第二章 数列极限
§1 数列极限概念
教学目的与要求：
使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点：
数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，
日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32
1，……，n 21
，…… 或简记作数列：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 21
分析：1°、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；
2
二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n
a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。
例如：⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 1， a=0；
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2
n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n
)1(-， a 不存在，数列不收敛；
2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε
=10
1
3)1(3--+
=-n
a a n
n =10
11
n
只需取N=10，即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义：设{}n
a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在
某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有
a
a n -＜ε
则称数列{}n
a 收敛于a ，a 为它的极限。记作
a a n n =∞
→lim ｛(或a n →a,(n →∞))
说明
（1）若数列{}n
a 没有极限，则称该数列为发散数列。
（2）数列极限定义的“符号化”记法：a
a n n =∞
→lim ⇔
ε
∀＞0，∃N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a
a
n
-＜ε，可用a
n
-替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．
的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
个N
（5）如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞
→lim ： 0ε∃＞0，∀N ，∃n 。
尽管n 。＞N ，但a
a
o
n -≥ε（6）如何用肯定的语气叙述，数列{}n
a 发散：
R a ∈∀ ，)(a O O εε=∃＞0，∀N ，∃n o,尽管n o ＞N ，但a
a
o
n -≥εo 。
（7）a a n n =∞
→lim
即a {}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。
.的例题 例1.证明01
lim
=∞
→k
n n （K 为正实数）
证：由于
k
k n n 1
01=
- 所以∀ε＞0，取N=⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡
k 1
1ε,当n ＞N 时,便有ε〈-01
k n
注：或写作：∀ε＞0，取
N=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡k 1
1
ε，当n ＞N 时，有
ε〈=-K
K n n 101，∴01
lim =∞
→k
n n
例2. 证明34
3lim
22
=-∞
→n n n 分析，要使ε〈≤-=--n n n n 12
412343222（为简化，限定n 3≥
只要n ε
12
〉
证.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=〉∀3,12max ,0εεN 取,当n N 〉,有
ε〈≤-=--n
n n n 12
41234322
2
由定义34
3lim
22
=-∞
→n n n 适当予先限定n ＞n 。是允许的！但最后取N 时要保证n ＞n 。 例3．证明n
n q ∞
→lim =0，这里q ＜1
证.若q=0,结果显然成立
若0＜q ＜1，令q =h h (11
+＞0) 由于由贝努利不等式n
n
n h q q )
1(1
+=
=≤nh +11＜nh 1 所以，ε∀＞0，取N=n h 当,1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ε＞N ，有0-n q ＜ε
注：1°特别地写当q=
2
1
时，此即为上述实例中的0)
21(lim =∞
→n
n
２°贝努利不等式（１＋h ）n ≥1+nh.
3°由例2、例3看出，在由a a n -＜ε中求N 时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“n ＞n 。”等方法。 例4．证明1lim
=∞
→n
n a ，其中a ＞1
证.令a n
1
-1=α，则α＞0
由贝努利不等式 α=（1+α）n ≥1+n α=1+n （11-n
a
）或11
-n a ≤
n
a 1
-
ε
∀ ＞0，取N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-ε1a ，当n ＞N 有1
1-n
a
＜ε
四、等价定义与无穷小数列
定义1' 任给ε＞0，若在U （a;ε）之外数列{}n a 中的项至多只有有限个，
则称数列{}n a 收敛于极限a 。
由定义1' 可知，若存在某ε0＞0，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在U(a ；ε0)
