热力学•统计物理
（汪志诚）
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统计物理学部分
第六章 近独立粒子的最概然分布
1、粒子的能量是粒子的广义坐标和广义动量的函数),,;,,,(2121r r p p p q q q εε=，某一时刻粒子的运动状态),,;,,,(2121r r p p p q q q 可以用μ空间的一点来表示，注意，粒子在
μ空间的轨迹并不是粒子的实际运动轨迹。
2、自由粒子自由度3，空间维数6，能量（球）)(212
22z y x p p p m
++=
ε；线性谐振子自由度1，空间维数2，能量（椭圆）2222
1
2x m m p ωε+=；
（长度一定轻杆连接质点）转子自由度2，空间维数4，能量I
M 2 2
=ε。
3、粒子运动状态的量子描述： ω =E ；k p =（德布罗意关系）自旋磁量子数2
1
±=s m
4、粒子的自由度为r ，各自由度的坐标和动量的不确定值i q ∆和i p ∆满足海森伯不确定关系
h p q i i ≈∆∆，相格的大小为r r r h p p q q ≈∆∆∆∆ 11。
5、近独立粒子系统：系统中粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，忽略粒子之间的相互作用，系统的能量就简单地认为是单个粒子的能量之和。
6、经典物理：全同粒子可以分辨，可以跟踪粒子的轨道运动轨迹；量子物理：全同粒子不可分辨，不可能跟踪粒子的运动（不确定关系）。
7、费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子，如：电子、质子、中子等。玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子，如：光子、π介子等。
8、玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，不满足泡利不相容原理，对三个粒子两个能级体系，有
9个不同的量子态；
玻色系统：粒子不可以分辨，不满足泡利不相容原理，有6个不同的量子态； 费米系统：粒子不可以分辨，满足泡利不相容原理，有3个不同的量子态。
9、统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率；宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值。
10、等概率原理：对于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的，等概率原理是统计热力学的基本原理。 11、玻耳兹曼分布：l
l
l a ω=
e ；玻色分布：1
e -=
+l l
l a ω；费米分布：1
e +=
+l l
l a ω
第七章 玻耳兹曼统计
1、内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值，其统计表达式为：
1ln Z N
U β∂∂
-=，其中配分函数∑-=l
l l Z βεωe 1，1Z e N α-=。 2、（玻耳兹曼系统）熵的统计物理意义：熵是混乱度的量度，某个宏观状态对应的微观状态
数越多，它的混乱度就越大，熵就越大。
熵的统计表达式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=11ln ln Z Z Nk S ββ，其中kT 1
=β；玻耳兹曼关系式：Ω=ln k S 3、理想气体的物态方程：V
NkT
Z V N p =
∂∂=
1ln β 4、气体满足经典极限条件（非简并条件）：1e >>α
，即要求（1）气体要稀薄；（2）温度要高；（3）分子的质量m 要大。
5、麦克斯韦速度分布：z y x v v v kT m
z y x z y x dv dv dv e kT
m n dv dv dv v v v f z y x )(22
2
22/3)2(
),,(++-=π； 麦克斯韦速率分布：dv v kT
m n fdv v kT m
2
222/3e )2(
4-=ππ 6、最概然速率：m
kT v m 2=
；平均速率：m kT v π8=；方均根速率：m kT
v s 3=
7、单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数（碰壁数）：v n 4
1
=
Γ 8、能量均分定理：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的
平均值的平均值等于
kT 21。根据能量均分定理，单原子分子的平均能量为kT 23
=ε，双原子分子的平均能量kT 2
5
=ε【平动能+转动能+0振动能（相对运动动能+相对运动势能）】。
第八章 玻色统计和费米统计
1、当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
2、巨配分函数：()
l
l
l
l
l ωβε
αΞΞ---∏∏-==
e 1
3、熵与微观状态数的关系：()
ΩβαΞln ln k U N k S =++= 4、巨热力势和巨配分函数的关系：Ξln kT J -=
5、当理想玻色气体的612.23
≥λn 的临界值的时候将会出现玻色－爱因斯坦凝聚现象。 6、光子气体 特征1：自旋量子数为1；
特征2：所有光子速度均为常数c ，具有极端相对论的能量动量关系； 特征3：光子系统的总粒子数不固定；
能量动量关系：cp =ε（用德布罗意关系证明：cp h
c
c
h
h ====λ
λ
νε）
7、辐射场普朗克公式：ωωπωωεωωωd c V d )(D d )T ,(U kT /1
e 3
32-==
8、普朗克假说：能量是一份份传播的，即能量量子化，每一份光子的能量为νh ，称为能
量子，这是物理革命性的飞跃。
9、光子气体（极端相对论粒子）状态方程：V
U
p 31=
第九章 系综理论
1、 统计热力学的基本原理是：等概率原理；
宏观体系的性质是微观性质的综合体现； 体系的热力学量等于其微观量的统计平均。
由微观量求取宏观量的基本手段：系综理论，可适用有相互作用体系 2、 微正则系综：无数宏观上完全相似的体系的集合，体系与环境之间没有物质和能量的交换；（孤立系统的集合，N 、E 、V 不变）
正则系综：无数宏观上完全相似的体系的集合，体系与环境只有热量的交换，没有功和物质的交换；（封闭系统的集合，N ，V ，T 不变）
巨正则系综：无数宏观上完全相似的体系的集合,体系与环境之间既有物质也有能量的交换。（开放系统的集合，V 、T 、μ不变）
3、刘维尔定理：系统从初态出发沿着正则方程确定的轨道运动，概率密度ρ在运动中不随时间改变，即
0d d =t
ρ
。 4、等概率原理的量子表达式：Ω
ρ1
=
s 。
5、几率归一化条件：因为体系在任何时间均一定会处于某一微观运动状态，所以，体系的所有可达微观运动状态出现的几率之和应等于1。即⎰
=1d ),,(Ωρt p q 。 6、正则系综配分函数∑-=
s
E s
Z β
e 是统计热力学中最重要的函数。
