最新考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
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考研——积分上限的函数(变上限积分)知识点
()()x
a
F x f t dt =⎰
形如上式的积分,叫做变限积分。 注意点:
1、在求导时,是关于x 求导,用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时,则把x 看作常数,积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 (即在积分内的x 作为常数,可以提到积分之外。)
关于积分上限函数的理论
定理1如果)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在(a ,b )上可积,而)(x f 可积,则⎰=x
a dt
t f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界,且只有有限个间断点,则)(x f 在(a ,b )上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续,则⎰=x
a dt t f x F )()(在],[
b a 上可导,而且有
).(])([)(x f dt t f dx d x F x
a
==
'⎰ ==========================================
注:(Ⅰ)从以上定理可看出,对)(x f 作变上限积分后得到的函数,性质比原来的函数改进了一步:可积改进为连续;连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道,可导函数)(x f 经过求导后,其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
(Ⅱ)定理(3)也称为原函数存在定理。它说明:连续函数必存在原函数,并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道,求原函数是求导运算的逆运算,本质上是微分学的问题;而求定积分是求一个特定和式的极限,是积分学的问题。定理(3)把两者联系了起来,从而使微分学和积分学统一成为一个整体,有重要意义。
重要推论及计算公式:
推论1 )(])([x f dt t f dx d b
x -=⎰ <变上限积分改变上下限,变号。>
推论2 )()]([])([)
(x x f dt t f dx
d x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。>
推论3 )()]([)()]([])([)
()
(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰ <上下限都是变的时候,
用上限的减去下限的。>
题型中常见积分限函数的变形和复合情况:
(1)比如 ⎰-=x
dt t f t x x F 0)()()(
(被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)
在求)(x F '时,先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-x
x
x
x
dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0
)()()()(的形式,再对x 求
导。分离后左边的部分要按照(uv)'=u 'v + uv '进行求导!(重点) (2)比如 ⎰-=x
dt x t tf x F 0)()(
( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)
在求)(x F '时,先对右端的定积分做变量代换x t u -=(把x 看作常数),此时,du dt =,0=t 时,x u -=;x t =时,0=u ,这样,)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分下限函数:
⎰⎰⎰---+=+=0
)()()()()(x
x
x
du u uf du u f x du u f u x x F ,然后再对x 求导。
( 3 ) 比如 ⎰=1
)()(dt xt f x F
(这是含参数x 的定积分,
在求)(x F '时,时,0=u ;1=t 时,x u =,于是,)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数:
⎰=x
du u f x x F 0
)(1)(,然后再对x 求导。
有积分限函数参与的题型举例 (1) 极限问题: 例1 ⎰
⎰-→x x x dt
t t t tdt
2
3
)sin (sin lim
2
(提示:0/0型,用洛必达法则,答:12)
例2 x
dt t x
x ⎰
+∞
→0
sin lim
(提示:洛必达法则求不出结果,用夹逼准则,0=<|sinx|=<1。 答:π
2
)
例3 已知极限1sin 1
lim
00=++-⎰→x x x dt c
t t a bx e ,试确定其中的非零常数.,,c b a
(答:.1,1,1==-=c b a ) (2) 求导问题
例4 已知 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=⎰⎰.
sin ,
)cos 1(00t
t udu y du u x 求.dx dy (参数方程,你懂的!答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0
=+⎰⎰
xy
y
t tdt dt e 求
.dx
dy
(答: )cos()cos(xy x e xy y y
+-)
例6 求⎰-x
dt t x dx d 0
2)sin( (答: 2sin x )
例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ⎰⎰=x x
dt
t f dt t tf x 00)()()(ϕ 在),0(+∞内单调增加. (同济高数课本Unit5-3例题7)
(3) 最大最小值问题
例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:⎰⎰-+=e
x
x
dt t tdt x A )ln 1(ln )(1
, 然后求出)(x A ',
再求出其驻点. 答:e =ξ.)
例9 设0≥x ,
n 为正整数. 证明 ⎰-=x
n tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过.)
32)(22(1
++n n