x ，证明方法是一方面利用0()f x 是极小值证明一半的不等式，另一方面，构造新函数利用新函数的单调性证明另一半．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，且直线l 经过曲线C 的左焦点F ．（1）求直线l 的普通方程；（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值． （1）0x y -；（2）．（1）直接利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得到曲线C 的普通方程，求出F ，带入求出m ，即可得到直线l的普通方程；（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ，把周长表示出来，利用三角函数求最值即可.解：（1）曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 可得直角坐标方程：2224x y +=，化为：22142x y +=．c ∴==()F ．直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得：x y m -=，把()代入可得：m =∴直线l的普通方程为：0x y -+=．（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为()π2cos 02θθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴椭圆C的内接矩形的周长为()8cos L θθθϕ=+=+≤（其中tan ϕ=． ∴椭圆C 的内接矩形的周长的最大值为．(1)参数方程与普通方程的互化通常用22cos sin 1αα+=；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）最值问题通常利用参数方程形式转化为三角函数求最值. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()()211f x x a x a =-+--∈R 的一个零点为1． （1）求不等式()1f x ≤的解集；21（2）若()121,01a m n m n+=>>-，求证：210m n +≥． （1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析． （1）利用根的定义求出a ，在去绝对值号解不等式；（2）由1211m n+=-，对2m n +变形，构造基本不等式中“1的代换”即可证明. （1）解：因为函数()()211f x x a x a =-+--∈R 的一个零点为1，即()11211=0f a =-+--，解得：1a =，此时，()1211f x x x =-+--，不等式()1f x ≤可化为：1212x x -+-≤ 上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩，或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩， 所以102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， 所以原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）证明：1211a m n+==-，因为1m ，0n >， 所以()()211222*********m n m n m n m n m n m n -⎛⎫+=-++=-+++=++ ⎪--⎝⎭⎡⎤⎣⎦610≥+=， 当且仅当()212=1m n m n --，即4m =，3n =时取等号，所以210m n +≥． 即证.（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x 的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数； （2）不等式的证明通常利用基本不等式、柯西不等式.。

西安市第一中学2021届高三第五次模拟考试文科数学一、选择题1. i 是虚数单位，则复数221ii i++等于（ ） A. i B. ﹣iC. 1D. ﹣1【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则直接求解即可得到结果 【详解】()()()2212111111i i ii i i i i i -+=-=+-=++- 故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2. 已知集合0,2xM x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ，{}21,N y y x x ==+∈R ，则()M N ⋂=R（ ）A. []0,2B. (]0,2C. (),2-∞D. (],2-∞【答案】D 【解析】 【分析】先利用分式不等式的解法和二次函数的性质化简集合A ，B ，再利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】因为集合{0,22xM x x x x x ⎧⎫=≥∈=⎨⎬-⎩⎭R 或}0x ≤，{}{}21,1N y y x x y y ==+∈=≥R ，所以{}|2M N x x ⋂=>， 所以(){}|2M N x x ⋂==≤R故选：D3. 下列函数中，最小正周期为2π的是（ ） A. sin y x =B. cos 2y x =C. tan y x =D.sin 2y x =【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数周期公式依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，由于函数sin y x =不是周期函数，故排除A ； 对选项B ，由于函数cos 2cos2y x x ==，周期为22ππ=，故排除B ； 对选项C ，由于函数tan y x =的周期为1ππ=，故排除C ；对选项D ，由于函数sin 2y x =的周期为2π，故D 正确. 故选：D4. 某质点的位移函数是()32122s t t gt =-（210m/s g =），则当2s t =时，它的速度()v t 对t 的瞬时变化率（即加速度）是（ ） A. 214m/s B. 24m/s C. 210m/s D. 24m/s -【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可先求出()()2=6v t s t t gt '=-，再求出()2v '即可.【详解】由题可得()26s t t gt '=-，即()26v t t gt =-，()12v t t g '∴=-，∴()21221014v '=⨯-=.故选：A. 5. 若1sin 34a π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 78-B.78C. 1516-D.1516【答案】B 【解析】 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭ =21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值. 6. 函数2019sin log 22x xxy -=-在区间[)(]3,00,3-上的图象为（ ）A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】令()2019sin log 22x xxf x -=-（[)(]3,00,3x -∈），()()2019sin log 22x xxf x f x --=-=--，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D 两个选项. 当3x =时，2019sin 363log 8y =，而3为第二象限角，所以sin30>，而201963log 08>，所以2019sin 3063log 8y =>，由此排除C 选项.故B 选项符合.故选B.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.7. 若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是（ ） A.2π B.56π C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】在等式a b a b +=-同时平方可得出0a b ⋅=，在等式2a b a +=两边平方可得出3b a =，利用向量夹角的余弦公式可求得向量a b +与a b -的夹角.【详解】在等式a b a b +=-两边同时平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，0a b ∴⋅=，在等式2a b a +=两边同时平方可得22224a a b b a +⋅+=，3b a ∴=，()()222222a b a b a b a a ∴+⋅-=-=-=-，所以，()()221cos ,222a b a b aa b a b a b a ba a+⋅--<+->===-+⋅-⨯，0,a b a b π≤<+->≤，所以，2,3a b a b π<+->=. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量的数量积求解平面向量间的夹角，在求解时要注意以下两点：（1）遇到平面向量模长的等式时，一般将等式两边平方，化简求解；（2）向量a b +与a b -的夹角不是a 、b 的夹角，同时要注意平面向量间的夹角的取值范围是[]0,π.8. 设2:2310p x x -+≤,2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.1(,0),2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先解出命题p 中不等式的解集，然后利用十字相乘法求出命题q ，然后根据q 是p 的必要不充分条件求出a 的取值范围. 【详解】由题意得命题p ：112x <<，命题q ：1a x a <<+， 因为q 是p 的必要不充分条件，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤，故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑命题，大部分可转化为集合中的包含关系进行求解. 9. 给出下列四个命题： ①若x AB ∈，则x A ∈或x B ∈；②()0,x ∀∈+∞，都有22x x >；③若a ，b 是实数，则a b >是22a b >的充分不必要条件； ④“0x ∃∈R ，20023x x +>”的否定是“x ∀∈R ，223x x +≤”.其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】【分析】通过元素与集合的关系判断①；反例判断②；充要条件的判断方法判断③；特称命题的否定判断④．【详解】对于①，若x AB ∈，则x A ∈且x B ∈；所以①不正确；对于②，当2x =时，22x x =，所以(0,)x ∀∈+∞，都有22x x >；所以②不正确； 对于③，若a ，b 是实数，则a b >推不出22a b >，反例0a =，1b =-，所以说a ，b 是实数，则a b >是22a b >的充分不必要条件不正确；所以③不正确； 对于④，“0x R ∃∈，20023x x +>”的否定是“x R ∀∈，223x x +”．符合特称命题的否定，所以④正确； 故选：A【点睛】方法点睛：充要条件的判定常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据具体情况灵活选择方法解答. 10. 已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A. ()0,e B. ()0,2eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞【答案】D 【解析】 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m的取值范围是(2,)e+∞.故选：D.【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.11. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y,易得圆的半径5r=，即圆C的方程是()22425x y-+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD=-=-=，若满足AP AB ADλμ=+，则21xyμλ=⎧⎨-=-⎩，,12xyμλ==-，所以12xyλμ+=-+，设12xz y=-+，即102xy z-+-=，点(),P x y在圆()22425x y-+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z-+-=的距离d r≤21514z-≤+，解得13z≤≤，所以z的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.12. 已知函数()()21,11,1a x x f x ax x x a ⎧--≤⎪=⎨+>⎪+⎩满足对任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠都有：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,4B. (]2,4C.()2,4D.2,【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件知()f x 在R 上为增函数，结合分段函数式：在各个分段上都是增函数，且两段图象的界点上有131a a a+-≤+，即可求a 的取值范围. 【详解】由对任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠都有：()()12120f x f x x x ->-，知：()f x 在R 上为增函数，又2(2)1,1()1,1a x x f x a a x x a --≤⎧⎪=⎨-+>⎪+⎩， ∴220101311a a a a a ⎧⎪->⎪-<⎨⎪+⎪-≤=+⎩，解得24a <≤， 故选：B二、填空题13. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 1sin 2B C =，222c b ab -=，则cos A =__________． 【答案】1132【解析】 【分析】先通过正弦定理，化简可得c=2b ，在带入222c b ab -=，可得32a b =,再利用余弦定理得出结果.【详解】由题意可得，sin 1sin 2B C =，由正弦定理得12b c =，c=2b ， 又222c b ab -=，则32a b =由余弦定理可得：22222294114cos 22432b b b bc a A bc b b +-+-===⨯ 故答案为1132【点睛】本题考查了正余弦定理的合理运用，属于基础题. 14. 已知1x >-，则331x x ++的最小值是_______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据10x +>，将所求等式化为()33131x x ++-+，由基本不等式0,0)a b a b +≥>>，当a=b 时取到最小，可得331x x ++最小值． 【详解】因为1x >-，所以10x +>， 所以()3333133311x x x x +=++-≥=++（当且仅当0x =时，等号成立）.【点睛】本题考查基本不等式，解题关键是构造不等式，并且要注意取最小值时等号能否成立．15. 已知各项都是正数的等比数列{}n a 中，1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+______．【答案】3+ 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式以及等差中项求出公比即可求解. 【详解】数列{}n a 各项都是正数的等比数列1a ，312a ，22a 成等差数列，则3122a a a =+， 即21112a q a a q =+， 可得212q q =+，解得12q =+或12q =-（舍去），所以222910787878322a a a q a q q a a a a ++===+++. 故答案为：322+【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质，等差中项的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】(,0]-∞ 【解析】 【分析】根据题意可得()210f x lnx ax '=-+=只有一个解12lnx a x+⇒=只有一个解2y a ⇒=与1()lnx y g x x+==只有一个交点，求导数()g x '，分析单调性，及当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，画出函数()g x 的草图，及可得a 的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案．【详解】解：因为函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点， 所以1()ln ln 210f x x ax x a x ax x ⎛⎫'=-+-=-+= ⎪⎝⎭只有一个解， 即ln 12x a x+=，只有一个解，即2y a =与ln 1()x y g x x+==只有一个交点，因为2ln ()xg x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==，当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 画出函数()g x 的草图如下：结合图象可得21a =或20a ≤， 解得12a =或0a ≤， 当12a =时，21()ln 2f x x x x =-， 所以()1ln f x x x '=+-， 令()1ln h x x x =+-， 所以1()1h x x'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()(1)0h x h ≤=，所以()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 没有极值点. 所以实数a 的取值范围是(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞【点睛】本题考查利用导数分析极值，解题关键是转化思想的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足39a =，2a 是1a ，7a 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1(7)n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）43n a n =-；（2）44nn +【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式； （2）利用裂项相消法求和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ()0d ≠，则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩ 解得 4d =或0d =（舍去），11a =()14143n a n n ∴=+-=-.（2）()1111741n n b n a n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1114144nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题．18. 已知函数()4sin cos()3f x x x π=-（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若方程()f x m =在5,23ππ（）有两个不同的实根，求m 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，5[],1212k k k Z ππππ-++∈，； （2）(2,0]2)-⋃. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式、倍角公式、辅助角公式得()sin()f x x π=-223，求得周期；（2）利用换元法令23t x π=-，将问题转化成方程2sin t m =在2(,3)3t ππ∈有两个不同的实根，再利用图象得m 的取值范围.【详解】（1）()4sin cos()3f x x x π=-14sin (cos )22x x x =+-22sin cos x x x =+sin 22x x =2sin(2)3x π=-，所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间是5[],1212k k k Z ππππ-++∈，. （2）令23t x π=-，因为x ∈5,23ππ（），所以2(,3)3t ππ∈， 即方程2sin t m =在2(,3)3t ππ∈有两个不同的实根，由函数2sin y t =的图象可知，当(2,0]2)m ∈-⋃时满足题意，所以m的取值范围为(2,0]2)-⋃.【点睛】第（1）问考查三角恒等变换的综合运用；第二问考查换元法求参数的取值范围，注意在换元的过程中参数2(,3)3t ππ∈不能出错，否则转化后的问题与原问题就不等价. 19. 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin()sin 20B C A +-=. （1）求A ； （2）若a =22b c +得最大值.【答案】（1）3A π=；（2）4.【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和性质以及二倍角公式可得sin 2sin cos 0A A A -=，从而可得1cos 2A =，即可求解. （2）利用余弦定理以及基本不等式即可求解.【详解】（1）由sin()sin 20B C A +-=可得sin 2sin cos 0A A A -=，A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，故1cos 2A =，3A π= （2）在ABC 中，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c bc A ∴=+-，222b c bc =+-即，22()2bc b c =+-222b c bc +≤，∴2222()22b c b c +≥+-，224b c +≤（当且仅当b c =时取等号） ∴22b c +的最大值为4.【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式、余弦定理以及基本不等式，需熟记公式与定理内容，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20. 已知0m >，0n >关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{}2x x n -<<. （1）求m ，n 的值；（2）正实数a ，b 满足20na mb +=，求aba b+的最大值.【答案】（1）8m =，10n =；（2）90-【解析】 【分析】（1）利用不等式解集的端点为方程的根求得m ，再求解不等式即可得n ；（2）代入m ，n 可得5410a b +=，ab a b +变形可得111b a+，所以求ab a b +的最大值，即求11a b +的最小值，再利用基本不等式的乘“1”法求得最值即可.【详解】解：（1）因为关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{}2x x n -<<， 所以2200x mx --=的一个根是2x =-，将2x =-代入方程，解得8m =， 此时方程为28200x x --=，解得另一个根为10x =，所以10n =. （2）因为8m =，10n =，所以10820a b +=，即5410a b +=，要求ab a b +的最大值，即求111b a+的最大值，即求11a b +的最小值，所以()11455499b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭2254a b =时等号成立，所以11a b +的最小值为910+，则aba b+90=-【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值的知识，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 21. 已知函数()()ln f x x ax a R =-∈ （1）讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性； （2）证明：2ln 0x e e x ->恒成立.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导()()110axf x a x x x-'=-=>，根据定义域，分0a ≤和0a >两类讨论求解. （2）证法一：由（1）知，当0a >时，()1ln ln 1f x x ax a =-≤-，当1a e =时，有ln x x e≤，即2ln e x ex ≤，将2ln 0x e e x ->恒成立，转化为x e ex ≥在()0,∞+上恒成立，设()()0xe g x x x=>，用导数法论证()g x e >即可.【详解】（1）()()110axf x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）证法一：由（1）可知，当0a >时，()1ln ln1f x x ax a=-≤-， 特别地，取1a e =，有ln 0xx e -≤，即ln x x e≤，所以2ln e x ex ≤（当且仅当x e =时等号成立），因此，要证2ln 0x e e x ->恒成立，只要证明x e ex ≥在()0,∞+上恒成立即可，设()()0xe g x x x =>，则()()21x e x g x x -'=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.所以，当1x =时，()()min 1g x g e ==，即x e ex ≥在()0,∞+上恒成立.因此，有2ln x e ex e x ≥≥，又因为两个等号不能同时成立，所以有2ln 0x e e x ->恒成立. 证法二：记函数()22ln ln x x e x ex x eφ-=-=-，则()22111x x x e e e x x φ-'=⨯-=-，可知()x φ'在()0,∞+上单调递增，又由()10φ'<，()20φ'>知，()x φ'在()0,∞+上有唯一实根0x ，且012x <<，则()020010x x ex φ-'=-=，即()0201*x e x -=， 当()00,x x ∈时，()0x φ'<，()x φ单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0x φ'>，()x φ单调递增，所以()()0200ln x x x ex φφ-≥=-，结合（*）式021x e x -=，知002ln x x -=-， 所以()()()2200000000121120x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>，则()2ln 0x x ex φ-=->，即2ln x e x ->，所以有2ln 0x e e x ->恒成立.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨论的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的长度为l 的普通方程． 【答案】（1）()()22219x y -++=；（2）34y x =和0x =. 【解析】 【分析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得曲线C 的直角坐标方程为22442x y x y +-=-，即()()22219x y -++=；（2）将直线的参数方程代入曲线方程：()()22cos 2sin 19t t αα-++=， 整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A 、B 对应的参数为1t 、2t ，解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=-，则12||AB t t =-==，得23cos 4sin cos 0ααα-=， 因为0απ≤<，得2πα=或3tan 4α=，直线l 的普通方程为34y x =和0x =.【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈ （1）当1m =时，解不等式()2f x ；（2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-，所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403x <<所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x <<（2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立， 即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩，()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m <<【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

陕西省西安中学2021届高三高考模拟数学（文）试题（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i 3i z ⋅+=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3．函数()e xf x x -=-的零点所在的区间是（ ）A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知直线l 和两个不同的平面，β，则下列结论正确的是（ ）A ．若//,l l αβ⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥C ．若//,//l l αβ，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥5．若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为2a ，大正方形的面积为225a ，直角三角形中较小的锐角为θ，则3tan()4πθ+=A ．12-B ．13-C ．15-D ．17-7．数列{}n a 中，121n n a a +=+，11a =，则6a =（ ） A ．32B ．62C ．63D ．648．执行如图所示的程序框图，如果输出结果为4124，则输入的正整数N 为A ．3B ．4C ．5D ．69．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设AC AB AD λμ=+(λ，R μ∈).若43λμ+=，则CDAB =（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1410．已知直线y kx =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．y =D ．y =11．已知()(sin ),(0,)2xf x πθθ=∈，设24161(log (log 3),(log 5)2a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为过三点B 、E 、F 的面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法错误．．的是A ．HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与面11A B BA 的夹角是45︒D ．11:1:3D G GC =二、填空题 13．若lg ,0(),0xx x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩，(0)2f =，()14f -=，则((2))f f -=_______． 14．在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是__________．15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．已知数列{}n a 的首项n1n 1n n n 1n n a a 1,a ,b a a ,S 3a 1++===+为数列{}n b 的前n 项和.若n S t <恒成立，则t 的最小值为______．三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，设F 为线段AC 上一点，CF ，有下列条件：①1c =；②b =③222a b c +-=.请从以上三个条件中任选两个，求:ABF CBF S S △△的值.18．某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x （x N ∈，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x m m ∈∈Z 时表示该地区下雨，当[]1,9x m ∈+时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下： 332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm ）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 成线性回归，求回归直线方程y bt a =+，并计算如果该地区2021年（10t =）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）参考公式：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：()()9158i i i t ty y =--=-∑，()()7154i i i t ty y =--=-∑，()92160i i t t=-=∑，()72152ii tt=-=∑．19．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形．AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（1）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ．（2）线段AD 上是否存在一点F ，使三棱锥C BEF -的高6?5h =若存在，请求出DFAF的值；若不存在，请说明理由．20．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为3y x =，点()在双曲线上，抛物线()220y px p =>的焦点F 与双曲线的右焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过点F 做互相垂直的直线1l ，2l ，设1l 与抛物线的交点为A ，B ，2l 与抛物线的交点为D ，E ，求AB DE +的最小值． 21．已知函数()()()12e 1xf x x =+-．（1）求曲线()yf x =在1x =-处的切线方程； （2）证明()f x 有唯一的极值点0x ，且()01162f x -<<． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，且直线l 经过曲线C 的左焦点F ．（1）求直线l 的普通方程；（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值．23．已知函数()()211f x x a x a =-+--∈R 的一个零点为1． （1）求不等式()1f x ≤的解集；（2）若()121,01a m n m n+=>>-，求证：210m n +≥．参考答案1．D 【分析】利用方程的思想、复数除法求出复数z 而得解. 【详解】由()1i 3i z ⋅+=+，得()()()()2223i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 112z +-+-+--=====-++-+， ∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．故选：D 2．D 【分析】先求出集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={1a}，由N ⊆M ，得11a =-或1a=1．由此能求出实数a 的取值集合． 【详解】∵集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆M ， ∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={1a}， ∵N ⊆M ，∴11a =-或1a=1． 解得a=﹣1或a=1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选D ． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3．D 【分析】利用函数xy e -=和y x =的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断．【详解】解：函数()exf x x -=-，画出e x y -=与y x =的图象，如下图：当12x =时，102y =>， 当1x =时，110ey =-<， ∴函数()e x f x x -=-的零点所在的区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：D ． 4．A 【分析】根据空间中的平行垂直关系，结合相应的判定和性质定理，对选项逐一分析，选出正确结果. 【详解】对于A 中，过l 做一平面γ，且m αγ=，//l α，则//l m ，又由l β⊥，所以m β⊥，由面面垂直的判定定理，即可证得αβ⊥；对于B 中，若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，所以不正确；对于C 中，若//,//l l αβ，则平面α与平面β可能是相交的，所以不正确； 对于D 中，若αβ⊥，//l β，则l 与β可能是平行的，所以不正确. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直、线面垂直和面面平行的判定，属于简单题目. 5．D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图阴影部分，联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得()3,4A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，直线l 向上平移，z 增大，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5． 故选：D ． 6．D【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a ，面积为62a ，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案． 【详解】由题意可知小正方形的边长为a ，大正方形边长为5a ，直角三角形的面积为22254a a -=62a ，设直角三角形的直角边分别为x ，y 且x ＜y ，则由对称性可得y ＝x +a ， ∴直角三角形的面积为S 12=xy ＝62a ， 联立方程组可得x ＝3a ，y ＝4a ， ∴sinθ35=，tanθ＝34．∴334tan 3414tan tantan tanπθπθπθ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-=11tan tan θθ-+=314314-+=17-， 故选D ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题． 7．C 【分析】把121n n a a +=+化成()1121n n a a ++=+，故可得{}1n a +为等比数列，从而得到6a 的值. 【详解】数列{}n a 中，121n n a a +=+，故()1121n n a a ++=+， 因为11a =，故1120a +=≠，故10n a +≠，所以1121n n a a ++=+，所以{}1n a +为等比数列，公比为2，首项为2. 所以12nn a +=即21n n a =-，故663a =，故选C.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：（1）11n n n pa a qa p --=+，取倒数变形为111n n q a a p--=； （2）()10n n a q p p q a -+≠=，变形为()110,1n nn n n a q pq p p p a p --+≠≠=，也可以变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-； 8．B【详解】执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环1,1,2T S k ===，不满足判断条件； 第二次循环13,,322T S k ===，不满足判断条件； 第三次循环15,,463T S k ===，不满足判断条件； 第四次循环141,,52424T S k ===，满足判断条件，此时输出4124， 所以4N =，故选B ．9．C【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量加法的运算法则进行求解即可.【详解】解：∵//AB CD ，∴设CD k AB =，则DC k AB =，0k >，∵AC AD DC k AB AD AB AD λμ=+=+=+，∴1k λμ=⎧⎨=⎩， ∵43λμ+=， ∴413k +=，即13k =，即13CDAB =， 故选：C.10．C 【分析】设F '是右焦点，利用对称性，得3AF AF '=，由双曲线定义得,3'==AF a AF a ，然后利用AOF AOF π'∠+∠=可得出关于,,a b c 的关系式，从而求得b a，则可求渐近线的方程． 【详解】设F '是右焦点，则BF AF '=，3AF BF =，即3AF AF '=，又22AF AF AF a ''-==，∴AF a '=，3AF a =，而,OA b OF c '==， ∴OA AF '⊥，由AOF AOF π'∠+∠=得cos cos 0AOF AOF '∠+∠=， ∴222902b c a b bc c+-+=，且222b ca =-整理得b a =． 所以双曲线的渐近线的方程为b y x a=±=，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题解题关键是列出关于,,a b c 的等量关系．为此利用双曲线的对称性把BF 转化为AF '，利用双曲线的定义求得3,AF a AF a '==，最后利用cos cos 0AOF AOF '∠+∠=得出关系式．求得渐近线方程．11．A【分析】根据题意，分析可得()(sin )x f x θ=为减函数，由对数的运算性质分析可得16241log 5log log 32<，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，()(sin )x f x θ=，(0,)2πθ∈，则0sin 1θ<<，则函数()(sin )x f x θ=为减函数，又由24161log log log 72==，416log 3log 9=，则有16241log 5log log 32<<，42161(log 3)(log (log 5)2f f f ∴<< 则c a b >>，故选：A ．【点睛】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数()(sin )x f x θ=，的单调性，属于基础题．12．C【分析】根据面面平行的性质定理，判断A 选项是否正确，计算出三棱锥1B BMN -的体积判断B 选项是否正确，计算直线MN 与平面11A B BA 所成角的正切值，判断C 选项是否正确，计算11:D G GC 的值判断D 选项是否正确.【详解】对于A 选项，由于平面11//ADD A 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知//HF BE ，故A 选项判断正确.由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 中点，故111112131,,,,2322MA HD D G GC C N =====.对于B 选项，11111111134243232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故B 选项判断正确.对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成角为1NMB ∠，且1114tan 13B N NMB B M ∠==≠，故C 选项判断错误.对于D 选项，根据前面计算的结果可知1113,22D G GC ==，故D 选项判断正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查面面平行的性质定理，考查三棱锥体积计算，考查线面角的概念，考查平行与比例等知识，综合性较强，属于中档题.13．1【分析】利用()0f 和()1f -求解得到,a b 的值；再将2-代入x a b +，求得()2f -；根据()2f -的值代入对应解析式求得结果.【详解】 ()()0214f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 0124a b a b -⎧+=⇒⎨+=⎩，解得：131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴当0x ≤时，()113x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2121103f -⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭()()()210lg101f f f ⇒-=== 本题正确结果：1【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数值，关键在于能够将自变量代入符合范围的解析式当中.14．25【分析】利用枚举法将所有可能的情况列出再分析即可.【详解】易得所有可能的情况有()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5共10种情况.其中满足取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有()()()()1,3,1,5,2,4,3,5 共4种情况.故概率取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是42105=. 故答案为：25 【点睛】本题主要考查了枚举法求解古典概型的方法,属于基础题.15【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，11BC C D BD ===1cos C BD ∠==.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．13【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果．【详解】数列{}n a 的首项n 1n 1n a a 1,a 3a 1+==+， 则：n 1n113(a a +-=常数) 故数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，3为公差的等差数列． 则：n 1a (3n 2=-首项符合通项)． 故：n 1a 3n 2=-， ()()n n n 11111b a a 3n 23n 133n 23n 1+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， n 111111111S 1134473n 23n 133n 13⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 由于数列{}n b 的前n 项和n S t <恒成立， 故：1t 3≥， 则：t 的最小值为13， 故答案为13． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17．条件选择见解析；比值为：12+ 【分析】 不管选哪两个条件，首先都可求出23ABC π∠=，6A C π==，然后可求出4CBF π∠=，然后算出sin ABF ∠的值，然后利用:sin :sin ABF CBF S S ABF CBF =∠∠△△可得答案.【详解】法一：选①②，则1a c ==，b = 由余弦定理可得：2221cos 22a cb ABC ac +-∠==-， 又(0,)ABC π∠∈，所以23ABC π∠=，所以6A C π==. 在BCF △中，由正弦定理得sin sin CF BF CBF C =∠，因为CF ，所以sin 2CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=， 所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sin sin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 6464ππππ=+=. 于是:sin :sin ABF CBF S S ABF CBF =∠∠△△5sin :sin 124ππ==.法二：选②③，因为1a =，b =222a b c +=，所以1c =.由余弦定理可得222cos 22a b c C ab +-==， 又(0,)C π∈，所以6C π=， 所以6A C π==，所以23ABC A C ππ∠=--=. 在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BF CBF C =∠，因为CF ，所以sin 2CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=，所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sin sin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 6464ππππ=+=.于是51:sin :sin sin:sin 1242ABF CBF S S ABF CBF ππ=∠∠==△△.法三：选①③，则1a c ==，222a b c +=，则222a b c +-=，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-==， 又(0,)C π∈，所以6C π=，因为a c =，所以6A C π==， 所以23ABC A C ππ∠=--=. 在BCF △中，由正弦定理可得sin sin CF BF CBF C=∠，因为CF ，所以sin 2CBF ∠=. 又23CBF ABC π∠<∠=， 所以4CBF π∠=，所以512ABF π∠=. 所以5sin sin sin 1264ABF πππ⎛⎫∠==+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 64644ππππ=+=.于是5:sin :sin sin:sin 124ABF CBF S S ABF CBF ππ=∠∠==△△18．（1）4m =，25；（2）29179306y t =-+；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm ．【分析】（1）利用概率模拟求概率；（2）套用公式求回归直线方程即可.【详解】解：（1）由题意可知，150%10m +=，解得4m =，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨， 所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨， 故所求的概率为82=205； （2）由题中所给的数据可得5t =，25y =， 所以()()()9192158296030ii i ii t t y y b t t ==---===--∑∑，29179255306a y bt ⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭- =， 所以回归方程为29179306y t =-+， 当10t =时，29179121103066y =-⨯+=≈20.2， 所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm ．【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出,x y ；②套公式求出b a 、；③写出回归方程y bx a =+；④利用回归方程y bx a =+进行预报；19．（1）详见解析；（2）存在，12DF AF =. 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.（2）假设存在这样的点F .结合（1）中的结论，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，棱锥的体积公式，结合线面平行的判定理和线面平行的性质进行求解即可.【详解】（1）∵AE ⊥平面BCE ， BC ⊂平面BCE ，∴AE BC ⊥．又因为ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥，AE AB A =，因此BC ⊥平面ABE ． 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE ；（2）∵1AE =，2AB =，AE BE ⊥，∴BE =．假设线段AD 上存在一点F 满足题意．由（1）知，平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =． 又∵DA AB ⊥，∴DA ⊥平面ABE ，则DA BE ⊥．∵BE AE ⊥，BE AD ⊥，AE AD A =，∴BE ⊥平面ADE ，又EF ⊂平面ADE ，∴BE EF ⊥，∴1163255C BEF V EF EF -⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭． ∵AD BC ∥，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴AD 平面BCE ，∴点F 到平面BCE 的距离与点A 到平面BCE 的距离相等．又BC BE ⊥，∴11132F BCE V -⎛=⨯⨯= ⎝． 又F BCE C BEF V V --=，∴53EF =． ∵222EF AF AE =+，∴43AF =．∴12DF AF =． 【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式的应用，考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面平行的判定和性质，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．（1）22193x y -=，2y =；（2） 【分析】（1）根据渐近线方程得出,a b 的关系，再代入已知点的坐标求得双曲线方程，求出焦点坐标后可得抛物线方程；（2）由1l ，2l 与坐标轴不平行，设设直线1l 的方程为(y k x =-，代入抛物线方程，整理后应用韦达定理得A B x x +，同理得C D x x +，再利用焦点弦长公式求得AB DE +并用基本不等式求得最小值．【详解】解：（1）由题意可得b a =，即3a b ，所以双曲线方程为22233x y b -=，将点()代入双曲线方程，可得23b =， 所以双曲线的标准方程为22193x y -=， 22212c a b =+=，所以2p c ==，所以抛物线的方程为2y =．（2）由题意知()F ，1l ，2l 与坐标轴不平行，设直线1l的方程为(y k x =-，(2y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理可得(2222120k x x k -++=， 0∆>恒成立，A B x x ∴+= 因为直线1l ，2l 互相垂直，可设直线2l的方程为(1y x k =--，同理可得2D E x x +=+22A B D E x x x x p AB DE =++++=+++221k k ⎫=+≥⎪⎭ 当且仅当1k =±时取等号，所以AB DE +的最小值为【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线相交问题中的最值．求最值问题，方法是设而不求思想，引入直线AB 斜率k 得出直线方程，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得A B x x +，利用焦点弦长公式A B B x p A x ++=得弦长，求得弦长和后应用基本不等式求得最小值．21．（1）2211e e y x ⎛⎫⎪⎭+⎝=--；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导函数，得(1)f 为切线斜率，然后可得切线方程；（2）求出导函数()'f x ，令()()g x f x '=，再求导()'g x ，由()'g x 确定()'f x 的单调性，极值，以及函数值的正负，确定()'f x 有唯一零点0x ，且01(1,)2x ∈--，由01()(1)02f x f <-=<，再引函数()h x （0()f x 的表达式中0x 改为x 得到），()h x 是减函数，证明011()()26h x h >->-．即可完成证明． 【详解】解：（1）()()()12e 1x f x x =+-，()10f -=，()()22e 1x f x x ∴'=+⋅-，()211ef '-=-， ∴切线方程是：()2011e y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-+， 即2211e e y x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝=--； （2）证明：由（1）记()()(2)21x g x f x x e '==+⋅-， ()()32e x g x x =+⋅'，令()0g x '>，解得：3x >-，令()0g x '<，解得：3x <-，故()f x '在(),3-∞-递减，在()3,-+∞递增，故()()min 2310ef x f '='-=--<，当3x <-时，()()22e 10xf x x '=+⋅-<， 当3x >-时，1102f ⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭，()2110e f '-=-<， ()f x ∴'存在唯一零点011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故()00f x '=即()0022e 1xx +⋅=， 故()f x 在()0,x -∞递减，在()0,x +∞递增，()()0f x f x ∴=极小值，()f x 有唯一的极值点0x ，01()(1)02f x f <-=<-， ()()()()()00000000012e 122e 12e 2e x x x x f x x x x x =+-=+⋅-+-=--，显然()2x h x x e =--在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，01()()2h x h >- ()01112122236h x h ⎛⎫>-=->-=- ⎪⎝⎭，所以0001()26x f x x e =-->-． ()f x ∴有唯一的极值点0x ，且()01162f x -<<-． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的极值，证明与极值有关的不等式．证明的关键是对导函数再一次求导，确定导函数的单调性，正负性，从而确定导函数的零点，即为原函数的极值点．求得极小值0()f x ，证明方法是一方面利用0()f x 是极小值证明一半的不等式，另一方面，构造新函数利用新函数的单调性证明另一半．22．（1）0x y -；（2）．【分析】（1）直接利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得到曲线C 的普通方程，求出F ，带入求出m ，即可得到直线l 的普通方程；（2）设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ，把周长表示出来，利用三角函数求最值即可.【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 可得直角坐标方程：2224x y +=，化为：22142x y +=．c ∴==()F ．直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得：x y m -=，把()代入可得：m =． ∴直线l的普通方程为：0x y -．（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为()π2cos 02θθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． ∴椭圆C的内接矩形的周长为()8cos L θθθϕ=+=+≤tan ϕ=． ∴椭圆C的内接矩形的周长的最大值为【点睛】(1)参数方程与普通方程的互化通常用22cos sin 1αα+=；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩； （2）最值问题通常是利用参数方程形式转化为三角函数求最值.23．（1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用根的定义求出a ，在去绝对值号解不等式；（2）由1211m n+=-，对2m n +变形，构造基本不等式中“1的代换”即可证明. 【详解】（1）解：因为函数()()211f x x a x a =-+--∈R 的一个零点为1，即()11211=0f a =-+--，解得：1a =，此时，()1211f x x x =-+--， 不等式()1f x ≤可化为：1212x x -+-≤ 上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩，或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，或1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩，或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩， 所以102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， 所以原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）证明：1211a m n+==-，因为1m ，0n >， 所以()()211222*********m n m n m n m n m n m n -⎛⎫+=-++=-+++=++⎪--⎝⎭⎡⎤⎣⎦610≥+=， 当且仅当()212=1m n m n--，即4m =，3n =时取等号，所以210m n +≥． 即证.【点睛】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x 的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；（2）不等式的证明通常利用基本不等式、柯西不等式.。