伯努利方程分析

图2
图1
图3
如果两手各拿一张薄纸，使它们之间的距离大约4~6厘 米，然后用嘴向这两张纸中间吹气，现象如何？为什 么？ 或者超市的购物袋，越吹粘的越紧，为何
• 如图气流由纸片间的空气通过，气流在A点附近 的流速大，在B点附近的流速小。 • 由伯努利方程可知A点附近的压强比B点附近的压 强小，因此两张纸片被压在了一起。
• 当两船同向靠近高速行驶时，两船之间水流速较大 ，而外侧水流速度较小，由伯努利方程可知，流速 大，压强小，流速小，压强大。水作用在两船外侧 的力较大，所以两船会相互吸引而导致相碰。
• 在航海中，对并排同向行驶的船舶，要 限制航速和两船的距离。
• 在火车站或地铁站的站台上都画有安全线， 并且火车或地铁进出站时总会有播音员提醒 大家往安全线里边站，这是为什么？
各项具有长度的量纲 第一项 z 表示单位重量流体所具有的位势能—位置水头； 第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能—压强水头； 前两项之和称为静水头； 第三项V2/(2g)单位重量流体所具有的动能—又称为速度水头。 三项之和称为断面的总水头。
2 2
• 以上三种水头之和称为总水头，以H表示。
p v2 H z g 2g
教师：矿业工程系 刘丽 教材：工程流体力学
1910年9月20日，奥林匹克号离开南安普敦的海洋码头，开往纽约。在 怀特岛东北海域，与皇家海军的霍克号巡洋舰相遇。霍克号也在高速 航行，两艘船很快靠拢到一起高速并行，忽然霍克号向左拐过去，好 像奥林匹克号是一块巨大的磁铁一样，7350吨的霍克号和45000吨级的 奥林匹克号撞到一起，霍克号的舰首戳进奥林匹克号的船尾。（据说 是个10米的窟窿）两船都严重受伤。
2）方程中各物理量的取值方法 同点对应取值；
两个断面必须采用相同的压强基准 ； 工程中的流动绝大为湍流流动，取值为1 ；特殊情况下 (如管道内呈层流流态时)， 取值为2 3）某些特殊断面及其参数值 大水面流速取为零 管道出口断面—流体自该断面进入大气空间，出口压力取
环境压力；
乘以dx 乘以dy 乘以dz
1 p p p (f x dx f y dy f z dz ) ( dx dy dz ) x y z du dv dw dx dy dz dt dt dt
(f x dx f y dy f z dz ) gdz 1 p p p 1 p ( dx dy dz ) dp d ( ) x y z dx udt , dy vdt , dz wdt du dv dw dx dy dz udu vdv wdw dt dt dt u2 v2 w2 u 2 v 2 w2 d d d d 2 2 2 2
沿程有分流或汇流时的机械能关系
p1 V12 q1 ( z1 ) g 2g p3 V3 p2 V2 q2 ( z2 hw12 ) q3 ( z3 hw13 ) g 2g g 2g
2 2
q1 q2 q3
6）伯努利方程的几何表述
p V p V (z )1 ( z ) 2 hw12 g 2g g 2g
安全线
• 如图：当火车经过B点时的流速比A点大，所以 Fra Baidu bibliotekA>pB，于是物体会被火车吸入。
不旋球
上旋球
• 图2表示不旋转球水平向左运动时周围空气的流线。球的 上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。 • 图3球旋转时会带动周围空气跟着一起旋转，致使球的下 方空气流速增大，上方流速减小。下方流速大，压强小， 上方流速小，压强大。跟不旋转相比，旋转球因为旋转而 受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
它表示了距基准面为z处，流速为v，压力为p 的1N流体所具有的总机械能。
各断面水头的连线组成的水头线及能量变化图示
断面水头及水头线的几何示意
伯努利方程表明理想流体在流动过程中任意截面上总机械能 守恒。 各截面上每种形式的能量并不一定相等，它们之间可以相互 转换。流速高处压力低，流速低处压力高。
4）基本机械能关系式的拓广 沿程有能量输入或输出时的伯努利方程 将输入的能量加在方程的左端或将输出的能量加在方程的
右端。如在两断面间由水泵输入机械能时，方程的形式应
变为
p v2 p v2 (z )1 H p ( z )2 hw12 g 2g g 2g
其中，Hp称为水泵的输入扬程。
p V 上式积分得： -gz C 2 p V p V (z )1 ( z ) 2 hw1 2 g 2g g 2g
—定常流动的伯努利方程
2 2
2
为了形象地了解流体运动时能量沿程的变化情况，特定义：
测压管水头线坡度
p d z g Jp ds
两艘船为什么会撞到一起？
伯努利方程
运动流体中的机械能可分为： 由重力作用产生的重力势能（位能）； 由压强作用产生的压力势能（静压能）； 由流体运动产生的动能；
由粘性作用或碰撞等作用产生的耗散能。
1 p du f x x dt 1 p dv fy y dt 1 p dw fz z dt
水力坡度
p v2 d z g 2g J ds
实际流体J 0，理想流体J 0? ，匀速流体J p J
方程应用说明及注意点
1）应用条件
① 流动定常；② 流体不可压；③ 断面缓变流；即上、下游
两个断面必须为平行直线流或缓变流，断面间可以包含急变 流。④ 断面间无旁路；即上、下游两断面间的流道只能是单 进单出，不能有流量的旁通；还必须保证上、下游两断面间 的流道区域内，没有外部的机械能输入，也没有内部的机械 能对外做功。⑤质量力只有重力。