南京市高三年级第三次模拟考试试卷(数学)

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ．2.已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ▲ ．3.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲ ．4.现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为▲．5.执行右边的伪代码，输出的结果是▲．6.已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为▲．7.已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．8.已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ∥α，m β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ▲ ．9.将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ▲ ．10.已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲ ．612a a a =-;71a a =;82a a =，如此下去，则可发现它的规律周期为６的数列，又60S =，则131S a =，故11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲ ．12.在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．22PM AM r ==，联想圆的定义知：点M 和点C 重合，又2PC =，则1r =，故圆M ：22(1)1x y -+=．考点：1.圆的定义;2.圆的几何性质;3.直线和圆的位置关系14.设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2c a． （1）求B ；（2）若cos(C ＋π6)＝13，求sin A 的值．16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE的值；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.的知识易得：AO OC AE EP ∶＝∶结合比例线段关系即可求得12AE PE =;（2）中要证明面面垂直，根据面由DF PC DF FB PC FB F PC FB PBC ⊥⊥⋂⊆，，＝，、平面，所以DF PBC ⊥平面．17.某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足f (n )＝9Aa＋bt n，其中t＝2-23，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．所以9f(n)+18nAt+⨯，其中2-3t=2．第n 年的增长高度为()(1)f n f n V ＝－－＝1991818n n A A t t--+⨯+⨯．……………………9分18.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作 两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．两种情况分类讨论：当120x x ＋＝时，再利用PM PN ⊥，可转化为=0PM PN ⋅u u u u r u u u r ，进一步确定出两点的坐（3）设1122()()M x y N x y ，，，，则因为PM PN ⊥，所以=0PM PN ⋅u u u u r u u u r ，得2211(1)1y x ＝＋＋．19.已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程；（2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．函数的最小值大于零，即可得证．（3）不妨设120x x ＞＞．因为()()120f x f x ＝＝，所以1122ln 0ln 0x mx x mx －＝，－＝，20.已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求b a的值； （2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．的大小关系不确定，故要对其分类讨论：①当b a ＞时，1q ＞．当*n n m ∈≤N ，时，11m n S S m n +>+．即因为*m n λ∈N ，，，所以(1)(5)1+1n m λ--+为有理数．(3)设0n c ＞，n S 为数列{}n c 的前n 项的和．南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.A．选修4—1：几何证明选讲已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2＝BD·EC．21.B ．选修4—1：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点 (3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．21.C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A (2，0)，B (0，23) 是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．考点：1.椭圆的参数方程;2.三角函数的图象性质21.D．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．22.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD ． （1）若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ； （2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．空间直角坐标系． 所以cos =||4|n|||OP OP π⋅n u u u r u u u r ，解得12λ=，23.已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，……，集合S k 中所有元素的平均值记为b k ．将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，……，数组T 中所有数的平均值记为m (T )．（1）若S={1，2}，求m (T )；（2）若S ＝{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *，n ≥2），求m (T )．1111111112123123n n n n i i n n n n C C C n n a C C C C n---=++++-∑++++L L ＝………………………………………6分。

江苏省南京市高三数学6月全真模拟（三模)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）设A＝｛x｜x2－5x＋4≤0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6≥0｝，则A∩B（）A . ［1，2］［3，4］B . ［1，2］［3，4］C . ｛1，2，3，4｝D . ［－4，－1］［2，3］2. （2分）(2017·宁德模拟) 若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则 z的共轭复数为（）A . 1+iB . 1﹣iC .D .3. （2分） (2017高一上·广东月考) 已知函数的定义域为，则实数的值为（）A . 5B . -5C . 10D . -104. （2分） (2017高二上·南阳月考) 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（）A . 2B .C .D .5. （2分）已知p：不等式的解集为R；q：指数函数为增函数，则p是q成立的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分条件也不必要条件6. （2分）已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高三上·潍坊期中) 函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）A .B .C .D .8. （2分）已知F1,F2分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是（）A .B . (2,5]C . (1,5]D . (1,2)二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分）(2020·泰安模拟) 已知向量，则（）A .B .C .D .10. （3分）(2020·泰安模拟) 某院校教师情况如下表所示关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是（）A . 2017年男教师最多B . 该校教师最多的是2018年C . 2017年中年男教师比2016年多80人D . 2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为11. （3分）(2020·泰安模拟) 若（），则（）A .B .C .D .12. （3分）(2020·日照模拟) 已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A . 函数是周期函数B . 函数的图象关于点对称C . 函数为上的偶函数D . 函数为上的单调函数三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·民勤期中) 一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．14. （1分） sin=________15. （1分） (2016高三上·平湖期中) 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是________．16. （1分） (2019高二上·杭州期中) 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.四、解答题 (共6题；共46分)17. （1分）(2016·深圳模拟) 设数列{an}的前n项和为Sn ， an是Sn和1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．18. （10分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，=（a+c，c﹣b），=（sinA，sinB+sinC），且•=0，（′1）求向量和的夹角θ；（2）若a+c=2，求b取得最小值时，AC边上的高h．19. （5分） (2016高二上·西湖期中) 如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．（1）求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．20. （10分）(2017·榆林模拟) 据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量（个）频数频率0～40.155～8400.49～122513～16a c16以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．21. （10分） (2019高二上·开封期中) 已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴， .（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.22. （10分） (2018高三上·酉阳期末) 已知，函数 .（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）令，已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共46分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ． 3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ．7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ． 8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ．9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ． 10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ． 12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE的值；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作 两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求b a的值； （2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． 南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点 (3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD ． （1）若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ； （2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

南京2020届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|2<x<4}，B ＝{x|1<x<3}，则A ∪B ＝________．2. 若z ＝a1＋i＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为________．3. 某校共有教师300人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为________．4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为________．5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为________．6. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中ω>0，－π2<φ<π2 的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2 的值为________．7. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则数列{a n }的前n 项和为________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为________．9. 若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥AB 1CD 1的体积为________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，f （－x ），x>0，g(x)＝f(x －2)．若g(x －1)≥1，则实数x 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上的两个动点，且OA → ⊥OB →.若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为________．12. 若对任意a ∈[e ，＋∞)(e 为自然对数的底数)，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为________． 13. 已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D.若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为________．14. 在△ABC 中，A ＝π3，D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin B sin C 的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证： (1) EF ∥平面PCD ；(2) 平面PAB ⊥平面PCD.16. (本小题满分14分)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m·n ＋12.(1) 若f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，x ∈(0，π)，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的值； (2) 若f (α)＝－110，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值.17. (本小题满分14分)如图，港口A 在港口O 正东方向的100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为85海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险)，其中OB ＝2013海里，tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝55.现一艘科考船以105海里/小时的速度从点O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇． (1) 若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (2) 在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； (3) 若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．已知函数f(x)＝e xx 2－ax ＋a(a ∈R )，其中e 为自然对数的底数．(1) 若a ＝1，求函数f (x )的单调减区间；(2) 若函数f (x )的定义域为R ，且f (2)>f (a )，求实数a 的取值范围；(3) 证明：对任意a ∈(2，4)，曲线y ＝f (x )上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20. (本小题满分16分)若数列{a n }满足n ≥2，n ∈N * 时，a n ≠0，则称数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1(n ∈N *)为{a n }的“L 数列”．(1) 若a 1＝1，且{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＝n ＋k －3(k >0)，且{a n }的“L 数列”为递增数列，求实数k 的取值范围；(3) 若a n ＝1＋p n －1，其中p >1，记{a n }的“L 数列”的前n 项和为S n ，试判断是否存在等差数列{c n }，对任意n ∈N *，都有c n <S n <c n ＋1成立，并证明你的结论．2020届高三年级第三次模拟考试(二十)数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0，a ∈R .若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)．(1) 求矩阵A ；(2) 求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.(1) 求AA1的长；(2) 试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成的角和二面角B-A1C-A的大小相等，并说明理由．23. (本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N* )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其他情况均不获奖．记获奖概率为P n.(1) 求P1；(2) 证明：P n＋1<P n.2020届高三年级第三次模拟考试(二十)(南京)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. 23. 604. 105. 2 36. 37. 2n ＋1－2 8.62 9. 8310. [2，4] 11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. (1) 取PC 的中点G ，连结DG 、FG .在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以 GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以 DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以 GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG.(4分)又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面 PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形， 所以 CD ⊥AD.又因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 CD ⊥平面 PAD.(10分) 因为PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥PA.(12分)又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面 PCD.(14分)16. (1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以f (x )＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x＋12＝cos 2x ＋12.(2分) 因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.又因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝－2－ 3.(6分)(2) f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分) 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22.(12分) 又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，点A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ， 即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55， 化简得t 2＝4，解得t 1＝2或t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55， 所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d<r ，此时直线AC 与圆B 相交， 所以快艇有触礁的危险．故若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2， 所以直线OD 的方程为y ＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100， 所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分) 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.故x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B(－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形， 所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)． 因为点M ，A 在椭圆C 上，所以M ⎝⎛⎭⎫－1，±32.(6分)(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分) 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2.(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1.①(12分)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 为矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4.②(14分)由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ>0，因此k ＝±112， 所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ， f ′(x )＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2，令f ′(x )<0，解得1<x <2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a <0，解得0<a <4.(4分)由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f ′(x )＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0<a <2时，因为当a <x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )>f (2)，不符题意．(6分)③当2<a <4时，因为当2<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )<f (2)，满足题意．综上，实数a 的取值范围为(2，4)．(8分) (3) 设切点为(x 0，f (x 0))，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分)设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知当a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h ′(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a . 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4⎝⎛⎭⎫a －322＋27>0恒成立， 所以h ′(x )＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2.所以函数h (x )最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a <0，h (1)＝a －2>0，h (2)＝a －4<0，h (5)＝50－11a >0， 所以h (0)h (1)<0，h (1)h (2)<0，h (2)h (5)<0. 因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点．(16分)20. (1) 因为{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N * ，即a n ＋1a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k >0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1.令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0<k <1时，f (1)＝1－1k －1>1，f (2)＝1－1k <1，所以b 2<b 1，不符合题意．(6分)当k >1时，因为2－k <1，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以{b n }单调递增，符合题意．综上，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下： 因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋pk ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n )． 又因为p >1，所以1－1p>0，所以n p <S n <n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p <S n <n p ＋1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n .(14分) 因为1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n <1p ，所以np <S n <n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n <S n <c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意．(16分)21. A. (1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P (1，1)在矩形A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20＝[3－1－22]， (6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以点Q ′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0.(6分) 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]>0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．(10分)22. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面 ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t>0)，又AB ＝3，AC ＝4，则 A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)， 所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)． (2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4， 所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93×32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分) 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等．(10分)23. (1) 根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×⎝⎛⎭⎫252×35＝425＋24125＝44125.(2分)(2) 累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35；(4分) …前2n －1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n，则P n ＝C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1＋C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n n ＋C nn ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]，(6分)因此P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫35n ] ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]}＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{⎝⎛⎭⎫1－35×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n×(35)n ]} ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×⎝⎛⎭⎫352＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]}(8分) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n 2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)． 因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n2n ＋1) ＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1， 所以P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1<0， 因此P n ＋1<P n .(10分)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. 23. 604. 105. 236. 37. 2n ＋1－2 8.62 9. 8310. [2，4] 11. 6 12. [－2，＋∞) 13. －94 14. 3815. (1) 取PC 的中点G ，连结DG 、FG .在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以 GF ∥BC ，GF ＝12BC.因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以 DE ∥BC ，DE ＝12BC ，(2分)所以 GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG.(4分)又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面 PCD.(6分)(2) 因为底面ABCD 为矩形， 所以 CD ⊥AD.又因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以 CD ⊥平面 PAD.(10分) 因为PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥PA.(12分)又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD. 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面 PCD.(14分)16. (1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以f (x )＝m·n ＋12＝cos 2x －sin 2x＋12＝cos 2x ＋12.(2分) 因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12.又因为x ∈(0，π)，所以x ＝π3，(4分)所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝－2－ 3.(6分) (2) f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－45.(8分)因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos β＝1－sin 2β＝210，(10分) 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22.(12分)又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为7π4.(14分)17. 如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立平面直角坐标系xOy. 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B(60，40)，点A(100，0)．(2分)(1) 设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t. 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA·OC·cos ∠AOD ， 即(50t)2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55， 化简得t 2＝4，解得t 1＝2或t 2＝－2(舍去)，(4分) 所以OC ＝40 5. 因为cos ∠AOD ＝55， 所以sin ∠AOD ＝255，所以C(40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0.(6分)因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d<r ，此时直线AC 与圆B 相交， 所以快艇有触礁的危险．故若快艇立即出发有触礁的危险．(8分)(2) 设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E. 设直线AE 的方程为y ＝k(x －100)，即kx －y －100k ＝0. 因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k|12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12.(10分)由(1)可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2， 所以直线OD 的方程为y ＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－2（x －100），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝100， 所以E(50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505，(12分) 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－ 5.故x 的最小值为(3－5)小时．(14分)18. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，0)和⎝⎛⎭⎫1，32，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2分)(2) 因为B 为左顶点，所以B(－2，0)． 因为四边形AMBO 为平行四边形， 所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2.(4分) 设点M(x 0，y 0)，则A(x 0＋2，y 0)． 因为点M ，A 在椭圆C 上，所以M ⎝⎛⎭⎫－1，±32.(6分)(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(8分) 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝k·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2.(10分)因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1.①(12分)因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 为矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化简得5m 2＝4k 2＋4.②(14分)由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时Δ>0，因此k ＝±112， 所以所求直线AB 的斜率为±112.(16分) 19. (1) 当a ＝1时，f(x)＝e xx 2－x ＋1，所以函数f(x)的定义域为R ， f ′(x )＝e x （x －1）（x －2）（x 2－x ＋1）2，令f ′(x )<0，解得1<x <2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2分)(2) 由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a <0，解得0<a <4.(4分)由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f ′(x )＝e x （x －a ）（x －2）（x 2－ax ＋a ）2.①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意．②当0<a <2时，因为当a <x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )>f (2)，不符题意．(6分)③当2<a <4时，因为当2<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )<f (2)，满足题意．综上，实数a 的取值范围为(2，4)．(8分) (3) 设切点为(x 0，f (x 0))，化简得x 30－(a ＋3)x 20＋3ax 0－a ＝0.(10分)设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知当a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h ′(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a . 因为Δ＝4(a ＋3)2－36a ＝4⎝⎛⎭⎫a －322＋27>0恒成立， 所以h ′(x )＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2.所以函数h (x )最多有三个零点．(12分)因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a <0，h (1)＝a －2>0，h (2)＝a －4<0，h (5)＝50－11a >0， 所以h (0)h (1)<0，h (1)h (2)<0，h (2)h (5)<0. 因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点．(16分)20. (1) 因为{a n }的“L 数列”为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N * ，即a n ＋1a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1＝2n （n －1）2.又a 1＝1符合上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n （n －1）2，n ∈N *.(2分)(2) 因为a n ＝n ＋k －3(k >0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1.令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0<k <1时，f (1)＝1－1k －1>1，f (2)＝1－1k <1，所以b 2<b 1，不符合题意．(6分)当k >1时，因为2－k <1，所以f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以{b n }单调递增，符合题意．综上，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(3) 存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下： 因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋pk ＝1p ＋1－1p 1＋p k ，k ∈N *，(10分) 所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n )． 又因为p >1，所以1－1p>0，所以n p <S n <n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p <S n <n p ＋1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n .(14分) 因为1p ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1p n <1p ，所以np <S n <n ＋1p.设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p ，且c n <S n <c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意．(16分)21. A. (1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a .(2分)因为点P (1，1)在矩形A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20.(4分)(2) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－20＝[3－1－22]， (6分)所以A 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以点Q ′的坐标为(－3，6)．(10分)B. 由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0.(2分)曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－3sin θ＋3|2(4分)＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋1＋32.(6分)当θ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时，(8分)曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32.(10分)C. 因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．(4分)当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0.(6分) 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 得(a －b )·[(a )5－(b )5]>0.(8分) 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．(10分)22. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为直三棱柱， 所以AA 1⊥平面 ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC.又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AA 1＝t(t>0)，又AB ＝3，AC ＝4，则 A(0，0，0)，C 1(0，4，t)，B 1(3，0，t)，C(0，4，0)， 所以AC 1→＝(0，4，t)，B 1C →＝(－3，4，－t)． (2分)因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4， 所以AA 1的长为4.(4分)(2) 由(1)知B(3，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0.取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos 〈n ，AB →〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝123×42＋32＋32＝434，(6分) 所以sin 〈n ，AB →〉＝317.设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos 〈CP →，AB →〉＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93×32＋（－4）2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为3m 2＋25.(8分)因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等，所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成的角和二面角BA 1CA 的大小相等．(10分)23. (1) 根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以P 1＝25×25＋C 12×⎝⎛⎭⎫252×35＝425＋24125＝44125.(2分) (2) 累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35；(4分) …前2n －1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n 2n×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n，则P n ＝C n n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1＋C n n ＋1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]，(6分)因此P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ] ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n]} ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{⎝⎛⎭⎫1－35×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n2n ×(35)n ]}＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋1×35＋C 1n ＋2×⎝⎛⎭⎫352＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]－[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×⎝⎛⎭⎫35n －1＋C n 2n ×⎝⎛⎭⎫35n ]}(8分)＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×{[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1]－[C 0n ＋C 1n ＋2×35＋…＋C n2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n＋C n 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1＋C n ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]}，则P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×[Cn ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－C n2n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1－Cn ＋12n ＋2×⎝⎛⎭⎫35n ＋2]＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋2－C n2n ＋1－35C n ＋12n ＋2) ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2)． 因为C n ＋12n ＋1－35C n ＋12n ＋2＝C n ＋12n ＋1－35(C n ＋12n ＋1＋C n2n ＋1) ＝25C n ＋12n ＋1－35C n 2n ＋1＝－15C n 2n ＋1， 所以P n ＋1－P n ＝⎝⎛⎭⎫25n ＋1×⎝⎛⎭⎫35n ＋1×(－15)×C n 2n ＋1<0， 因此P n ＋1<P n .(10分)。

2024届江苏省南京市雨花台中学高考三模数学试题一、单选题1．集合{N14}A x x =∈-<<∣的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162．将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A ．14B ．724C ．712D ．17243．已知复数z 满足2z z z z -=+，则复数z 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．已知方程2sin 2sin cos 2sin 4cos 0ααααα+--=，则2cos sin cos ααα-=（ ）A ．45-B ．35C ．35- D ．455．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =u u u r u u u r ，13DF DC =u u u r u u u r ．若λ=+u u u r u u u rBD AE μu u r AF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．756．已知e lg3a =，()lg ln3b =，1ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知球O 的直径为PC A B =、是球面上两点，且π3PA PB APB =∠=，则三棱锥P ABC -的体积（ ）AB C D 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,,A A P 是双曲线上不同于1A ，2A 的一点，设直线12,A P A P 的斜率分别为12,k k ，则当()12ln ak k b+取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB C D ．2二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．已知随机变量16,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()3212D X +=B ．()()()P B P AB P AB =+C ．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8D ．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则这10名学生成绩的方差为10.510．在棱长为3的正方体111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，N 在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点N ，使得1//MN BCB ．三棱锥M —11A BC 的体积等于94C ．有且仅有两个点N ，使得MN ∥平面11A BCD ．有且仅有三个点N ，使得N 到平面11A BC11．下列等式中正确的是（ ）A ．8881C 2k k ==∑B ．82392C C k k ==∑C ．82111!8!k k k =-=-∑ D ．()8828160C C k k ==∑三、填空题12．已知圆22:2O x y +=，过点()1,3M 的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且2AB =，则直线l 的方程为.13．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n 次分形”（n *∈N ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n 的最小整数值是.（取1g30.4771≈，lg20.3010≈）14．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC BD ，为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin :sin :sin CBD BDC BAD ∠∠∠=4AC =，则ABD △面积的最大值为.四、解答题15．在三角形ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c b c …，求12b a -的取值范围. 16．如图1，在直角梯形ABCD 中，,,45,6,2,,AB DC AB BC BAD AB CD E F ⊥∠=︒==∥分别为,AD BC 的中点，沿EF 将平面EFCD 折起，使二面角C EF B --的大小为60︒，如图2所示，设,M N 分别为,AB BF 的中点，P 为线段AD 上的动点（不包括端点）．(1)求证：CN AE ⊥；(2)若直线MP 与平面ADE 所成角的正弦值是35，求AP AD ．17．学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p ，13．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X 的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ．求p 为何值时，()f p 取得最大值．18．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与双曲线2222:1x y C b a -=．(1)若E 的长轴长为8，短轴长为4，直线()1:2l y kx m k =+≠±与C 有唯一的公共点M ，过M 且与1l 垂直的直线分别交x 轴，y 轴于点()(),0,0,A x B y 两点，当M 运动时，求点(),D x y 的轨迹方程；(2)若E 的长轴长为4，短轴长为2，过E 的左焦点1F 作直线2l 与E 相交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），分别过,P Q 作E 的切线，两切线交于点N ，求NPQ △面积的最小值． 19．已知 a n 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n M ，即{}12max ,,,n n M a a a =⋅⋅⋅；前n 项的最小值记为n m ，即{}12min ,,,n n m a a a =⋅⋅⋅，令n n n p M m =-（1,2,3,n =⋅⋅⋅），并将数列{}n p 称为 a n 的“生成数列”． (1)若3n n a =，求其生成数列{}n p 的前n 项和； (2)设数列{}n p 的“生成数列”为{}n q ，求证：n n p q =；(3)若{}n p 是等差数列，证明：存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +，⋅⋅⋅是等差数列．。

2022年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）（三模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知R 为实数集，集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足，则( )A.B.C.D. 3.为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A 节目不排在第一个，则节目安排的方法数为( )A. 9 B. 18C. 24D. 274.函数的部分图象大致为( )A. B. C. D.5.我们知道，任何一个正整数N 可以表示成，此时当时，N 是一个位数．已知，则是位数．( )A. 71B. 70C. 69D. 686.的展开式中，记项的系数为若，则a 的值为( )A. 0 B. 1C. 2D. 37.已知函数的图象与y 轴的交点为，与x 轴正半轴最靠近y 轴的交点为，y 轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B ，若的面积为其中O 为坐标原点，则函数的最小正周期为( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知，若，，则实数m 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设，，则下列说法正确的是( )A.B. “”是“”的充分不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. ，使得10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，则下列说法正确的是( )A. 若，则点O在圆C外B. 圆C与x轴相切C. 若圆C截y轴所得弦长为，则D. 点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为11.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( )A. 事件B与事件C互斥B.C. 事件A与事件B独立D. 记C的对立事件为，则12.在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是( )A. 平面PACB. 平面PBCC. 在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D. 记直线DO与过点P的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。