巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。

绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。

绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。

绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。

众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。

设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。

一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜，其中a₁≤a₂≤…≤a n，那么：当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+(a n/2+1-a n/2)=(a n+a n-1+••• a n/2+1)-(a1+a2+•••+a n/2)当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【a n+a n-1+••• a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+ a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。

一类多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法作者：王联宪来源：《中学教学参考·理科版》2010年第09期近年来,高考和竞赛常出现多个绝对值求和型函数的最值问题,该类型问题常常采用分类分段讨论去绝对值符号的办法来解决,但往往因分段区间太多而难以有效解决.若利用以下命题,则可以化繁为易,迅速解题.命题:设y=︱x-︱+︱x-︱+︱x-︱+…+︱x-︱,求y达到最小值的条件:(1)当n=2k时,x∈值达到最小;(2)当n=2k-1时时,y值达到最小.证明:利用绝对值的几何意义,可以方便的证明.(1)当n=2k时,若︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当x∈-时等号成立,…︱x-︱+︱x-︱-当且仅当x∈时等号成立.因为是以上各区间的公共的子区间,所以当且仅当x∈时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.若时,当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.(2)当n=2k-1时,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,︱x-︱+︱x--︱--当且仅当∈-时等号成立,…︱x--︱+︱x-︱--当且仅当x∈-时等号成立;︱x-︱≥0,当且仅当时等号成立.因为是以上各区间唯一公共的元素,所以当且仅当时,以上各式的等号能同时成立,y值才能达到最小.【例1】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-19︱,求y的最小值.解析:该式共19项,中项为10,由以上定理知,当且仅当x=10时,y值达到最小.即当x=10时【例2】 (第19届“希望杯”高二年级2试)如果对于任意实数x,都有y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2008︱≥m成立,那么m的最大值是().A.1003×1004B.10042C.1003×1005D.1004×1005解析:m的最大值,即是y的最小值.绝对值和式共2008项,中间两项分别是1004和1005,当且仅当x∈[1004,1005]时,y值能达到最小,取x=1004或x=1005代入2,故选B.【例3】 y=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱︱x-4︱求x的解集.解析:该式共4项,中间两项分别是2和3,当且仅当x∈[2,3]时所以原不等式的解集是{x︱x3｝.【例4】 (2009,上海)某地街道呈现东西和南北方向的网格状,相邻街距都是1.两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除报刊零售点外)为发行点,使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短,求该发行点的坐标.解析:设格点为(x,y),则该格点到各零售点的距离之和为:︱x+2︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-3︱+︱x-4︱+︱x-6︱+︱y-1︱+︱y-2︱+︱y-3︱+︱y-4︱+︱y-5︱+︱y-6︱.x系列共6项,中间两项都为3,当且仅当x=3时,这一部分和值达到最小;y系列共6项,中间两项为3和4,当且仅当y∈[3,4]时,这一部分和值达到最小.所以(x,y)可取点(3,3)或(3,4),由题意舍去(3,4),所以只能选(3,3).【例5】求y=︱-1︱+︱-2︱+︱-3︱+︱-4︱+︱-5︱的最小值.解析:令则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱+︱t-4︱+︱t-5︱,共5项,中间项为3,当t=3即时【例6】求y=︱︱+︱-1︱︱-2︱︱-4︱+︱-6︱的最小值.解析:令则y=︱t+1︱+︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-4︱+︱t-6︱,共5项,中项为2,当且仅当t=2即x=4时【例7】求y=︱x2+2x-1︱+︱x2+2x-2︱+︱x2+2x-3︱的最小值.解析:令t=x2+2x,则y=︱t-1︱+︱t-2︱+︱t-3︱,共3项,中项为2,当且仅当t=2即x2+2x=2时,y有最小值,对x2+2x=2求解,得x=-1±3,此时练习:(1)求y=︱x+1︱+︱2x-6︱+︱3x-6︱的最小值.(2)求y=︱x-6︱+︱12x-6︱的最小值.分析:(1)y=︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-2︱︱x-2︱︱x-3︱+︱x-3︱,共6项,中间两项都为2,代入x=2即可.(2)y=12(︱x-6︱+︱x-6︱+︱x-12︱),中间项为6,代入x=6即可.(责任编辑金铃)。

多个绝对值相加求最小值的方法标题：如何求多个绝对值相加的最小值？在日常生活或数学问题中，我们经常会遇到需要求多个绝对值相加的最小值的情况。

当我们需要确定一组数中距离零点最近的数时，或者需要在一组数中找到和最接近某个特定值的数时。

本文将介绍一些方法和技巧，帮助你轻松求解多个绝对值相加的最小值。

1. 定义问题让我们从最基本的开始，明确问题的定义。

我们要求解的是如何求多个数的绝对值相加的最小值。

具体来说，就是给定n个数a1, a2, ..., an，我们要找到一组数x1, x2, ..., xn，使得表达式|x1-a1| + |x2-a2| + ... + |xn-an|的值最小。

这个问题其实可以抽象为一个优化问题，在一定约束条件下找到使目标函数最小化的解。

2. 穷举法一种直观的方法是利用穷举法，列举出所有可能的情况，然后逐一计算出最小值。

但是当n较大时，这个方法的时间复杂度会呈指数级增长，不太适用于大规模问题求解。

3. 贪心算法贪心算法是一种高效的方法，它通常适用于求解最优化问题。

在本问题中，我们可以利用贪心算法来求解多个绝对值相加的最小值。

具体来说，我们可以按照一定规则依次确定每个xi，使得每一步都是对整体最优的选择。

对于求解两个数a和b的绝对值相加的最小值，我们可以根据a和b的大小关系来确定x，使得|x-a|+|x-b|的值最小。

4. 动态规划动态规划是另一种常用的优化算法，它可以帮助我们高效地求解多个数的绝对值相加的最小值。

在本问题中，我们可以借助动态规划的思想，利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数中选取j个数，使得其绝对值相加的和最小。

然后根据动态规划的状态转移方程逐步求解dp数组的值，最终得到最小值。

5. 个人观点和总结在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解多个绝对值相加的最小值。

贪心算法适用于一些特殊情况，而动态规划则更适用于一般情况下的求解。

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题例1求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值,并指出y为最小值时,x的值为多少初一引进绝对值的概念,但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止;绝对值有两个方面的意义,一个是代数意义,另一个几何意义,但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义;绝对值的代数意义：｜a｜=a, a≥0；｜a｜=－a, a＜0;绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离;众所周知,如果数轴上有两点A,B,它们表示的数分别为a, ba≤b, 则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜如图1;设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜,由图2可以看出,如果X在A,B两点之间,那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜,即：当a≤x≤b时,｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样,设点C在数轴上表示的点为c,a≤b≤c,则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜,由图3可以看出,如果X落在B点,那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜,即：当x=b时,｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜;一般说来,设fx=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜,其中a₁≤a₂≤…≤a n,那么：当n为偶数时,f min x=fa,其中a n/2≤a≤a n/2+1；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n/2+1-a n/2=a n+a n-1+••• a n/2+1-a1+a2+•••+a n/2当n为奇数时,f min x=fa n+1/2；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n+1/2+1-a n+1/2-1=a n+a n-1+••• a n+1/2+1-a1+a2+•••+ a n+1/2-1也就是说,偶数个绝对值相加,当x处于最中间的两个点所表示的数之间时,其值为最小,x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加,当x等于最中间那个点所表示的数时,其值为最小,x只有一个取值;利用这个原理来解决例1的问题将非常容易地得到结论：y=｜x--3｜+｜x--2｜+｜x--1｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜,所以x=0时y最小,最小值为12;下面我们利用这一原理解决更多的问题;例2已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜,求y的最小值;解y=⅓2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜=⅓｜x--1｜+｜x--1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜∵有11个绝对值相加,11为奇数,∴当x=a5,即x=1时,y最小为：⅓2｜1+1｜+3｜1-2｜=⅓4+3=7/3例3已知｜a+3｜+｜a-5｜=8,求a的取值范围;解∵当-3≤a≤5时,｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8,∴a的取值范围是-3≤a≤5例4已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9,求a b的值;解∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜,当a=-1时,最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜,当b=5时,最小值为6,∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9,只有当a=-1,b=5时,原式=9,∴a b=-15=-1例5如图4,一条公路旁有6个村庄,分别为A,B,C,D,E,F,现在政府要在公路边建一个公交站,请问建在哪一段比较合理分析所建公交站应该到各村的距离之和最小,以公路为数轴,设A,B,C,D,E,F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f,则a≤a≤c≤d≤e≤f,故当所建公交站到各村的距离之和最小时,公交站应该处于C村和D村之间;。

妙用绝对值的几何意义解最小值问题∣m-n ∣的几何意义是：数轴上表示数m,n,的两点之间的距离。

利用绝对值的几何意义思考有关绝对值的问题，可使某些利用绝对值的代数定义难以解决的问题，简明直观地获得妙解。

例1 求∣x-1∣+∣x-2∣的最小值。

析解：由绝对值的几何意义知∣x-1∣表示x 到1的距离，∣x-2∣表示x 到2的距离。

例2 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值。

例3 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣的最小值。

已知a,b,c 都是有理数，且满足a a ||+b b ||+c c ||=1，求||abc abc 的值已知a<b<0<c ，化简式子：|a-b|+|a+b|-|c-a|+|b-c|得已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。

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初中数学：绝对式和的最⼩值，掌握⽅法，秒出答案初中⽣学了绝对值后，会经常遇到⼀个类型题，求⼀个式⼦绝对值的最⼩值。

形如│x-a│，因当x⽆限⼤时，式⼦的绝对值也⽆限⼤，⽽绝对值是⼀个⾮负数，所以式⼦的绝对值最⼩为0，此时，x=a。

所以，绝对值的最⼩值是经常考察的⼀个知识点。

接下我们就总结⼀下绝对值最⼩值的类型题。

⼀、求绝对式和的最⼩值⾸先我们要了解绝对值的⼏何含义。

⼀个数的绝对值表⽰这个数在数轴上到原点的距离。

两个数差的绝对值表⽰两个数在数轴上间的距离。

计算⽅法是⼤数减⼩数。

绝对值的⼏何含义若a<0, b>0,且│a│<│ b│,有:│a│=0-a =-a, │ b│=b-0=b，│b-a│=b-a, │a-b│=b-a。

形如│a+b│，我们可以看作为│a+b│=│a-(-b)│=a-(-b)=a+b。

即遇到相加的形式，写成减的形式,构造绝对值的⼏何意义。

1、两个绝对式的和形如│x-a│+│x-b│，（a>b）求它的最⼩值。

（1）当x在b的左边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

（2）当x在b上时，│x-a│+│x-b│=0+线段ab长=线段ab长。

（3）当x在a,b之间时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段ax长=ab长。

（4）当x在a上时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+0=线段ab长。

（5）当x在a的右边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

通过上⾯分析，可知当b≤x≤a时，│x-a│+│x-b│有最⼩值，为线段ab长=a-b。

练习│x-3│+│x-8│=8-3=5 │x-3│+│x+8│=3-（-8）=112、三个绝对式的和形如│x-a│+│x-b│+│x-c│，（a>b>c）,求它的最⼩值。

上⾯分析，我们已经知道│x-a│+│x-c│有最⼩值，为a-c，那么只需确定│x-b│的最⼩值就可以了，当且仅当x=b时，│x-b│最⼩为0。

多个绝对值之和求最小值的规律方法
嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠多个绝对值之和求最小值的这个神奇规律方法！
想象一下啊，绝对值就像是一个个小精灵，它们有正有负，但我们要把它们加在一起找到一个最小值，是不是感觉挺有意思的？就好像你要在一群调皮的小精灵中找到那个最安静的家伙。

比如说，｜2-3x｜+｜3+4x｜，
这就是有两个小精灵嘛！
那怎么找这个最小值呢？哈哈，别急，我来告诉你绝招！当每个绝对值里面的式子等于 0 的时候，就是找到最小值的关键啦！比如说上面那个例子，当 2-3x=0 时，x=2/3，当 3+4x=0 时，x=-3/4，然后在这两个点之间找
到一个最合适的位置。

哎呀呀，是不是有点像在迷雾中找到了方向一样兴奋！
再给你举个例子吧，｜x-1｜+｜x+2｜。

那这时候 x-1=0 时，x=1，
x+2=0 时，x=-2。

然后你就试着在数轴上找找，嘿，不难发现当 x 在-2 和1 之间的时候，这个和最小呀！你说神奇不神奇？
这就好像走迷宫，你得找到那条最正确的路，才能顺利走出去呀！不然
就会在迷宫里晕头转向。

咱们找这个最小值的规律方法就是那把打开迷宫大门的钥匙！它能让你轻松搞定那些看似复杂的多个绝对值之和的问题。

所以啊，大家以后遇到多个绝对值之和求最小值的问题，可千万别害怕，要像勇士一样勇敢去探索，用咱这绝招，肯定能找到答案！相信我，这方法超级实用，绝对能让你在数学的海洋里畅游无阻！。

多个绝对值和的最小值问题
上期我们谈到含有绝对值函数的图象的画法问题，今天我们再来谈谈一类函数的最小值问题，这类函数的特点是含有多个绝对值，且绝对值的系数为正，显然这类函数存在最小值，无最大值，接下来我们逐步分析。

一、含一个绝对值且系数为1的问题
二、含两个连续自然数绝对值且系数为1的问题
三、含多个连续自然数绝对值且系数为1的问题
推广到一般形式，
四、含多个绝对值且系数为1的问题
对于以上结论，如果出现系数不为1，怎么办？我们先来研究系数为正整数的情况：
五、含多个绝对值且系数为正整数的问题
【注】：实际上，我们在解决问题中，如果可以写成奇数个绝对值的和，我们只需看中间数是什么，如果可以写成偶数个绝对值的和，我们只需找中间两个数之间的数就可以，减少我们的运算。

六、含多个绝对值且系数为正有理数的问题
七、含多个绝对值且系数为正实数的问题
这一终极理论使用于上述各个形式，当然，有简单我们还是要简单地处理。

--------------------------------------------------------“培养核心素养，渗透数学美育”系列研究案例（十)•研•课題2020年第12期 中学数学教学参考（中旬）巧解多个绝对值之和的最小值％ A谢祥（四川省成都市金牛区教育科学研究院）摘要：利用绝对值的几何意义，将H个绝对值之和的问题转化为“在数轴上有《个已知点，动点到这7J 个已知点的距离之和的问题”，有利于培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养，渗透数学规律的 简单美、统一美。

关键词：多个绝对值之和的最小值问题；数形结合；数学美文章编号：1002-2171 (2020) 12-005 卜 031知识背景本案例涉及绝对值、正负数运算及不等式相关知识，涉及的数学思想方法有“由特殊到一般”“分类讨 论”“数形结合”“化归与转化思想”，适合七年级学生 学习相关知识之后使用。

2 问题初探，感受数学方法美问题1 : 1 = _______时，代数式I X — 1丨+| x —2 | + | x —3 | -f ---h|>r —2019| 取最小值？最小值为多少？分析：如果按零点分段讨论，则要分2020段讨论，太复杂。

将复杂问题退回到初始的元问题.常常 是解决问题的有效方法。

到表达。

在解题教学时，教师总是让个别优秀的学生 上台展示解答过程，用极个别优秀学生的思考代替其 他学生的思考。

其实，在这种情形之下，教师应该做 的是:等一等，多聆听学生不同的声音！学生一味按照教师铺设的思路去想，总是按教师 的“套路”出牌，这原本就不是一件好事情。

很多学生 在这个过程中失去了自主选择、自主参与的机会和途 径，只是“听教师讲”“听其他同学讲”，长期下去，必然 形成思维的惰性。

是的，学生完全可能“答非所问”，也完全可以与 教师期望的回答相差很远，甚至有时还会让教学横生(1) j ： =_____时，丨j ：—11取最小值？最小值为多少？巧解:x =l 时，丨:C —1|取最小值，最小值为0。

数形结合与绝对值最值问题的整合及应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2021年第07期[摘要]絕对值最值问题是需要学生结合绝对值的几何意义和代数意义进行运算、推理、迁移的一种题型.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.解绝对值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.文章立足绝对值的代数意义与几何意义通过数形结合解决绝对值最值问题，以培养学生的创新思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.[关键词]绝对值;最值问题;数形给合[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）20-0029-03数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.当解决数学问题时，通常会将抽象的数学问题与直观的图形结合起来.纵观近年来各省市的数学中考试题，绝对值最值问题日渐成为新亮点.基于此，教师可引导学生通过数形结合理解绝对值的代数意义和几何意义，从而破解绝对值最值问题难点，有效掌握数形结合、分类讨论、建模、转化等数学思想.本文通过实例探究来分析数形结合与绝对值最值问题的整合及应用.绝对值之和求最小值分两类：1.未知数[x]系数为1，形如[x+2+x-1];2.未知数[x]系数不为1，形如[x+2+2x-1].探究一未知数x系数为1 的情况1.求[x+2+x+1]的最小值解法一：利用绝对值的代数意义.当[x≥0]时，[x=x];当[x<0]时，[x=-x].当[x<-2]时，[x+2+x+1=-x-2-x-1=-2x-3>1]（如图1）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-44.tif>图1当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1=x+2-x-1=1]（如图2）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-45.tif>图2当[x≥-1]时，[x+2+x+1= x+2+x+1=2x+3≥1]（如图3）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-46.tif>图3∴[x+2+x+1≥1]，即[x+2+x+1]的最小值为1.解法二：[x+2+x+1]的几何意义是在数轴上找一点x，使它到-2和-1的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-47.tif>图4由图4可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤-1]时，[x]到-2和-1的距离之和最短，即[x+2+x+1]有最小值，最小值为1.2.求[x+2+x+1+x-1]的最小值解法一：当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1=-x-2-x-1-x+1=-3x-2>4]（如图5）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-48.tif>图5当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2-x-1-x+1=-x+2]，∴[3<-x+2≤4]（如图6）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-49.tif>图6当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1-x+1=x+4]，∴[3≤x+4<5]（如图7）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-50.tif>图7当[x≥1]时，[x+2+x+1+x-1=x+2+x+1+x-1=3x+2≥5]（如图8）;<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-51.tif>图8∴[x+2+x+1+x-1≥3]，当[x=-1]时，有最小值3.解法二：[x+2+x+1+x-1]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1和1三个点的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-52.tif>图9由图9可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤1]时， [x]到-2和1的距离之和最短（即[x+2+x-1]有最小值3）;当[x=-1]时，x到-1的距离最短（即[x+1]有最小值0），所以当[x=-1]时，[x+2+x+1+x-1]有最小值，最小值为3.3.求[x+2+x+1+x-1+x-2]的最小值解法一：利用绝对值的代数意义求解.定义：使得[ax+b=0]的变量[x]的值为[ax+b]的“零点”，即[ax+b]的零点为[-ba].[x-2]的零点为2.[x+1]的零点为-1.[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]的零点分别是[-2]，[-1]，1，2，（1）当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=-x-2-x-1-x+1-x+2=-4x]，∵[x<-2]，∴[-4x>8]，即原式[>8].（2）当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2-x-1-x+1-x+2=-2x+4].∵[-2≤x<-1]，∴[6<-2x+4≤8]，即 [6<]原式[≤8].（3）当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1-x+1-x+2=6].（4）当[1≤x<2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1-x+2=2x+4].∵[1≤x<2]，∴[6≤2x+4<8]，即[6<]原式[≤8].（5）当[2≤x]时，[x+2+x+1+x-1+x-2=x+2+x+1+x-1+x-2=4x]，∵[2≤x]，∴[8≤4x]，即原式[≥8].∴[x+2+x+1+x-1+x-2≥6]，当[-1≤x≤1]时，有最小值6.解法二：利用绝对值的几何意义求解.[x+2+x+1+x-1+x-2]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1，1和2四个点的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-52.tif>图10由图10可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤2]时， [x]到-2和2的距离之和最短（即[x+2+x+2]有最小值4）;当[-1≤x≤1]时，[x]到-1和1的距离之和最短（即[x+1+x-1]有最小值2），所以当[-1≤x≤1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2]有最小值，最小值为6.4.求[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的最小值解法一：[x+2]、[x+1]、[x-1]、[x-2]、[x-3]的零点分别为[-2]， [-1]， [1]， [2]， [3].（1）当[x<-2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=-x-2-x-1-x+1-x+2-x+3=-5x+3]，∵[x<-2]，∴[-5x+3>13]，即原式[>13].（2）当[-2≤x<-1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2-x-1-x+1-x+2-x+3=-3x+7]，∵[-2≤x<-1]，∴[10<-3x+7≤13]，即[10<]原式[≤13].（3）当[-1≤x<1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1-x+1-x+2-x+3=-x+9]，∵[-1≤x<1]，∴[8<-x+9≤10]，即[8<]原式[≤10].（4）当[1≤x<2]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1-x+2-x+3=x+7]，∵[1≤x<2]，∴[8≤x+7<9]，即[8≤]原式[<9].（5）当[2≤x<3]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2-x+3=3x+3]，∵[2≤x<3]，∴[9≤3x+3<12]，即[9≤]原式[<12].（6）当[3≤x]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=x+2+x+1+x-1+x-2+x-3=5x-3]，∵[3≤x]，∴[12≤5x-3]，即原式[≥12].∴[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3≥8]，当[x=1]时，有最小值8.解法二：利用绝对值的几何意义求解.[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]的几何意义是在数轴上找到一点[x]，使它到-2，-1，1，2和3五个点的距离之和最小.<E：＼8月数据＼B加急＼中学教学参考·理科版202107 飞翔＼S6-53.tif>图11由图11可知，根据“两点之间，线段最短”，当[-2≤x≤3]时， [x]到-2和3的距离之和最短（即[x+2+x-3]有最小值5）;当[-1≤x≤2]时，[x]到-1和2的距离之和最短（即[x+1+x-2]有最小值3）;当[x=1]时，[x]到1的距离最短（即[x-1]有最小值0），所以当[x=1]时，[x+2+x+1+x-1+x-2+x-3]有最小值，最小值为8.总结规律：1.代数解法——零点分段法思路：①找出绝对值的所有零点，把数轴分成若干部分进行分类讨论.②根据绝对值的代数意义，把所有的绝对值号去掉并化简.③根据所讨论的x的范围，求出化简后的式子的范围.④综合所有情况，得到原式的范围，从而得出其最值.（注意：求零点值时，必须先把零点值按大小排序）2.几何解法——数形结合法[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]的最小值（[a1≤a2≤a3≤…≤an]）.当n为奇数时，[x=an+12]处取最小值，即在n个点的中心点处;当[n]为偶数时，在区域[an2≤x≤an2+1]处取最小值，即数轴被n个点分成n+1段的中心区域.口诀：奇数点取中间点，偶數点取中间段.（零点值按大小顺序排序，处于最中间的零点值或区域即为代数式的值取最小值.）探究二未知数x系数不为1 的情况遇到形如[x-2+2x-1+x+2] 的情况，又将如何求解？对于代数式[b1x-a1+b2x-a2+b3x-a3+…+bn-1x-an-1+bnx-an]的最值问题，我们先将代数式转化为一般形式：[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]（[a1≤a2≤a3≤…≤an]），然后通过上述方法求解.如[x-2+2x-1=x-2+2x-12=x-2+x-12+x-12=x-12+x-12+x-2]，当[x=12]时，[x-2+2x-1]有最小值[32].解绝对值的最值问题要从绝对值的几何意义与代数意义两方面去寻找着力点，重点是掌握求几个绝对值之和的最小值的方法.绝对值几何意义的导出是难点，在课堂上教师要留给学生充足的思考时间，以暴露学生的知识缺陷，通过问题引导学生联想、猜想，拓宽学生的知识面，加深学生对知识的理解，培养学生的创新意识和发散性思维。

技巧巧用绝对值的几何意义解决代数式最值问题
来源：初中数学培优课堂（ID：qiaoxueshuxue）
大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．
一、绝对值之和求最小值
题型一两个绝对值相加求最小值【方法分析】
【总结归纳】
绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义
的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．
题型二多个绝对值相加求最小值
二、绝对值之差求最值
【方法分析】
至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算．。

专题03 绝对值相加求最值问题专题探究【知识点睛】❖绝对值内表达式加减的几何意义|a|：表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离|x-a|：表示数轴上的数x到数a的距离|x+a|：因为|x+a|=|x-(-a)|,所以可表示数轴上的数x到数-a的距离❖绝对值相加求最小值的方法总结：①|x-a|最小值=0 点x与点a重合（即x=a）②|x-a|+|x-b|：表示数轴上点x到点a、点b的距离之和当|x-a|+|x-b|取最小值时点x位于点a、点b之间（可以与a、b重合）|x-a|+|x-b|最小值=|a-b|③|x-a|+|x-b|+|x-c|：表示数轴上点x到点a的距离、点x到点b的距离和点x到点c 的距离之和若a＜b＜c，则当点x与点b重合时 |x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a❖易错技巧总结：若求|x-a|+|x+b|、|x-a|+|x+b|+|x-c|等类型的最小值，则表示求点x到点a、点-b 的距离之和最小，将-b表示出来后，方法同上【类题训练】1．式子-3+|x-2|的最小值为．2．已知a＜0且|2a|x≤3a，则|2x﹣1|﹣|x﹣2|最小值为．3．代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1013|的最小值是．4．如果a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，那么代数式a+b+c的最小值为．5．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B 两点间的距离为2，且a，b，c满足|a+b|+（c﹣2022）2＝0，则a＝；对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的值最小，则x的值为．6．若x为任意有理数，|x|表示在数轴上x表示的点到原点的距离，|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则|x﹣3|+|x+1|的最小值为．7．当x＝时，4﹣|x|﹣|x﹣1|﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣|x+1|的值最大是．8．综合应用题：|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．（1）|x|的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离，|x||x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”）（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝；（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝；（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝；（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是．9．已知a为整数（1）|a|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（2）|a|+2能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（3）2﹣|a﹣1|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．（1）a＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数表示的点重合；（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝，最小值为．11．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为；（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．12．|x﹣4|+|x+2|的最小值为；此时x取值范围是．13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A 表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题：（1）几何意义是数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是；式子|a+5|的几何意义是；（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣2|＝3时，m＝；（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为，此时m满足的条件是；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为，此时m满足的条件是．14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a 和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．15．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是；（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为，此时x的取值范围为．16．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．17．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．②图形语言：③答案：x为﹣7和﹣3．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字语言：②图形语言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：。

多个绝对值相加求最小值问题多个绝对值相加求最小值的问题可以通过数学方法进行求解，具体的求解思路如下：首先，给定多个数的绝对值相加的表达式，假设有n个数，表达式可以表示为：f(x) = |x1| + |x2| + |x3| + . + |xn|其中x1, x2, x3, , xn为给定的n个数。

要求的是找到一个数x，使得f(x)最小。

为了方便求解，我们可以将绝对值符号去掉，得到一个等价的问题：g(x) = x1 + x2 + x3 + . + xn我们可以观察到，当x取值在x1, x2, x3, , xn之间的某个数时，g(x)的值是最小的。

因此，我们只需要找到x1, x2, x3, , xn中的中位数，将其作为x的取值，就可以得到f(x)的最小值。

下面我们来证明这一结论：假设x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ . ≤ xn，我们可以分两种情况讨论：情况1：n为奇数此时，x的取值范围可以是x1 ≤ x ≤ xn。

我们可以令x = xi，其中i = (n + 1) / 2。

这样，x处于x1, x2, x3, , xn之间的中间位置，可以使得g(x)最小。

情况2：n为偶数此时，x的取值范围可以是x1 ≤ x ≤ xn。

我们可以令x = (xi + xi+1) / 2，其中i = n / 2。

这样，x处于x1, x2, x3, , xn之间的中间位置，可以使得g(x)最小。

综上所述，我们可以得出结论：多个绝对值相加的最小值是将给定的数排序后，取中位数作为x的取值。

在实际问题中，如果给定了n个数的具体值，我们可以先对这些数进行排序，然后找到中位数，并将其作为x的取值。

这样就可以求得多个绝对值相加的最小值。

总结起来，多个绝对值相加求最小值的问题可以通过找中位数的方法进行求解。

这种方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为给定的数的个数。

这种求解方法具有简单、直观的特点，能够有效地解决多个绝对值相加求最小值的问题。

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法命题设 a1≤ a2≤a3≤ ≤ a n,Y＝︱ x－ a1︱＋︱ x－a2︱＋︱ x－a3︱＋＋︱ x－ a n︱, 求 y 达到最小值的条件：（1）当 n＝ 2k 时， x∈﹝a k, ,a k＋1﹞ ,y 值达到最小；（2）当 n＝ 2k－1 时， x＝a k时， y 值达到最小。

利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。

( 思考：穿根法思想试试？)证明：（ 1）当 n＝2k 时若 a k＜ a k＋ 1︱x－ a1︱＋︱ x－a2k︱≥ a2k－ a1, 当且仅当 x∈﹝ a1, ,a 2k﹞时等号成立，︱x－a2︱＋︱ x－ a2k-1︱≥ a2k-1－a2, 当且仅当 x∈﹝ a2, ,a 2k-1﹞时等号成立，︱x－a k︱＋︱ x－ a k+1︱≥ a k+1－ a k , 当且仅当 x∈﹝ a k ,a k+1﹞时等号成立；因为﹝ a k,a k+1﹞是以上各区间的公共的子区间，所以当且仅当x∈﹝ a k,a k+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y 才能达到最小。

若 a k＝a k＋1时，当且仅当 x＝ a k＝ a k+1时，以上各式的等号能同时成立 ,y 才能达到最小。

（2）当 n＝ 2k－ 1 时，︱x－ a1︱＋︱ x－ a2k-1︱≥ a2k-1－ a1, 当且仅当 x ∈﹝ a1,a 2k-1﹞时等号成立，︱x－ a2︱＋︱ x－ a2k-2︱≥ a2k-2－ a2, 当且仅当 x ∈﹝ a2,a 2k-2﹞时等号成立，︱x－a k-1︱＋︱ x－a k+1︱≥ a k+1－a k-1 , 当且仅当 x∈﹝ a k-1 ,a k+1﹞时等号成立；︱x－ a k︱≥ 0，当且仅当 x＝ a k时等号成立因为 x＝a k是以上各区间唯一公共的元素，所以当且仅当x＝ a k时，以上各式的等号能同时成立，y 才能达到最小。

例 1 y＝︱ x－1︱＋︱ x－ 2︱＋︱ x－3︱＋＋︱ x－19︱, 求 y 的最小值。

两数之距之和最小值的探究与训练孙老师探究思路展示（一）基础知识绝对值的定义,00,0,0x xx xxx或,0,0x xxx x或,0,0x xxx x；课本告诉我们，x的几何意义是表示x与原点之间的距离；我们做这样的变形，0x x，当然这也就表示x与0之间的距离；两数之距等于大数减小数，等于小数减大数的相反数；我们可以总结为：两数之距等于两数之差的绝对值————这一点很重要，多举例体会下；b a表示b与a之距，()b a b a表示b与a之距；1x表示x与1之距，1(1)x x表示x与1之距；（二）一个绝对值的最小值问题1x 表示x与1之距，显然当1x时，此距取得最小值，该值为0；1x 表示x与1之距，显然当1x时，此距取得最小值，该值为0；x可改写为0x，这表示x与0之距，显然当0x时，此距取得最小值，该值为0；（三）两个绝对值之和的最小值问题13x x表示x与1之距加上x与3之距之和，易知当13x时，此和取得最小值，该值就是1与3之距，即312.练习（1）min (|1||10|)_____x x -+-=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （2）min (|1||10|)_____x x ++-=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （3）min (|10||1|)_____x x -+-=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （4）min (|10||1|)_____x x -++=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （5）min (|101||1|)_____x x +++=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （6）min (|1||10|)_____x x +++=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （7）min (|10||5|)_____x x -++=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （8）min (|6||0|)_____x x -+-=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （9）min (|2|||)_____x x ++=，当且仅当____x ≤≤时，取得该最小值； （10）若201912020x =，则|5||6|_____x x ++-=； （四）三个绝对值之和的最小值问题135x x x 表示x 与1之距加上x 与3之距加上x 与5之距之和，易知当3x 时，此和取得最小值，该值就是1与5之距，即514. 分析如下： ∵154x x ，当且仅当15x ≤≤时，等号成立；30x ，当且仅当3x =时，等号成立； ∴135404x x x ，当且仅当153x x ≤≤⎧⎨=⎩，即3x =时，等号成立。

多个绝对值相加求最小值问题
张六军
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2010(000)007
【摘要】在平时练习与做题中经常要遇到两个绝对值或者多个绝对值相加求最小值问题，形如：｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜．｜a｜＋｜b｜＋｜c｜≥｜a＋b＋c｜等问题，当然也可以从两个、三个扩展到多个绝对值相加，这样的形式在取等号时要求a、b同号（两个相加时），或者a、b、c同号（三个相加时），
【总页数】2页(P23-24)
【作者】张六军
【作者单位】河南省焦作市武陟一中,454950
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.从一道模考试题探究绝对值三角不等式在“折线距离”最小值问题中的应用 [J], 谢德斌
2.一类绝对值函数的最小值问题 [J], 曹斌
3.一堂师生合作的探究课——《对一类求含绝对值的函数最小值问题的解法研究》[J], 张东风;孙东升
4.一类含多个绝对值函数最小值问题的研究 [J], 童益民
5.巧解绝对值之和最小值问题 [J], 周奕博
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