2016年研究生入学考试数学二试题

( x − 1) 2 , x <1 A. F ( x ) = x (ln x − 1), x ≥ 1 ( x − 1)2 , x <1 F ( x ) = C. x(ln x + 1) + 1, x ≥ 1
3. 反常积分① ∫
0 1 x 1 x −∞
( x − 1) 2 , B. F ( x ) = x(ln x + 1) − 1, ( x − 1) 2 , F ( x ) = D. x(ln x − 1) + 1,
3π 3π ] 上的平均值； (2) 证明 f ( x ) 在 0, 内存在惟一零点. 2 2 1 1− a 1 0 0 a ， β = 1 ，且方程组 Ax = β 无解. 22.(11 分)设矩阵 A = 1 a + 1 1 a + 1 2a − 2 T T (1)求 a 的值；(2)求 A Ax = A β 的通解.
5. 设函数 f i ( x )(i = 1,2) 具有二阶连续导数，且 f i ′′( x0 ) < 0(i = 1, 2) ， 若两条曲线 y = f i ( x)(i = 1, 2) 在点 ( x0 , y0 ) 处具有公切线 y = g ( x) ， 且在该点处曲线 y = f1 ( x) 的曲率大于曲率 y = f 2 ( x) 的曲率，则在 x0 的某个邻域内，有【 】 A. f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ g ( x ) C. f1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) 6. 已知函数 f ( x, y ) = A. f x′ − f y′ = 0 A. A , B 相似
D x x
x 2 − xy − y 2 dxdy . x2 + y2
19.(10 分)已知 y1 ( x ) = e ， y2 ( x ) = u ( x )e 是二阶微分方程 (2 x − 1) y ′′ − (2 x + 1) y ′ + 2 y = 0 的两个解。若 u ( −1) = e ， u (0) = −1 ，求 u ( x ) ，并写出该方程的通解.
T T
B. f 2 ( x ) ≤ f1 ( x ) ≤ g ( x ) D. f 2 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f1 ( x )
e ，则【 】 x− y B. f x′ + f y′ = 0
B. A , B 相似
−1 −1
x
C. f x′ − f y′ = f C. A + A , B + B 相似
0
1
17.（10 分）已知函数 z = z ( x, y ) 由方程 ( x 2 + y 2 ) z + ln z + 2( x + y + 1) = 0 确定，求 z = z ( x, y ) 的极值。 18.(10 分)设 D 是由 y = 1, y = ± x 围成的有界区域，计算二重积分 ∫∫
二、填空题（ 填空题 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
x3 + arctan(1 + x 2 ) 的斜渐近线方程为： 1 + x2 1 1 2 n 10. 极限 lim 2 (sin + 2sin + ⋯ + n sin ) = . n →∞ n n n n
9. 曲线 y = 11. 以 y = x 2 − e x 和 y = x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
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2016 年硕士研究生入学考试数学二试题 年硕士研究生入学考试数学二试题
一、选择题（ 选择题 1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
1. 设 α1 = x cos x − 1 , α 2 = 阶到高阶的排序是【 】 A. α1 , α 2 , α3 B. α 2 , α 3 , α1 2. 已知函数 f ( x ) =
T T
D. f x′ + f y′ = f 】 D. A + A−1 , B + B −1 相似
7. 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，且 A, B 相似，则下列结论错误 错误的是【 错误
2 8. 设二次型 f = a ( x12 + x2 + x32 ) + 2 x1 x2 + 2 x2 x3 + 2 x1 x3 的正负惯性指数分别为 1,2, 则【 C 】 A. a > 1 B. A < −2 C. −2 < a < 1 D. a = 1 或 a = −2
(1)求 f ( x ) 在 [0,
0 −1 1 23.(11 分)已知矩阵 A = 2 −3 0 ，(1)求 A99 ; （2）设 3 阶矩阵 B = (α1 , α 2 , α 3 ) ,满足 B 2 = BA . 记 0 0 0 B100 = ( β1 , β 2 , β 3 ) ,将 β1 , β 2 , β 3 分别表示为 α1 , α 2 , α 3 的线性组合.
1
4
.
三、解答题（ 解答题 15~23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（10 分）求极限 lim(cos 2 x + 2 x sin x ) x .
x→0
16.(10 分)设函数 f ( x ) = ∫ | t 2 − x 2 | dt ( x > 0) ，求 f ′( x ) 及 f ( x ) 的最小值.
(
)Leabharlann Baidu
x ln 1 + 3 x , α3 = 3 x + 1 − 1 ,当 x → 0+ 时， 以上 3 个无穷小量按照从低
C. α 2 , α1 , α3 D. α 3 , α 2 , α1
(
)
2( x − 1), x < 1, 则 f ( x ) 的一个原函数是【 】 x ≥ 1, ln x,
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x
.
. .
12. 已知函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞) 上连续，且 f ( x ) = ( x + 1)2 + 2 ∫ f (t )dt ，当 n ≥ 2 时， f ( n ) (0) =
0
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π x = cos3 t 20.(11 分)设 D 是由 y = 1 − x 2 (0 ≤ x ≤ 1) 与 (0 ≤ t ≤ ) 围成的平面区域。求 D 绕 x 轴旋转一 3 y = sin t 2 周所得旋转体的体积和表面积. 3π cos x 3π 的一个原函数，且 f (0) = 0 . 21.(11 分)已知 f ( x ) 在 [0, ] 上连续，在 0, 内是函数 2 2 x − 3π 2
x <1 x ≥1 x <1 x ≥1
+∞ 1 1 e dx ，② ∫ e dx 的敛散性为【 】 2 0 x x2 A. ①收敛②收敛 B. ①收敛②发散 C. ①发散②收敛 D. ①发散②发散 4.设函数 y = f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 上连续，其导函数如图所示，则【 】 A. 函数有 2 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点 B. 函数有 2 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 3 个拐点 C. 函数有 3 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点 D. 函数有 3 个极值点，曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点
13. 已知动点 P 在曲线 y = x 上运动， 记坐标原点与点 P 间的距离为 l . 若点 P 的横坐标对时间的变化率为 常数 v0 ，则当 P 运动到 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 .
a −1 −1 1 1 0 14. 设矩阵 −1 a −1 与 0 −1 1 等价，则 a = −1 −1 a 1 0 1