专题_中点的妙用(初三数学)

方法专题:中点的妙用

联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？

1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；

2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；

3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；

4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；

5、有中点时常构造垂直平分线；

6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；

7、倍长中线

8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型

一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质

1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）

A ．65

B ．95

C ．125

D ．165

二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”

2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。且AN=BM.O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.

3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放

在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-

N

M

B

O C

A

B

C Q

M

三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）

如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？

5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）

如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长

6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）

如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？

7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）

如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，

60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.

求证：△SPQ 是等边三角形。

四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）

8、如图：梯形ABCD 中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3, E 为AB 中点，求证：DE ⊥EC

9、如图甲，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中

P O A B C

D 图6-1

S

Q

点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；

（2）将图甲中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明

五、有中点时常构造垂直平分线

10、如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上中线，∠C=2∠B.AC=21

BC 。

求证：△ADC 为等边三角形。

六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 11、（1）探索：已知ABC ∆的面积为a ， ①如图1，延长ABC ∆的边BC 到点D ，使CD=BC ，连接DA ，若ACD ∆的面积为1S ，则1S = （用含a 的代数式表示）

②如图2，延长ABC ∆的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE ，若DEC ∆的面积为2S ，则2S = （用含

a 的代数式表示）

③在图2的基础上延长AB 到点F,使BF=AB,连接FD ，FE,得到DEF

∆（如图3），若阴影部分的面积为3S ，3S = （用含a 的代数式表示）

⑵发现：像上面那样，将ABC ∆各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF ∆（如图4），此时，我们称ABC ∆向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的DEF ∆的面积是原来ABC ∆面积的 倍 ⑶应用：如图5，若△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =AB ，B 1C = BC ，C 1A =CA ，顺次连结A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1. 第二次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1= A 1B 1，B 2C 1= B 1C 1，C 2A 1= C 1A 1，顺次连结A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要．．．经过 次操作.

12、如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 是CD 的中

点，连接AE 、

A B C

D F G E

M 图乙

图甲 B A C E D F G M

B

D

C

A