非涉及韦达定理圆锥曲线大题精选
1．（本题满分14分）
已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个交点为()
13,0F -,而且过点13,2H ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，
离心率为1
2
，椭圆上的动点P 到直线2:a l x c =的最小距离为2，
延长2F P 至Q 使得22F Q a =u u u u r
，线段1F Q 上存在异于1F 的点T 满足10PT TF ⋅=u u u r u u u r . （1） 求椭圆的方程； （2） 求点T 的轨迹C 的方程；
（3） 求证：过直线2
:a l x c
=上任意一点必可以作两条直线
与T 的轨迹C 相切，并且过两切点的直线经过定点.
已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．
（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （２）若曲线22251
:24025
G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，试求a 的最小值．
图4
设0b >，椭圆方程为22
2212x y b b
+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4
所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为
G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
设椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>，抛物线22
2:C x by b +=。
（1） 若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；
（2） 设A （0，b ），54Q ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，,又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂
心为34B b ⎛⎫
⎪⎝⎭
0，，且△QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程。
6（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP
的斜率之积等于
1
3 .
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
7．（本小题满分为14分）
一条双曲线
2
21
2
x
y
-=的左、右顶点分别为A1,A2，点
11
(,)
P x y，
11
(,)
Q x y
-是双曲线上不同的
两个动点。
（1）求直线A
1P与A
2
Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l
1和l
2
与轨迹E都只有一个交点，且
12
l l
⊥ ,求h的
值。
8（本题满分14分）
如图，抛物线2
1:8C y x =与双曲线22
222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
12,C C 在第一象限的交点，且25AF =.
(Ⅰ)求双曲线2C 的方程；
（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切， 圆N ：22(2)1x y -+=.平面上有点P 满足:存在过 点P 的无穷多对互相垂直的直线12,l l ，它们分别与圆,M N 相交，且直线1l 被圆M 截得的弦长与直线2l 被圆N 截得的
，试求所有满足条件的点P 的坐标.
一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽AB＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
A B
（图1）A B
（图2）
已知抛物线1C 的方程为)0(2>=a ax y ，圆2C 的方程为5)1(22=++y x ，直线
m x y l +=2:1（0（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点的1C 的切
线l 交y 轴于点B ，设FB FA FM +=， 证明：点M 在一定直线上．
