空间解析几何基本知识《微积分》教学材料

第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。

《微积分与解析几何》教学大纲（供信息与计算科学学院本科统计专业使用）课程编号：02100760 02100770 02100780课程名称：微积分与解析几何课程类型：学科基础课总学时：90+64+48=202 讲课学时：202 实验（实践）学时：4学分：5+4+3先修课程：初等数学一、课程的目的与任务《微积分与解析几何》是数学类和工科类各专业的一门重要的基础理论课，是信息与计算科学学院统计专业的主干课，该课程的开设对学生掌握深厚的数学基础是非常必要的。

通过该课程的学习，要使学生获得：1、极限和连续2、一元函数微积分学3、常微分方程4、向量代数及空间解析几何学5、多元函数微积分学6、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习、为学生今后从事教育、科学研究奠定坚实的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养提高学生高度概括的抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力；还要特别注意培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力；同时也注重各种能力有机结合。

二、课程有关说明1.课程简介：《微积分与解析几何》是数学类和工科类各专业的一门重要的基础理论课，该课程的开设对学生掌握深厚的数学基础是非常必要的。

2.修学该课程的先期知识和能力准备：修此课程必须具备初等数学知识及基本的数学空间想象能力和数学推理能力。

3.主要教学方式：讲授式教学、启发式教学、发现式教学、学导式教学、讲练式教学、总结式教学以及多种教学方式有机结合进行使用，依照学生及教材的情况适时变更教学方法和教学方式。

规定每周进行一次习题辅导课，力求做到保质保量。

每节课留1—2道思考题，把学生的学习从课堂延伸到课外。

4.考核评分方式：采用考教分离题库抽题进行考核，阅卷小组按评分标准流水阅卷。

5.教改内容：考虑到统计专业的性质及三学期的教学时间，在高等数学（同济六版）的基础上附加解析几何的一些详细内容，增加内容量。

高等数学教案空间解析几何一、教学目标1. 理解空间解析几何的基本概念和符号表示。

2. 掌握空间点、直线、平面、空间向量的坐标表示和运算。

3. 学会利用空间解析几何解决实际问题。

二、教学内容1. 空间解析几何的基本概念和符号表示空间直角坐标系点、直线、平面、空间向量的定义及符号表示2. 空间点、直线、平面的坐标表示和运算点的坐标表示直线的坐标表示和方程平面的坐标表示和方程空间向量的坐标表示和运算3. 空间解析几何的应用空间距离和角度的计算空间几何图形的位置关系空间向量的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间解析几何的基本概念和符号表示空间点、直线、平面的坐标表示和运算空间解析几何的应用2. 教学难点：空间向量的坐标表示和运算空间解析几何解决实际问题四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间解析几何的基本概念、符号表示和运算方法。

2. 利用多媒体课件，展示空间几何图形的直观图像，帮助学生理解。

3. 结合实际例子，引导学生运用空间解析几何解决实际问题。

4. 布置练习题，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：空间解析几何的基本概念和符号表示2. 第二课时：空间点、直线、平面的坐标表示和运算3. 第三课时：空间向量的坐标表示和运算4. 第四课时：空间解析几何的应用（一）5. 第五课时：空间解析几何的应用（二）六、教学内容6. 空间解析几何与空间几何图形的位置关系空间两点间的距离空间直线与平面的位置关系空间直线与直线的夹角空间向量与平面的夹角7. 空间解析几何在实际问题中的应用空间中的点到直线的距离空间中的点到平面的距离空间中的直线与平面的距离空间中的直线与直线的夹角问题七、教学重点与难点1. 教学重点：空间解析几何与空间几何图形的位置关系的理解和应用空间解析几何在实际问题中的应用2. 教学难点：空间两点间的距离的计算空间直线与平面的位置关系的理解和应用八、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间解析几何与空间几何图形的位置关系的理解和应用。

《微积分(I)》课程教学大纲英文译名：Calculus I适用专业：学分数：6 总学时数：96一、本课程教学目的和任务通过本课程的学习，使学生获得一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

同时，注重培养学生获取知识能力、应用能力和创新能力，提高学生的素质。

二、本课程的基本要求1．理解函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解复合函数的概念，了解反函数、分段函数的概念。

会建立简单实际问题的函数关系模型。

2．理解极限的概念(对极限的ε—N、ε—δ定义，可在教学过程中逐步加深理解，对于给定ε求N或δ不作过高要求)，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限，了解无穷小、无穷大的概念，会用无穷小的比较求极限。

3．理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念并会判别间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理)。

4．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导与连续之间的关系，掌握导数与微分的运算法则和导数的基本公式，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会用导数描述一些几何量与物理量。

5．理解拉格朗日中值定理，了解罗尔中值定理、柯西中值定理和泰勒公式。

6．理解函数极值的概念，会求函数的极值；会判断函数的单调性、函数图形的凹凸性，会求拐点；会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

7．会用罗必达法则求不定式的极限。

8．会求曲线的曲率和曲率半径。

9．理解不定积分和定积分的概念和性质，掌握换元积分法和分部积分法，含有理函数和三角函数有理式的积分，理解变上限函数及求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，了解广义积分的概念，掌握用定积分求一些几何量和物理量(如平面面积、体积、平面弧长、功、压力、引力等)的方法。

-/微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++=ρ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j uρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρρ-/2、 向量积：b a c ρρρ⨯=大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则1）0ρρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a ρρρρρ=⨯运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z by a x =+2） 椭球面：1222222=++c zb y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z b ya x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=--/方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

第七章 向量代数与空间解析几何§7.2 平面与直线一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。

2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为d =3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AMMBλ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122z zz += 二、平面及其方程。

1 法向量： 与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。

对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。

2 点法式方程： 已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或()00n r r ⋅-=其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量 特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。

0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。

0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。

x ＝0表示yOz 平面。

4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。

则通过A,B,C 的平面方程为： 1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则通过L的所有平面方程为1K ()1111A xB yC zD ++++2K ()22220A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠6 有关平面的问题两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： d =三 直线及其方程1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。

初中几何高中微积分教案1. 了解初中几何和高中微积分的基本概念和性质，掌握基本的解题方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 通过对初中几何和高中微积分的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的科学精神。

二、教学内容1. 初中几何：主要包括平面几何、立体几何和解析几何等内容。

2. 高中微积分：主要包括极限、导数、积分和级数等内容。

三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍初中几何和高中微积分的基本概念、性质和解题方法。

2. 利用多媒体辅助教学，直观地展示几何图形的变换和微积分的运算过程。

3. 创设问题情境，引导学生主动探究，培养学生的解决问题的能力。

4. 注重个体差异，因材施教，充分调动学生的学习积极性。

四、教学步骤1. 导入新课：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。

2. 讲解基本概念：介绍初中几何和高中微积分的基本概念，如点、线、面、极限、导数、积分等。

3. 分析性质和定理：讲解初中几何和高中微积分的性质和定理，如勾股定理、欧拉定理、罗尔定理等。

4. 解题方法指导：介绍初中几何和高中微积分的解题方法，如画图、列方程、求导数等。

5. 课堂练习：布置适量的练习题，让学生在课堂上完成，巩固所学知识。

6. 总结和反思：对所学知识进行总结和反思，引导学生发现规律，提高解题能力。

7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生的掌握程度。

3. 单元测试：定期进行单元测试，检验学生的学习效果。

4. 学期考试：进行学期考试，全面评估学生的学习成绩。

六、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如人教版《初中几何》和《高中微积分》。

2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，辅助教学。

3. 练习题库：收集各类练习题，丰富学生的练习资源。