第一课时 等差数列的概念及通项公式
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．
[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差中项
如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝
a ＋b
2
. 3．等差数列的通项公式
已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
[点睛] n 1n 1p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )
(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )
(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )
解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．
(3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．
(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99
D ．101
解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298?n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1
D ．±2
解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧
a 1?a 1＋2d ?＝8，a 1
＋d ＝3，解得d ＝±1.
4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．
解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x
＝7，∴x ＝log 27.
答案：log 27
[典例] n (1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－5，
d ＝1.
(2)设数列{a n }的公差为d .
由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2.
∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.
1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项
B ．第1 007项
C ．第1 008项
D ．第1 009项
解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.
2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，
由已知⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋?15－1?d ＝33，
a 1＋?61－1?d ＝217，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝－23，
d ＝4.
所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，
令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.
[典例] n 234234{a n }的通项公式．
[解] 在等差数列{a n }中，
∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝11，a 4
＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.
当⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝1，a 4
＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.
1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.
解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，
2＋c ＝2b .
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝5，
b ＝－1，
c ＝－4.
