曲线拟合实例

接构成多边形称为 B 特征多边形。用三次样条函数拟合 B 多边形而形成的拟合
( )=[
(0 ≤ ≤ 1)
（2-29）
将 ( )向量分解为 , 方向上的向量,得到其参数形式:
7
( )= ( )= 其中参数： , , , =( = −( =( = −( =( = −( =( = −(
3
这时， 只能寻求在某种意义下最接近这些数据点的参数多项式曲线 P t 作为逼近 曲线。 度量逼近的程度最常用的方法是取逼近曲线 Pt 上具有参数值 t k 的点 Pt k 与数据点 Pk 间的距离平方和 J Pt k Pk J x J y J z
k 0 m 2
四、样条拟合法
区间 [a，b]上根据分段函数式的不同，可分为：
4
<
<⋯<
= 的分段 次
− 1)上具有直到 一 1阶连续导数。
(1)圆弧样条曲线 当分段 ( )函数为圆弧时， 称为圆弧样条曲线， 其节点处切线和曲率连续， 因为不具备二阶连续导数，故曲线的光顺性较差，曲率呈跳跃式变化（图 3)。
曲线拟合方法
一、拉格朗日（Lagrange）插值法
作 n 次代数多项式
pn x a0 a1 x a2 x 2 an x n ,
（1-1）
使满足条件 pn xi yi
i 0,1, , n
（1-2）
其系数行列式是范德蒙（Vandermonde )行列式
图 1 9 次多项式拟合基本型平曲线误差图
1
随着数据点的加密，采用高次插值，拟合曲线 pn x 会在更多点上逼近原曲 线 f x ，但在整体上，拟合曲线函数 pn x 会在两端发生激烈的震荡，出现致命 弱点——龙格现象，要避免这种现象，则需要将拟合函数区间细化，进行分段插 值拟合。

曲线拟合法的Matlab实现曲线拟合在许多科学和工程领域中都有广泛应用，包括机器学习，数据科学，信号处理，控制工程等。

在Matlab中实现曲线拟合的方法有多种，其中最常用的是使用fit()函数。

以下是一个基本的示例，演示如何在Matlab中使用fit()函数进行曲线拟合。

我们需要一些数据。

假设我们有一组x和y数据点，我们想要在这些点上拟合一条曲线。

y = 3*x.^2 + 2*x + 1 + randn(size(x));fitresult = fit(x, y, 'poly1');在这里，'poly1'表示我们想要拟合一个一次多项式。

你可以使用'poly2'，'poly3'等来拟合更高次的多项式。

同样，你也可以使用其他类型的模型，如指数、对数、自定义函数等。

然后，我们可以使用plot()函数将原始数据和拟合曲线一起绘制出来。

在这里，'hold on'命令用于保持当前图像，这样我们就可以在同一个图形上绘制多条线了。

我们可以使用fitresult来获取拟合曲线的参数和其他信息。

例如：以上就是在Matlab中进行曲线拟合的基本步骤。

需要注意的是，对于复杂的实际问题，可能需要进行更复杂的模型选择和参数优化。

也可以使用其他工具如curve fitting toolbox进行更详细的分析和拟合。

最小二乘曲线拟合是一种数学统计方法，用于根据给定数据点拟合出一条曲线或曲面，使得该曲线或曲面最小化每个数据点到拟合曲线或曲面的平方误差之和。

这种方法广泛应用于数据分析和科学计算等领域。

本文将介绍最小二乘曲线拟合的基本原理和在Matlab中的实现方法。

假设有一组数据点 (x_i, y_i)，i=1,2,...,n，需要拟合出一条曲线y=f(x)。

最小二乘法要求曲线 f(x)最小化每个数据点到曲线的平方误差之和，即E = sum (f(x_i)-y_i)^2对曲线 f(x)进行求导，得到一元一次方程：f'(x)=sum(f(x)-y)*x-sum(f(x)-y)E = sum [(f'(x))^2] * x^2 - 2 * sum [f(x) * f'(x) * x] + 2 * sum [f(x)^2]令 E对 f'(x)的导数为零，可得到最小二乘曲线拟合的方程：sum [f'(x)^2] * x^2 - 2 * sum [f(x) * f'(x) * x] + 2 * n * f(x)^2 = 0在Matlab中，可以使用polyfit函数实现最小二乘曲线拟合。

图1为某工程试桩S Z1#桩单桩竖向抗压静载试验结果曲线，设计桩型为P H C-500(125)-C80高强度预应力管桩，桩长30.0m，试验执行《建筑基桩检测技术规范》（J G J106—2014），采用慢速维持荷载法[1]，荷载加载至3600k N维持荷载过程中，位移量持续增加，压力无法保持，达到破坏状态，终止试验，取破坏荷载的前一级3240k N作为该桩单桩竖向抗压极限承载力,对应的最大稳定沉降量为18.22m m。

本工程进行单桩竖向抗压静载试验桩共3根，为摩擦型桩，单桩竖向抗压静载试验结果曲线相似，受检桩桩身均未破坏，均为桩-土破坏，静载试验确定的单桩竖向抗压极限承载力分别为：S Z1#桩3240k N、S Z3#桩3240k N、S Z5#桩2880k N，单桩竖向抗压极限承载力依据规范统计结果为3120k N（低值2880k N）。

图2为尚未进行单桩竖向抗压静载试验前，参考图3地质勘察资料地层分层情况，采用实测曲线拟合法给出的单桩竖向抗压极限承载力检测值为2909k N ，现场采集数据选用5.0T 重锤，落距0.7m ，根据桩-锤反应经验及本地区工程经验判断受检桩已被充分打动；根据地质勘察资料计算的单桩竖向抗压极限承载力约为2031k N （桩顶基本为地面平）；因已知本受检单体工程的工程桩将同时进行单桩竖向抗压静载试验，在拟合时便以充分发挥测试曲线承载力的原则拟合，因考虑到高应变实测曲线拟合法给的单桩竖向抗压极限承载力检测值往往偏于保守，本次拟合主动放弃部分拟合质量，分析人员也有足够的相似地区场地的高应变实测曲线拟合法检测分析经验，所以本次高应变实测曲线拟合法给出的单桩竖向抗压极限承载力检测值高于比平时正常进行工程验收试验拟合给出的单桩竖向抗压极限承载力检测值约20%，高于地勘资料计算单桩竖向抗压极限承载力40%左右，低于单桩竖向抗压静载试验统计结果承载力约10%，高于静载试验结果的低值，但考虑到高应变法检测承载力发挥机理需要受检桩有一定动位移，其承载力检测值必定会低于静阻力，本次高应变实测曲线拟合法承载力检测值结果是非常接近充分休止的受检桩桩-土承载力极限值的，但是，这种充分发挥实测曲线承载力的分析方法在有充分静载资料的情况下才建议使用，这种分析方法是极不保守的，一旦工程桩施工质量有瑕疵或者地质条件有不利的变化时，对于工程是存在风险的。

matplot 拟合曲线在使用 Matplotlib 进行曲线拟合时，可以使用 numpy.polyfit() 函数来进行多项式拟合。

以下是一个简单的示例：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 原始数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 多项式拟合degree = 2 # 多项式的阶数coefficients = np.polyfit(x, y, degree)poly = np.poly1d(coefficients)y_fit = poly(x)# 绘制原始数据和拟合曲线plt.scatter(x, y, label='Original Data')plt.plot(x, y_fit, label='Fitted Curve')plt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.legend()plt.show()在上述示例中，我们使用 numpy.polyfit() 函数进行二次多项式拟合。

通过指定输入数据 x 和 y，以及多项式的阶数 degree，函数将返回多项式的系数。

我们然后使用 np.poly1d() 函数创建一个多项式对象，并使用该对象计算拟合曲线上的各个点的值 y_fit。

最后，我们使用 Matplotlib 绘制原始数据和拟合曲线，通过 scatter()函数绘制原始数据的散点图，通过 plot() 函数绘制拟合曲线。

添加合适的标签、轴标签和图例，最后使用 show() 函数显示图形。

可以根据需要调整拟合的多项式阶数、数据集等参数。

请注意，多项式拟合可能不适用于所有类型的数据，因此在应用时需要谨慎选择和评估拟合结果。

例题4-2 某矾土矿物成分用x表示，SiO2用y表示，实验数 据如下，已知x和y间存在线性关系，试计算a和b并进行相 关系数检验
X Y 67 24 54 15 72 23 64 19 39 16 22 11 58 20 43 16 46 17 34 13
解 本例除观测数据不同外，程序与例4-1完全相同，只需将 例4-1程序中x和y数据按本题数据改写即可。 请同学们自己上机练习 运行后输出 a=5.4366346 alpha =0.01 alpha =0.05
0 2i
x0，令x0=1， 2 x0 矩阵各项值 未变，但形 x0 x1i 式变得很有 x0 x2 i 规律
x x x x x
0 2 1i 1i
1i
2i
x x x x x
• 可用高斯消去法求正规方程组，得到模型系数C0，C1，C2 • 同样方法可推广到二元以上的多元线性拟合，如对有4个自 变量的四元线性拟合方程，需要确定C0，C1，…，C5 五个模 型系数 • 也可用其它方法求解多元线性模型正规方程组
i 1
•相关系数 R
S回 S总
Lxy Lxx Lyy
由于S总>=S回，有R2<=1
• 相关系数 R 用于评价两个变量间的线性相关程度
•R的取值情况： ① R = 0 ，表明原离散函数 x 与 y 之间不存在线性关系，称 为线性无关； ② 0 < |R| < 1 ，x 与 y 存在线性关系 |R|越接近于1，线性相关性越大； ˆ R<<1，说明yi与yi 偏离大，回归直线不能代表原离散函数； ③ |R| = 1 ，所有数据点都在回归直线上，称完全线性相关， 表明 x 和 y 有确定的函数关系 • 显著性检验——只有当相关系数 R 的绝对值达到一定值时 才可用回归直线表示 x 与 y 的关系 • 相关函数R与显著性水平的关系表（表4-2） • R的临界值——与观测次数m及显著性水平有关 • m-2: 自由度 ：信度，0.05和0.01，代表显著性水平 • 若 R小于 ＝0.05 时的值，不显著，反之则显著(以*表示) • 若R大于＝ 0.01时的值，高度显著（以**表示）；＃

Linear。.1线性拟合
讨厌的紫箭头，虽然copy到 word里会消除掉。 消 除 办 法 ： Analysis-FittingFit Linear-Open dialog， Recalculate选None
6.1线性拟合
1. 线性拟合（Fit Linear） 单独拟合：1)画出散点图后，在图 形窗口下，先选中要拟合的列的数
摘要信息显示，整合了斜率、截距 和相关系数等主要信息。 6）ANOVA
显示方差分析的结果。
Linear Fit对话框设置
• 拟合结果分析报表 7）Fitted Curves Plot 显示拟合结果缩略图。 8）Residual vs. Independent Plot 实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再Re
置信度。
Linear Fit对话框设置
8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一
列对应的数据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots
用于输出各残差分析图。
Linear Fit对话框设置
• 关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，
1
主要的控制按钮以及下部的
2
一组信息显示标签。
3
• NLFit对话框设置
对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。
1）Setting标签：包括4个子项。
A、Function：包括Category（函数所属种类）、Functi on（具体的函数）、Description（函数描述）和File Name （函数来源和名称）。
x)
A2 x
A2 1
x

0x, 1x, , nx, n m,
{jx} ( C[a,b] ) 在点集 {x0,x1, , xm} 上线性无关 . 问题 在曲线族 y ( x )

n j0
c j j ( x ) 中寻找一条曲线
y*(x),
使其能按照某种原则去拟合数据(5.92), 用 y*(x) 代替数据 (5.92) 反映的函数关系.
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
10
2
c (t ) c 0 e
10
1
kt
c , k 为待定系数
10
0
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 m+1个点（xi,yi) i=0,1,…m, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x)在某种准 则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + + +
(5.97)
* c0 ( f , 0 ) * c1 ( f , 1 ) * cn ( f , n )
证 (必要性) 记
F (C ) ( A C Y , A C Y )

m
i0
A ( C C *) 0
A (C
C *), A ( C C *) 0 .
F ( C ) F ( C *)
方程 ATAC* ATY 叫做最小二乘的法方程 或正规方程.
由 ATA 的正定性, 知法方程的解存在且唯一.
五、最小二乘法的精度
拟合曲线对数据的拟合精度, 可用误差平方和 来刻画.

玻尔兹曼曲线拟合全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：玻尔兹曼曲线拟合是一种常用的数据拟合方法，广泛应用于物理、化学、生物等各个领域。

玻尔兹曼曲线拟合可以帮助研究人员找到数据中隐藏的规律性，从而更好地理解数据背后的物理、化学或生物机制。

本文将介绍玻尔兹曼曲线拟合的基本原理、方法和应用，并分享一些实际案例，希望读者能对这一拟合方法有更深入的了解。

一、玻尔兹曼曲线的基本原理玻尔兹曼曲线是一种S形曲线，通常用来描述某种变量随着另一种变量的变化而变化的关系。

在物理学和化学领域，玻尔兹曼曲线最常用来描述变量之间的非线性关系，例如温度对电导率、溶液浓度对吸光度等的影响。

y = A + \frac{B}{1 + e^{(x-x_0)/C}}y为因变量，x为自变量，A、B、x0、C为拟合参数。

A为曲线的上限，B为曲线的幅度，x0为曲线的中点，C为曲线的斜率。

通过调整这些参数，可以使拟合曲线更好地拟合实际数据。

玻尔兹曼曲线的拟合方法通常是通过最小二乘法来实现的。

最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小化残差的平方和来确定拟合曲线的参数。

在拟合玻尔兹曼曲线时，研究人员需要首先选定拟合的自变量和因变量，然后根据实验数据进行拟合，得到最优的拟合参数。

玻尔兹曼曲线的拟合过程通常分为以下几个步骤：1. 选择适当的自变量和因变量。

在拟合玻尔兹曼曲线时，需要首先确定哪种变量作为自变量，哪种变量作为因变量。

通常情况下，自变量为影响因变量变化的因素，因变量为受影响的结果。

2. 收集实验数据。

在确定了自变量和因变量后，研究人员需要进行实验或者采集数据，得到一组数据点用于拟合。

3. 利用最小二乘法进行拟合。

在得到实验数据后，研究人员可以利用最小二乘法对数据进行拟合，得到最优的拟合参数。

4. 分析拟合结果。

拟合完成后，研究人员需要对拟合结果进行分析，判断拟合曲线与实际数据的拟合程度，以及拟合参数的合理性。

玻尔兹曼曲线拟合在不同领域有着广泛的应用。

曲线拟合
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63

数学建模曲线拟合例题一、概述形象的说，拟合就是把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来。

因为这条曲线有无数种可能，从而有各种拟合方法。

拟合的曲线一般可以用函数表示，根据这个函数的不同有不同的拟合名字。

1.名称：如果待定函数是线性，就叫线性拟合，否则叫作非线性拟合。

表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条插值。

2.区分：拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础方法，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。

二、方法及应用我们手工求解时比较简便实用的方法是最小二乘法。

即下图所示：具体推导步骤如下：设拟合直线y=a+bx，有任意观察点（xi，yi）且误差为di=yi-(a+bxi)。

当D等于di平方的累加和取最小值时，直线拟合度最高。

而在matlab中数据拟合的原理是最小拟合也是运用了最小二乘原理，其中polyfit与polyval是最基本的拟合方法。

在实际运用中我们最常使用polyfit与polyval函数用来进行拟合求解。

polyfit函数用以拟合横、纵轴数据得到拟合多项式储存在p中，而polyval用于计算出每个横轴坐标x在拟合多项式p中对应的函数值。

三、例题【例题一】x从1到9，y为9，7，6，3，-1，2，5，7，20，运用polyfit 和polyval命令计算其多项式系数。

得结果多项式系数：P=0.1481-1.40301.85378.2698 y=0.1481x^3-1.4030x^2+1.8537x+8.2698图像如下所示：以下为预测出的部分数据。

结果说明：（1）p-最小二乘拟合多项式系数（向量）最优函数的多项式的各项系数应使得误差平方和S取得极小值。

（2）S-误差估计结构体（结构体）此可选输出结构体主要用作polyval函数的输入，以获取误差估计值。

（3）mu-中心化值和缩放值(二元素向量)中心化值和缩放值，以一个二元素向量形式返回，以单位标准差将x中的查询点的中心置于零值处。

程序代码二
• • • • • • >> n=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; >> Q=[70 122 144 152 174 196 202]; >> canshu=polyfit(n,Q,1); >> Q=polyval(canshu,n); >> plot(n,Q,'*',n,Q); >> xlabel('年份/n'),ylabel('钱数/万元'),title('乡镇企业 利润与年份散点图');
热敏电阻电阻值与温度散点图 1050
1000
950
900
R
850
800
750 20
30
40
50
60 t
70
80
90
100
可得到拟合后方程为： 0.002 t 2 3.1691t 707.2841 R
2012-12-9
案例二：利润问题 某乡镇企业1990-1996年的生产利润如下。
年份 1990 1991 1992 19ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 1994 1995 1996 122 144 152 174 196 202
案例一： 当温度越高时，电阻的阻值也变得越大，可 先在直角坐标系中得到电阻—温度 的散点图，通过 对散点的分析，用最小二乘法对实验数据进行相应 阶次的拟合。
程序代码一
• • • • • • >> t=[20.5 32.7 51.0 73.0 95.7]; >> R=[765 826 873 942 1032]; >> canshu=polyfit(t,R,2); >> R=polyval(canshu,t); >> plot(t,R,'*',t,R); >> xlabel('t'),ylabel('R'),title('热敏电阻电阻 值与温度散点图'); • >> canshu • canshu = • 0.0020 3.1691 707.2841

Origin画频率分布直方图与曲线拟合实例Origin画频率分布直方图与曲线拟合实例本文基于Origin8本文只用于来不及学习origin而又要交实验报告的同学们。

首先打开origin8默认的界面如下，这里的格式应当是Book类型的。

1.首先，你可以先输入数据，如果你嫌在origin中输入太麻烦，而且和你的记录格式(比如是10*20的列表)，你可以考虑在Excel中输入，再通过origin 中:File>>Import>>Excel(XLS,XLSX) 在Excel中输入:1再将数据形式转化为:导入(import)origin: 23如下，直接按OK:4接下来就是如下画面(那个小窗口可以关掉):2.然后就是数据处理了左键单击 A(X)，选中所有你输入的数据在 A(X)栏单击右键，在菜单选择 "Frequency Count..."即频数统计5弹出如下窗口各项设置如下: 6然后按 OK 就行了7然后你会看到:按住"Ctrl" 键同时选中 Bin Center(X) 和 Freqs(Y)单击左下方的8画出直方图3.这时候你可能还需要拟合正态分布曲线在 Graph 的视图下，也就是有图片的那个视图下在上方，依次单击 Analysis>>Fitting>>Nonliner Curve Fit (曲线拟合) (>>OpenDialog 如果你不是第一次使用曲线拟合，就要在单击这个了)弹出如下窗口:9function 栏已经是Gauss(高斯)函数，只是这里的Guass函数与我们平时看到的有点不一样，但如果仅仅是拟合曲线，系数什么的不是我们所关心的，当然，为了看到熟悉的系数，我还是选择了另一个更为接近的高斯函数1011单击Fit 进行拟合弹出如下窗口，随意选择即可，默认为yes然后你就得到拟合曲线了124.你可以对图像进行进一步的修饰了:在左侧的工具栏你可以选择 T 工具进行文字的添加，在图像上拖动，在弹出窗口中输入文字。

水位～流量关系曲线拟合实例分析文章以永翠河带岭站实测流量资料为例，对该站水位～流量关系曲线进行了函数模型公式拟合分析。

分别采用线性回归和一元图解分析的方法对该站2014年水位～流量关系线进行了公式拟合，得出了拟合关系式并对不同关系类型函数进行了拟合精度对比分析，提出了计算机拟合曲线方程与人工定线推算流量的优缺点及实际工作中对拟合公式的使用建议。

标签：永翠河带岭站；水位～流量关系曲线；曲线拟合方程；人工定线；对比分析1 水位～流量关系曲线介绍流域流量资料在各类水利工程和水资源规划设计工作中发挥着不可替代的重要作用。

水文站测到的流量值是针对某一水位级的瞬时流量，因单次流量测验工作量较大，历时较长，而水位观测简单快捷，为了准确地获得河流任一水位下的实时流量值，往往采用测站水位～流量关系曲线来间接查得瞬时流量。

这种利用测站畅流期各实测流量数据与其同时对应的水位来建立的相关线就称为水位～流量关系曲线。

传统的水位～流量关系曲线定线方法为人工绘图，按相关规范要求首先分别绘制水位～流速、水位～面积曲线，然后据此绘制水位～流量曲线，根据曲线上不同水位级来查读流量。

这种方法虽然得到的流量数值精度较高，但也存在工作量大，效率较低的问题，尤其在一些临时性推算河道流量数据时这种方法非常不便。

文章利用计算机来拟合分析水位～流量函数关系公式，利用关系式可以立即算出某个水位下的河道流量，应用时非常方便快捷。

2 曲线拟合实例应用分析2.1 应用条件分析对水位～流量关系曲线进行公式拟合分析的基本要求是河道横断面必须相对稳定，同一水位级下年内、年际断面面积变化较小，河床冲刷现象不显著，年内水位～流量关系曲线呈单一线型，这样才能使拟合公式具有较长时段的使用性。

实例流域水文站多年断面和水位～流量关系曲线变化情况见表1、图1和图2。

由表1可知，各级水位下断面面积、流量平均偏差分别为4.9%和8.6%，可以说明测站断面年际间变化程度较小，满足水位～流量关系线公式拟合的条件要求。

k 0, 1, 2, , n
函数逼近就是从整体上使误差尽量的小一些
如引例中就是用一条直线（一次多项式）从整体上逼近弹簧受 力与伸长量之间的函数关系（并不要求这条直线经过所有结点， 事实上也没有这样的直线能够实现这一点。）
§1 离散最小二乘的曲线拟合问题
f(x)为定义在区间[a,b]上的连续函数， xi
第五讲 曲线拟合与函数逼近
引例：Hooker定律 设F表示弹簧受力，x表示弹簧伸长量；经过试验得到下 面的一组数据，试确定弹簧受力与伸长量的关系
x(cm)
1
2 3.9
4
7
9
12
13
15
17
F ( kg) 1.5
6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1
25
20
15
F
10 5
30
0 0 2 4 6 8 x 10 12 14 16 18
25
20
15
F
10
5
0
0
2
4
6
8 x
10
12
14
16
18
给出一组离散点，确定一个简单函数近似原函数，多项式 插值提供了一种处理手段。
然而，在实际问题中，给出的结点处的离散数据或多或少的 都带有误差，插值要求多项式严格通过这些插值结点，无形 之中就将这些点处的误差保留下来； 尤其是当结点数目较多时，误差可能累积起来，从而对最终 近似效果产生较大影响（这正是高次插值产生Runge现象的 一个主要原因）； 此外，即便给出的结点处的离散数据较为精确，但由于插值 条件的限制，也导致多项式插值仅仅在处理结点附近的函数 值近似问题时较为有效，即插值的局部近似效果好，整体逼 近效果差。

最小二乘法的求解
若任意函数h( x)和g ( x)，引入记号：
m
(h, g )
h( xi ) g ( xi ),
i 1
则上述方程可以描述为(法方程)：
n
( j , k )ak ( f , k ) j 0
式中：
n
( j ,k )
i j ( xi )k ( xi )
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
x xi ,i 0,1, , n 的函数值 f (x) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
5
曲线拟合问题的提出 曲线拟合的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始终假设数据点是精确的，准确 的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。

y

i

xi
y i

解得a0 , b0即可
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如 表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
解 1.确定 V=(I)的形式。将数据点描绘在坐标上（如 下图），可以看出这些点在一条直线的附近，故用线
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
i

origin曲线拟合案列假设我们有一个数据集，包含以下原始数据点：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [2, 4, 6, 8, 10]我们想要找到一个曲线来拟合这些数据点。

首先，我们可以假设这个曲线是一个二次函数，表示为：y = ax^2 + bx + c我们的目标是找到合适的参数 a、b 和 c，使得曲线最好地拟合数据点。

为了达到这个目标，我们需要最小化拟合曲线与原始数据之间的误差。

一种常用的方法是最小二乘法，通过最小化误差的平方和来找到最佳拟合曲线。

我们可以使用 Python 中的 SciPy 库来进行曲线拟合。

以下是一个示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fitdef func(x, a, b, c):return a * x**2 + b * x + cx = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])params, params_covariance = curve_fit(func, x, y)print(params)```在上述代码中，我们定义了一个名为 `func` 的二次函数。

然后，我们使用 `curve_fit` 函数来拟合数据点并得到最佳参数。

最后，打印`params`，我们可以得到最佳参数a、b和c的值。

运行代码后，输出可能类似于：```[1. 0. -1.]```这意味着最佳拟合曲线为 `y = x^2 - x`。

我们可以使用 `params` 中的参数值来绘制拟合曲线，并与原始数据点进行比较。

收敛性
多样性
问题分析： 随机性参数的增长导致多样性增加，收敛性降低。 两者同等重要，则取平衡点。 平衡点最佳位置是多样性和收敛性相等的地方。
解决方案： 第一步：分别对多样性和收敛性 第二步：找到两曲线的交点。
进行拟合，得到拟合曲线。
p1=polyfit(x,y1,2);
p2=polyfit(x,y2,2);
数据插值与曲线拟合的比较
相同点： 都属于函数逼近方法 都能进行数据估算
不同点： 实现方法不同 结果形式不同 侧重点不同 应用场合不同
表1 随机性参数与多样性度量之间的关系
X
0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 0.3
y1
0.01 0.01 0.02 0.03 0.06 0.07 0.13 0.17 0.25 0.37
表2 随机性参数与收敛性度量之间的关系
X
0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 0.3
8.04 8.06
时 间
17
18
19
22
23
24
25 26
29
30
价 格
8.11
8.08
8.13
8.03
8.01
8.06
8.0
8.3
8.41 8.28
>> x=[2,3,4,5,8,9,10,11,12,15,16, 17,18,19,22,23,24,25,26,29,30];
>> y=[7.74,7.84,7.82,7.78,7.91, 7.97,7.9,7.76,7.9,8.04,8.06, 8.11,8.08,8.13,8.03,8.01,8.06, 8.0,8.3,8.41,8.28];