最新北师大版第五章三角形期末总复习题1

五年级数学上册期末总复习三角形的面积练习题三一、填空1.两个完全一样的三角形能拼（）所以三角形的面积等于（）。

用字母表示是（）。

2.一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是（）。

3.一个三角形的面积是4.8m2，与它等底等高的平行四边形的面积是（）。

4.1.25公顷=（）平方米 5600平方分米=（）平方米二、选择正确的答案的序号填在括号里。

1.两个完全一样的三角形，可以拼成一个（）A.长方形B.正方形C.梯形D.平行四边形2.要计算三角形的面积，必须要知道它的（）A.底和高B.底的面积C.高和面积3.一个三角形与一个平行四边形面积相等，高相等，已知平行四边的底是16cm，三角形的底是（）cm。

A.8B.32C.16D.无法确定三、计算下面每一个三角形的面积1.底是8.6m，高是2.7m 2.底是10dm，高是7.3dm四、量出下面图形中你需要的长度，求出图形的面积。

（取整厘米数）底（1底（2）底（1）（2）（3）五、应用题1、一个三角形的底边长3厘米，高4厘米，他的另一条边是6厘米，这条边上的高是多少厘米？2、一块三角形果园，底长15米，是高的3倍，如果按照每平方米收果实20千克，这个果园共收果实多少千克？3、在一块底边长100米，高50米的三角形稻田里共收获稻谷2500千克，平均每公顷收获稻谷多少千克?4、.一块三角形地，底长是150m，高是50m，共收油菜籽1762.5千克，平均每公顷产油菜籽多少千克？5、.现在有一块长6m，宽2.5m的黄布，要做成小三角形旗（如图）可以做多少面？0.15m0.2m。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《相似三角形》期末综合复习训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）求证：△AEG∽△F AG；（3）若GE•GF＝9，求CG的长．2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点G为边BC上一点，过点G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于点F，连接AE．（1）求证：△ABG∽△GCF；（2）连接CE，求证：∠DCE＝∠AEG；（3）当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．3．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，求CD的长．4．已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB，求证：AE2＝AD•AC．5．过平行四边形ABCD的顶点A作任一直线与BD、BC和DC分别交于点E、F、G．求证：AE2＝EF•EG．6．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：AB＝GF；（2）若GD＝10，AD＝3，求DC的长度；（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H．（1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小；（2）求证：AE2＝EF•EP．8．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF 交CD的延长线于点G．（1）求证：BE2＝EF•EG；（2）若2DG＝DC，BE＝6，求EF的长．9．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF 交CD的延长线于点G．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1．（1）求证：△DMN∽△BCN；（2）求BD的长；（3）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．11．已知：在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE分别交DC、DB于F、G．求证：（1）∠DAG＝∠DCG；（2）AG2＝GE•GF；（3）已知，，求该正方形的边长．12．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，点E在边AD上，AE：ED＝1：3，AC、BE交于点F．（1）求证：AC⊥BE；（2）求四边形EFCD的面积．14．已知：如图，▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．求证：（1）AB＝BH；（2）△ABG∽△HEB；（3）AB2＝GA•HE．15．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．（1）求证：△BFM∽△NF A；（2）求证：DF2＝FM•FN；（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）求证：；（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．17．如图，点P是正方形ABCD中BC延长线上一点，对角线AC，BD相交于点O，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作AP的垂线，垂足为点G，交线段AC于H．（1）若∠P＝20°，求∠GBE的大小．（2）求证：AE2＝EF•EP．（3）若正方形ABCD的边长为1，CP＝1，求HG的长．18．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长．（2）猜想∠EOF的度数，并说明理由．（3）若OE＝OF，求的值．19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝∠DAF．（1）如图，若AD＝AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2＝DG•DF．（2）在第（1）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE＝4，EG＝12，求AH的长．20．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求证：△ACE∽△ABD；（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．参考答案1．（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△F AG；（3）解：由（2）得△AEG∽△F AG，∴，即GA2＝GE•GF＝9，∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），根据（1）中的结论得AG＝CG，∴CG＝3．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵GE⊥AG，∴∠AGB+∠CGF＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∴∠BAG＝∠CGF，∴△ABG∽△GCF；（2）如图所示，连接AC，交GE于M点，∵GE＝2AG，BC＝2AB，∴＝，又∵∠AGE＝∠B＝90°，∴△AGE∽△ABC，∴∠AEG＝∠ACB，∵∠AME＝∠GMC，∴△AME∽△GMC，∴＝，又∵∠AMG＝∠EMC，∴△AMG∽△EMC，∴∠AGM＝∠ECM＝90°，即：∠BCD＝∠ECM＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠AEG＝∠DCE；（3）如图，作EH⊥BC的延长线于H点，设BG＝x，∵△ABG∽△GHE，GE＝2AG，∴EH＝2BG＝2x，GH＝2AB＝4，则BH＝BG+GH＝4+x，∵△DCB∽△EHB，∴＝＝，∴＝，解得：x＝，经检验，x＝是原分式方程的解，∴BG的长为．3．解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴．∵AB＝6，BD＝4，∴＝，∴BC＝9，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣4＝5．4．证明：∵BE平分∠CBD，∴∠DBE＝∠CBE，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，∴∠ABD＝∠C，∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC，∵AE＝AB，∴AE•AE＝AD•AC．5．证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，△ABE∽△GDE，∴＝，＝，∴＝，∴AE2＝EF•EG．6．（1）证明：∵GD∥BA，∴∠BAE＝∠G，在△ABE和△GFE中，∵，∴△ABE≌△GFE（ASA），∴AB＝GF；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵GD∥BA，∴∠B＝∠DFC，∴∠C＝∠DFC，∴DF＝DC，设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，∵DG＝10，∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10，∴x＝，∴DC＝；（3）解：连接AF，∵S△ADF：S△CDF＝AD：DC，∵S△DCF＝7，AD＝3，CD＝，∴S△ADF：7＝3：，∴S△ADF＝6，同理得：S△ADF：S△AFG＝DF：FG，即6：S△AFG＝：，∴S△AFG＝，由（1）知：△ABE≌△GFE，∴S△ABF＝S△AFG＝，∴S△ABC＝+6+7＝．7．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵∠ACB＝∠P+∠CAP，∴∠CAP＝20°，∵BG⊥AP，∴∠AGH＝90°，∴AHG＝90°﹣20°＝70°．（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°，∴∠ECF＝∠P，∵∠CEF＝∠PEC，∴△CEF∽△PEC，∴＝，∴EC2＝EF•EP，∴EA2＝EF•EP．8．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE，∴＝，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴BE2＝EF•EG；（2）解：∵DF∥BC，∴＝＝＝，∴FG＝BF，设EF＝x，则BF＝6+x，FG＝（6+x），∵BE2＝EF•EG；∴62＝x[x+（6+x）]，整理得x2+2x﹣24＝0，解得x1＝﹣6（舍去），x2＝4，即EF的长为4．9．解：（1）∵AB∥CG，∴∠ABF＝∠G，又∵∠ABF＝∠ACF，∴∠ECF＝∠G，又∵∠CEF＝∠CEG，∴△ECF∽△EGC，∴，即CE2＝EF•EG；（2）∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，又∵DG＝DC，∴AB＝CD＝DG，∴AB：CG＝1：2，∵AB∥CG，∴，即，∴EG＝12，BG＝18，∵AB∥DG，∴，∴BF＝BG＝9，∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．10．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）∵△DMN∽△BCN，∴＝，∵M为AD中点，∴MD＝AD＝BC，即＝，∴＝，即BN＝2DN，设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB+ON＝x+1，DN＝x﹣1，∴x+1＝2（x﹣1），解得：x＝3，∴BD＝2x＝6；（3）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN＝DN：BN＝1：2，∴S△MND＝S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4．∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN+S△CND＝4+2＝6，∴S四边形ABNM＝S△ABD﹣S△MND＝6﹣1＝5．11．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADG＝∠CDG＝45°，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCG；（2）∵AD∥BE，∴∠DAG＝∠E，∵△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠GCD，AG＝CG，∴∠GCD＝∠E，∵∠GCE＝∠GCD+90°，∠GFC＝∠DAG+90°，∴∠GFC＝∠GCE，∴△GCF∽△GEC，∴CG2＝GE•GF，∴AG2＝GE•GF；（3）∵，，∴GE＝GF+EF＝3﹣3，∵CG2＝GE•GF，∴CG＝3﹣，∴GF：CG＝CF：CE＝1：，∵EF＝2﹣2，∴CF＝﹣1，CE＝3﹣3，∵CF∥AB，∴△EFC∽△EAB，∴，∴，解得：AB＝．12．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD＝∠B＝90°﹣∠ACB．∵AC：AB＝1：2，∴AB＝2AC，∵点E为AB的中点，∴AB＝2BE，∴AC＝BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD＝EF，即EF＝CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH＝90°，∴∠FEQ＝∠GEH＝90°﹣∠QEG，又∵∠EQF＝∠EHG＝90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG＝EQ：EH．∵AC：AB＝1：，∠CAB＝90°，∴∠B＝30°．在△BEQ中，∵∠BQE＝90°，∴sin B＝＝，∴EQ＝BE．在△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°，∴cos∠AEH＝＝，∴EH＝AE．∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，∴EF：EG＝EQ：EH＝BE：AE＝1：＝：3＝．13．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠EAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝4cm，AD＝8cm，∴AB：BC＝1：2，∵AE：ED＝1：3，∴AE：BC＝1：4，∴AE：AB＝1：2，∴，∴△ABC∽△EAB，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BE；（2）解：∵∠AFE＝∠D＝90°，∠EAF＝∠DAC，∴△AEF∽△ACD，∴，∵AE＝AD＝2，AC＝＝4，∴＝，∵S△ACD＝，∴S△AEF＝．∴四边形EFCD的面积＝S△ACD﹣S△AEF＝．14．证明：（1）∵DE⊥BC于E，∠DBC＝45°，∴∠BDE＝45°，∴BE＝DE，∵BF⊥CD于F，DE⊥BC于E，∴∠HBE+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，∴∠HBE＝∠CDE，在△HBE和△CDE中，，∴△HBE≌△CDE（ASA），∴BH＝CD，∵▱ABCD中，AB＝CD，∴AB＝BH；（2）∵BF⊥CD于F，∴∠BFC＝90°，∵▱ABCD中，AB∥CD，∴∠ABG＝∠BFC＝90°，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠G＝∠HBE，∴△ABG∽△HEB；（3）∵△ABG∽△HEB，∴，∵由（1）知AB＝BH∴即AB2＝GA•HE．15．（1）证明∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高，∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，∴∠FBM＝∠N，又∵∠BFD＝∠AFD，∴△BFM∽△NF A；（2）证明：∵△BFM∽△NF A，∴，∴FM•FN＝FB•F A，∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠F AD＝90°，∴∠FDB＝∠F AD，∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠F AD，∴△BFD∽△DF A，∴，∴DF2＝FM•FN；（3）解：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，∴△ENM∽△FBM∽△FDB，∴，∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，∵DF2＝FM•FN，∴（4FM）2＝FM•（4FM+12），解得：FM＝1或0（舍去），∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，∵＝，∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，在Rt△BFD中，BD＝＝2，在Rt△ADB与Rt△ADC中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，解得：AC＝5．16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴△AEB∽△CFB．（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵△AEB∽△CFB，∴＝，∴＝．（3）解：如图，作CH⊥EF于H．∵CE＝CF，CH⊥EF，∴EH＝FH＝，∴CH＝＝＝2，由△BFD∽△CFH，∴＝，∴＝，∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，由△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴AD＝．17．解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，∴∠ACB＝45°，∠DBC＝45°，∵∠GEB＝∠P+∠DBC，∠P＝20°，∴∠GEB＝20°+45°＝65°，∵BG⊥AP，∴∠BGE＝90°，∴∠GBE＝90°﹣∠GEB＝90°﹣65°＝25°．（2）如图所示，连接EC，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠EFC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACD，∠ECP＝180°﹣∠ECA﹣∠ACB，∴∠EFC＝∠ECP，又∵∠CEF＝∠PEC，∴△CEF∽△PEC，∴，∴EC2＝EF•EP，∴EA2＝EF•EP．（3）∵正方形的边长为1，∴AB＝BC＝＝AD＝1，又∵CP＝1，∴BP＝2，∴，，∵BG⊥AP，∴∠ABG+∠BAG＝∠BPG+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠ABG，∴，即，∴，方法（一），连接DP，∵AD∥CP，AD＝CP，∴四边形ACPD为平行四边形，∴AC∥PD，∴∠CAP＝∠APD，过D点作DM⊥AP于M，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即HG的长为．方法（二），连接OF，∵AD∥PC，∴∠F AD＝∠FPC，∠FDA＝∠FCP，∵AD＝CP，∴△F AD≌△FPC（ASA），∴DF＝FC，即点F是CD的中点，∵点O是AC的中点，∴OF是△ADC的中位线，∴OF：AD＝1：2，OF∥AD，∴OE：OD＝1：2，∴OE：OD＝1：3，∴OE：OA＝1：3，∴tan∠OAE＝OE：OA＝1：3，∴tan∠HAG＝tan∠OAE＝HG：AG＝1：3，∴HG：＝1：3，∴HG＝．18．解：（1）设BF＝x，则FC＝BC﹣BF＝24﹣x，∵BE＝6，且BE+BF+EF＝BC，∴EF＝18﹣x，在Rt△BEF中，由BE2+BF2＝EF2可得62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴18﹣x＝18﹣8＝10，∴EF＝10；（2）猜想：∠EOF＝45°．理由如下：如图，在FC上截取FM＝FE，连接OM，∵C△EBF＝BE+EF+BF＝BC，则BE+EF+BF＝BF+FM+MC，∴BE＝MC，∵O为正方形中心，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCM＝45°，在△OBE和△OCM中，，∴△OBE≌△OCM（SAS），∴∠EOB＝∠MOC，OE＝OM，∴∠EOB+∠BOM＝∠MOC+∠BOM，即∠EOM＝∠BOC＝90°，在△OFE与△OFM中，，∴△OFE≌△OFM（SSS），∴∠EOF＝∠MOF＝∠EOM＝45°．（3）证明：由（2）可知：∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠FOC＝135°，∵∠EAO＝45°，∴∠AOE+∠AEO＝135°，∴∠FOC＝∠AEO，∵∠EAO＝∠OCF＝45°，∴△AOE∽△CFO．∴＝＝＝，∴AE＝OC，AO＝CF，∵AO＝CO，∴AE＝×CF＝CF，∴＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BAE＝∠AGD，∵∠BAE＝∠DAF，∴∠AGD＝∠DAF，又∵∠ADG＝∠FDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA2＝DG•DF，∵AD＝AF，∴AF2＝DG•DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△ABH∽△GDH，△AHD∽△EHB，∴，，∴，∴AH2＝EH•GH，∵HE＝4，EG＝12，∴GH＝EG+HE＝16，∴AH2＝4×16，解得AH＝8，即AH的长是8．20．（1）证明：∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAB＝90°，∵∠B＝30°，∠ADE＝30°，∴∠B＝∠ADE，∴△ADE∽△ABC；（2）证明：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB＝90°﹣∠CAD，∵△ADE∽△ABC，∴＝，∴△ACE∽△ABD；（3）解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝8，AB＝＝＝4，∵CE＝x，CD＝2CE，∴CD＝2x，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∴＝，∴BD＝x，∴BC＝CD+BD＝2x+x＝8，解得：x＝16﹣8．。

第五章三角形复习一、复习目标1、进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性．2、经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题． 能够用尺规作出三角形．3、在复习过程中，通过观察、操作（折、拼、画、图案、设计）想象、推理、交流等活动，4、发展空间观念，进一步积累数学活动的经验，在探索图形性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力． 二、重点难点重点：三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形的一些性质、全等三角形的性质和判定． 难点：运用三角形全等解决问题以及它的说理过程．基本概念1.三角形的三种重要线段：三角形的三种重要线段包括：三条________线、三条________线、三条________线. 温馨提示：（1）三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条_________，后者是一条_________.三角形的高线是_________，而线段的垂线是_________.（填“线段”或“射线”或“直线”）（2）三角形的三条角平分线相较于_________一点，三条中线相较于_________一点，三角形的三条高线也相较于一点，但锐角三角形的交点在三角形的_________，直角三角形的交点在三角形的_________，钝角三角形的交点在三角形的_________.（填“形内”或“形外”）2.三角形的性质：（1）边的性质：三角形的任意两边之和_________第三边，三角形的任意两边之差_________第三边.（2）角的性质：三角形的三个内角之和等于_________°；一个外角_________与它不相邻的两个内角的和，一个外角__________任何一个与它不相邻的内角，_________三角形的两个锐角互余.（3）稳定性：即三边的长度确定后，三角形的形状保持不变. 3.三角形的分类：（1）按边分：_________三角形和_________三角形.（2）按角分：_________三角形和_________三角形和_________三角形. 基本性质与判定1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边_________，对应角_________.2.全等三角形的判定（1）一般三角形有：_________、_________、_________、_________共4种.（2）直角三角形有：_________、_________、_________、_________、_________共5种.温馨提示：判定两个三角形全等，必须满足三个条件对应相等，其中不能缺少边的条件，如“AAA ”不能判定两个三角形全等；三角形全等没有“SSA ”的判定方法，而“HL ”是不同于“SSA ”的.基本思路、基本技能1.判定三角形全等的基本思路根据全等三角形的判定方法，要判定两个三角形全等，需结合题目中的已知边（或角），要迅速地确定还需要补充什么（边或角）条件，一般有以下几种思路供同学们参考.已知两边⎪⎩⎪⎨⎧→→→”运用“找另一边””或“运用“找直角”运用“找夹角SSS SAS HL SAS已知一边一角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→”运用“找该角的另一边”运用“找这条边的对角”运用“找这条边上的另一个角边是角的一条边”运用“找任意角边与角相对SAS AAS ASA AAS 已知两角⎩⎨⎧→→”运用“找其中一角的对边”运用“找两角的夹边AAS ASA2.尺规作三角形（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形. （2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.（3）已知三角形的三边，求作这个三角形.（4）已知三角形两角和其中一角的对边，求作这个三角形.温馨提示：对于尺规作图应注意：①作图的痕迹要保留，不能去掉；②能够运用五种基本作图完成已知条件的三角形；③叙述作法时，语言要准确、简捷、规范.基本图形1.平移型.如图1-1、1-2中，可以把一个三角形看成是另一个三角形按一定方向、平移一定距离得到的.2.对称型.如图2-1、图2-2、图2-3、图2-4按某一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合.3.旋转型.如图3-1、图3-2、图3-3可以看成是其中一个三角形绕某点旋转一定的角度后与另一个图形完全重合.三、须注意的一些问题1、①三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线．三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；②锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上③三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．2、注意：不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据．3、注意：①在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉②在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的． 四、典例剖析 例1、（18·太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ） A ．15 B ．16 C ．8 D ．7 例2、（18·赤峰市）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角是 度．例3、（南宁市）如图，在ABC △中，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E F ，，BE CF =． （1）图中有几对全等的三角形？请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行说明．例4、（18·西宁市）如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC 的形状和大小完全相同的模具A B C '''？请简要说明理由．图3-1 图3-2 图3-3图2-1 图2-2 图2-3 图2-4图1-1 图1-2图2例5-1、 如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC=CD ，过D 作DE ∥AB ，使E ，C ，A 在同一条直线上，则DE 的长就是A ，B 之间的距离.请你说明理由.例5-2、如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段道路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，M 恰为BC 的中点，且E ，F ，M 在同一直线上，在BE 道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B ，E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.解决梯子摆放的角度问题例6、如图所示，ACED 是某儿童乐园一座建筑，现要在它两旁安放长度相等的两个滑滑梯(即BC=EF)，且要求左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的底端F 离墙根D 点的距离相等，试问两边滑梯与地面(AD)所成的角之间有什么关系？测量河宽问题例7小明：你能不能不用任何测量工具，利用我们刚刚学习的全等三角形知识测出河的宽度吗？ 小华：好象不太容易，你能解决这个问题吗？小明：只要把你的帽子借给我，我就能测出河的宽度． 小华：不可能吧！小明：我先站在河边的C 点（如图2所示），压低帽檐使目光正好落在河对岸边一棵树的树根点A 处，然后我再姿势不变向后转，正好看见我们所在岸边的一个小石头B ，你量一下我到小石头B 点的距离，它就应该是这条河的宽度． 根据上面的对话，你能说说小明的测量是否正确？找出全等三角形的隐含条件一、利用公共边（或公共角）相等例1、如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？二、利用对顶角相等例2、如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？图3三、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等例3、如图3，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．四、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等例4、如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数．掌握一些特殊的辅助线的添加方法例5、如图AB//CD ，AD//BC ，则AB=DC ，AD=BC 说理理由。

七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

期末复习(五) 生活中的轴对称01 知识结构生活中的轴对称⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧轴对称现象⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形两个图形成轴对称轴对称的性质⎩⎪⎨⎪⎧对应点所连的线段被对称轴垂直平分对应线段相等，对应角相等简单的轴对称图形⎩⎪⎨⎪⎧等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质角平分线的性质利用轴对称进行设计本章知识在考试中涉及的考点主要有：识别轴对称图形，运用轴对称的性质求线段或角，运用等腰三角形、线段垂直平分线或角平分线的性质求三角形中的角度和边长，证明三角形中相关角度或边长之间的关系等． 02 典例精讲【例1】 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是(D)【思路点拨】 选项A ，B ，C 的图形中分别有1条对称轴；而选项D 的图形中有4条对称轴，在几个备选项中对称轴最多．【方法归纳】 本题考查轴对称图形及对称轴的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，其中这条直线叫做对称轴．轴对称图形是针对一个图形本身而言，成轴对称是对两个图形而言，注意他们的本质区别．【例2】 (黄冈中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为36°.【思路点拨】 根据垂直平分线的性质可得边相等，再由等腰三角形的性质得角相等．【方法归纳】 此题主要借助等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理等几何知识来求解． 【例3】 如图1，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2，在△A BC 中，∠ACB 是直角，∠B ＝60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；(2)如图3，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】首先按题意要求完成画图(作出全等三角形)，易联想到全等三角形的性质、判定及角平分线的性质等相关知识，为解决后面的问题提供了探究的途径和方法．【解答】画图略．(1)FE与FD之间的数量关系为FE＝FD.(2)FE＝FD仍然成立．理由：在AC上截取AG＝AE，连接FG.因为∠BAD＝∠DAC，AF为公共边，所以△AEF≌△AGF. 所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG.因为∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠DAC＋∠FCA＝60°.所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°.所以∠CFG＝60°.又因为∠FCA＝∠DCE，FC为公共边，所以△CFG≌△CFD.所以FG＝FD.所以FE＝FD.【方法归纳】本例是一道设计新颖的几何结论探究性试题，旨在考查学生应用所学知识解决三角形有关问题的综合能力．解决此类问题重点抓住全等三角形的判定和性质及角平分线的性质解题．【例4】如图，有一条小船及A，B两点，如果该小船先从点A航行到达岸边l的点P处补货后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P的位置．【思路点拨】题目要求航程最短，就是在岸边l上找一点P，使点P到A，B的距离之和最短．只要找出A点关于l的对称点A′，连接A′B，A′B与l的交点就为所求的P点．【解答】(1)作出点A′，使点A′与点A关于直线l成轴对称．(2)连接A′B交直线l于点P，则点P为所求，如图所示．【方法归纳】由轴对称性质可知AP＝A′P，要使AP＋PB的和最小，即A′P＋PB的和最小，于是求出点P的位置的问题，转化为“两点之间，线段最短”的问题．03整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．(龙东中考)下列交通标志图案是轴对称图形的是(B)2．如图所示的轴对称图形中，对称轴最多的是(B)3．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是(C)A．20° B．50°C．65° D．80°4．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是(D)A．△ABD≌△ACDB．AF垂直平分EGC．∠B＝∠CD．DE＝EG5．(凉山中考)如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为(C)A．30° B．45°C．60° D．75°6．如图，已知五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1关于直线MN对称，点B到直线MN的距离是3，则下列说法中正确的是(B)A．点A1到MN的距离是3B．点B1到MN的距离是3C．点C1到MN的距离是3D．点D1到MN的距离是37．(丹东中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为(D)A．70°B．80°C．40°D．30°8．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A′处，BC为折痕，若BE是∠A′BD的平分线，则∠CBE的度数为(C)A．65° B．115°C．90° D．75°9．下列说法不正确的是(D)A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C．圆有无数条对称轴D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线10．如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是(D)A．△ACE≌△BCDB．△BGC≌△AFCC．△DCG≌△ECFD．△ADB≌△CEA二、填空题(每小题4分，共20分)11．在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是幸．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边中点，∠BAD＝20°，则∠CAD＝20°.13．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°.14．如图，D，E为AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，点A落在点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝80°．15．(河南中考)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，若CD ＝AC ，∠B ＝25°，则∠ACB 的度数为105°．三、解答题(共50分)16．请作出图中四边形ABCD 关于直线a 的轴对称图形，要求：不写作法，但必须保留作图痕迹．解：如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′即为所求．17．(6分)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F ，∠BFE 与∠D 相等吗？并说明理由．解：∠BFE ＝∠D. 理由：因为AB ＝AC ， 所以∠B ＝∠C. 因为DE ⊥BC ，所以∠BEF ＝∠DEC ＝90 °. 在△BEF 和△CDE 中，因为∠B ＝∠C ，∠BEF ＝∠DEC ， 所以∠BFE ＝∠D.18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，把△BCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC ＝15°，求∠BOD 的度数．解：因为AD ∥BC ，∠DBC ＝15°，所以∠BDO ＝15 °. 由折叠可知，∠DBC ＝∠DBO. 所以∠BDO ＝∠DBO ＝15 °. 又因为三角形内角和为180 °， 所以∠BOD ＝180 °－2∠DBO ＝180 °－2×15 ° ＝150 °.19．(10分)某中学七(2)班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C 处，请你在图上帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．解：①分别作点C 关于OA ，OB 的对称点M ，N ；②连接MN ，分别交OA 于点D ，OB 于点E ，则C →D →E →C 为所求的行走路线．图略．20．(12分)如图所示，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D. (1)求∠DBC 的度数；(2)若△DBC 的周长为14 cm ，BC ＝5 cm ，求AB 的长．解：(1)因为AB ＝AC ， 所以∠ABC ＝∠C. 因为∠A ＝40 °，所以∠ABC ＝180 °－40 °2＝70 °.因为MN 是AB 的垂直平分线， 所以DA ＝DB.所以∠DBA ＝∠A ＝40 °.所以∠DBC ＝70 °－40 °＝30 °.(2)因为MN 垂直平分AB ，所以DA ＝DB.△DBC 的周长为BD ＋DC ＋BC ＝DA ＋DC ＋BC ＝AC ＋BC. 因为△DBC 的周长为14 cm ，BC ＝5 cm ， 所以AC ＝14－5＝9(cm )． 所以A B ＝9 cm .21．(12分)如图1所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 或BC 的延长线于点M.(1)如图1所示，若∠A ＝40°，求∠NMB 的大小；(2)如图2所示，如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小； (3)你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．解：(1)因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB.所以∠B ＝12(180 °－∠A)＝12(180 °－40 °)＝70 °.又因为∠BNM ＝90 °，所以∠NMB ＝90 °－∠B ＝90 °－70 °＝20 °. (2)同理可得：∠NMB ＝35 °.(3)猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即∠NMB ＝12∠A.理由：因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ＝12(180 °－∠A)．因为∠BNM ＝90 °，所以∠NMB ＝90 °－∠B ＝90 °－12(180 °－∠A)＝12∠A.故∠NMB ＝12∠A.。

第五章三角形单元复习题一、选择题1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部B．三角形的一边上C．三角形外部D．三角形的某个顶点上2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( )A．4、5、6 B．6、8、15C．5、7、12 D．3、9、133．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( )A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜90°C．60°＜α＜180°D．60°≤α＜90°4．下列判断正确的是 ( )A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( )A．x＜6 B．6＜x＜12C．0＜x＜12 D．x＞126．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形( ) A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( )A．三条中线交点B．三条角平分线交点C ．三条高线交点D ．三条高线所在直线交点8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( ) A ．30° B ．75° C ．105°D ．30°或75°9．如图5—124，直线、、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．根本无法确定二、填空题1．如果△ABC 中，两边a ＝7cm ，b ＝3cm ，则c 的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________．2．四条线段的长分别是5cm ，6cm ，8cm ，13cm ，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形．3．过△ABC 的顶点C 作边AB 的垂线将∠ACB 分为20°和40°的两个角，那么∠A ，∠B 中较大的角的度数是____________．4．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的平分线与锐角∠B 的平分线相交于点D ，则∠ADB ＝______． 5．如图5—125，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC ≌△DEF ．6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．l l 'l ''7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________．8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE的度数是______．9．已知：如图5—127，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为______．10．每一个多边形都可以按图5—128的方法割成若干个三角形．而每一个三角形的三个内角的和是180°．按图5—127的方法，十二边形的内角和是__________度．三、解答题1，已知：如图5—129，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，求证：BM＋CN＝MN2．已知：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．3．已知：如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．4．已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．5．已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM 和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．6．已知：如图5—133，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF．你能说出它们相等的理由吗?【参考答案】一、1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D ．二、1．，5cm 、7cm 、9cm ，16cm 或18cm ； 2．2； 3．70° 4．5．AB ＝DE （或∠B ＝∠E 或∠C ＝∠F ）； 6．直角； 7．； 8．； 9．14cm 10．1800．三、1．证明：∵ BD 、CF 平分∠ABC 、∠ACB ． ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠6＝∠2，∠3＝∠5． ∴ ∠1＝∠6，∠4＝∠5． ∴ BM ＝DM ，CN ＝DN ． ∴ BM ＋CN ＝DM ＋DN ． 即 BM ＋CN ＝MN ．2．解：CE 是AB 边上的中线．理由：∵ ∠ACB ＝90°，∠ACD:∠BCD ＝1:2， ∴ ∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°． ∵ CE 平分∠BCD ， ∴ ∠DCE ＝∠BCE ＝30°．∵ CD ⊥AB ，∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴ ∠A ＝60，∠B ＝30∴ ∠A ＝∠ACD ＋∠DCE ＝∠ACE ，∠B ＝∠BCE ． ∴ AE ＝EC ，BE ＝EC ． ∴ AE ＝BE ．所以CE 为AB 边上的中线． 3．证明：延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N ．cm c cm 104<<︒13541<<BD ︒45在△ABM 中，， 在△CNM 中，，∴ ． ∵ ， ∴ ．∴ ． ① 在△BNC 中， ② 在△DNE 中， ③ 由②、③得： ④ 由①、④得： 4．已知：线段a 和∠α如下图（1）．求作Rt △ABC 使． 作法：（1）作∠α的余角∠β． （2）作∠MBN ＝∠β． （3）在射线BM 上截取BC ＝a ．（4）过点C 作CA ⊥BM ，交BN 于点A ，如图（2）． ∴ △ABC 就是所求的直角三角形．5．证明：∵ △ACM 和△BCN 都是正三角形， ∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝60°，AC ＝CM ，BC ＝CN ． ∵ 点C 在线段AB 上，∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝∠MCN ＝60°． ∴ ∠ACM ＋∠MCN ＝∠BCN ＋∠MCN ＝120°． 即 ∠NCA ＝∠BCM ＝120°． 在△ACN 和△MCB 中BM AM AB >+NC MC NM >+NC BM MC NM AM AB +>+++NM BN BM AC MC AM +==+,NC NM BN NM AC AB ++>++NC BN AC AB +>+EC NE DN BD NC BN +++=+DE NE DN >+EC DE BD NC BN ++>+EC DE BD NC BN AC AB ++>+>+α∠=∠︒=∠=A C a BC ,90,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CB CN BCM ACN CM AC∴ △ACN ≌△MCB （SAS ）． ∴ ∠ANC ＝∠MBC ． 在△PCN 和△QCB 中∴ △PCN ≌△QCB （AAS ）． ∴ PC ＝QC ． ∵ ∠PCQ ＝60°∴ △PCQ 是等边三角形． ∴ ∠PQC ＝60° ∴ ∠PQC ＝∠QCB ． ∴ PQ ∥AB ．6．解：连结CE 、BF ，如图．在△ABF 和△DEC 中∴ △ABF ≌△DEC （SAS ）． ∴ ∠3＝∠4，BF ＝EC ． ∵ ∠AFC ＝∠DCF ，∴ ∠AFC －∠3＝∠DCF －∠4． 即 ∠1＝∠2． 在△BCF 和△EFC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CB CN BCN MCN MBC ANC ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD FA D A DE AB ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,21,CF FC EC BF∴△BCF≌△EFC（SAS）．∴ BC＝EF．。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和【与三角形有关的角练习（3）】1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016春?故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c ﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠ B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°．即∠FCD =16°．【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠D AE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. （2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D?两点，?使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．?你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B，连接AB、BC即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。

七年级第二学期期末复习第五章三角形班级姓名学号成绩一、填一填（每小题3分，共33分）1、在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是。

2、在Rt△ABC中，一个锐角为30°，则另一个锐角为度。

3、按三角形内角的大小可以把三角形分为：三角形、三角形、三角形。

4、已知一个三角形的三条边长为2、7、P，则P的取值范围是。

5、等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是。

6、已知三角形的两边长分别是2cm和5cm,第三边长是奇数，则第三边的长是。

7、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，与∠A相等的角是，理由是。

8、如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是cm2。

9、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是，∠FBC 的度数是。

10、如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度数是。

BB(第7题)(第8题)(第9题)(第10题)11、若三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶6，则这三个内角的度数分别是。

二、选一选（每小题4分，共20分）1、下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（）A5，12，13B5，7，7C5，7，12D101，102，1032、三角形中至少有一个角大于或等于（）A45°B55°C60°D65°3、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A9°B18°C27°D36°4、下列说法正确的是（）A两个周长相等的长方形全等B两个周长相等的三角形全等C两个面积相等的长方形全等D两个周长相等的圆全等5、判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A①和②B①和④C②和③D③和④三、作一作（不要求写作法，保留作图痕迹）已知线段a及∠1，①用尺规作△ABC，使得AC=a,AB=2a,∠A=∠1（6分）②作AC边上的高线BD。

等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

七年级下册数学期末复习试题1、已知：如图，∠A＝∠B，∠3＝∠4，求证：AC＝BD．2、如图，D在AB上，E在AC上，BD、CE交于O，若AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

5、已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

6、将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，求证：（1）DC＝BE；（2）（2）DC⊥BE。

7、已知：如图，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.8、已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线DE经过点A，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足为D、E．求证：BD＝AE。

9、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：BE+DE＝AD．10、已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．11、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．12、已知：如图，在△ABC和△DBC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P是BC上任意一点．求证：PA＝PD．13、14、15、16、如图所示，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.(1)试说明：△ACD≌△BCE；(2)若∠D＝50°，求∠B的度数.17、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在AC上连接AE、BD，试判断AE与BD的关系，并说明理由。

18、如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA, 点F在线段AB上运动，AD＝4㎝,BC＝3㎝, 且AD∥BC（1）你认为AE和BE有什么位置关系？并验证你的结论；（2）当点F运动到离点A多少㎝时，△ADE才能和△AFE全等？为什么？（3）在（2）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？并求出AB的长。

三角形复习【教学结构】⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：(1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.(3)三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. ⒋ 三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD 是∆ABC 的角平分线；②AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC .(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE 是∆ABC的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC =21BC . (3)三角线的高的表示法： 如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是∆ABC 的高；②AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ；④如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB =∠AMC =90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.三角形 等腰三角形 不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形三角形 直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形A B C D E 图1 图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.⒍三角形的边与边之间的关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边；⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图8，在∆ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=21∠DAC.(2)基本图形二，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么∆DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.图3图4图5图6图7图8图9基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N .那么BM=BN ，即∆BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.【解题点要】例1. 如图13，已知∠A =27︒，∠CBE =90︒，∠C =30︒，求∠ADE 的度数.分析：求一个角的度数，可以先看一下它是否在某个三角形中，如果是三角形的一个内角，可考虑三角形内角和定理，或利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来求.解：∵∠CBE =90︒，∠C =30︒ ∴∠DE C=180︒-(∠CBE +∠C )=180︒-(90︒+30︒)=60︒（三角形内角和定理）又∵∠DEC =∠A +∠ADE （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴60︒=27︒+∠ADE∴∠ADE =60︒-27︒=33︒例2. 已知：等腰三角形的周长是24cm ，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)已知其中一边长为6cm ，求其他两边长.分析：第(1)题，用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想，第(2)题，要注意分两种情况考虑，注意检查是否符合两边之和都大于第三边，体现了数学中的分类讨论思想.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cmx +2x +2x =24x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)因为长为6 cm 的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算则 2x +6=24x =12∵6+6=12 两边之和等于第三边，6 cm 长为腰不能组成三角形 ∴舍去∴三角形其他两边长为9 cm.例3. 已知∆ABC 中，AB=AC ，D 是BA 的延长线上的一点，E 是AC 上的一点，AD=AE ，DE 的延长线交BC 于F ，如图14，求证：DF ⊥BC分析：利用基本图形一，可得∠B =21∠DAE ，∠D =21∠BAC ，而∠DAE +∠BAC =180︒，可证明∠B +∠D =90︒，利用三角形内角和定理得图11 图13∠DFB =90︒，即DF ⊥BC .证明：∆ABC 中，∵AB=AC ∴∠DAE =2∠B 即∠B =21∠DAE ∆ABC 中，∵AD=AE ∴∠BAC =2∠D 即∠D=21∠BAC ∵∠DAE +∠BAC =180︒∴∠B +∠D =21(∠DAE +∠BAC )=90︒ ∴∠DFB =180︒-(∠B +∠D )=90︒ ∴DF ⊥BC例4. 已知：如图15，A 是直线MN 上的一点，AD,AC 分别是∠BAN 和∠BAM 的角平分线，KL ∥MN ，并分别与AC,AB,AD 相交于K,P,L ，求证：KP=PL分析：本题的条件只有两类，角平分线和平行线，因此容易找出它的基本图形是等腰三角形，从而证明，AP=PL ，同理可证：AP=KP ∴KP=PL 证明：∵AD 是∠BAN 的平分线 ∴∠1=∠2∴KL ∥MN ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴AP=PL同理可证；AP=KP ∴KP=PL例5. 已知，如图16，AD 是∆ABC 的角平分线，BF ⊥AD 交AD的延长线于F ，E 是BC 的中点，求证：EF =21(AB-AC ) 分析：本题的条件有两类，即角平分线和垂线，所以它的基本图形是等腰三角形，由于基本图形不完整，故将等腰三角形补全，即延长AC 交BF 的延长线于G ，可证明AB=AG ，BF=GF 可证明EF 是∆BGC 的中位线，∴EF=21CG=21(AG-AC )=21(AB-AC ) 证明：延长AC 交BF 的延长线于G∵AD 是∆ABC 的角平分线 ∴∠1=∠2∵BF ⊥AD ∴∠AFB =∠AFG =90︒∴∠ABF =180︒-(∠1+∠AFB)∠G =180︒-(∠2+∠AFG )（三角形内角和等于180︒）∴∠ABF =∠G ∴AB=AG （等角对等边）∵∠1=∠2 AF=AF ∠AFB =∠AFG =90︒∴∆AFB ≌∆AFG ∴BF=FG 又∵E 是BC 中点∴EF 是∆BGC 的中位线∴EF =21CG ∵CG=AG-AC=AB-AC ∴EF =21(AB-AC ) 例6. 已知：如图17，∆ABC 中，D 是AB 边上任意一点，连结CD ，求证：AB+AC>DB+DC分析：证明三角形中边与边的关系要利用：“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”定理和推论.此题的∆ADC 中，可图14图15 图16推出AD+AC>DC ，再根据不等式的基本性质，在不等式AD+AC>DC 的两边都加上BD ，不等号方向不变，得AD+AC+BD>DC+BD ，而AD+DB=AB ，故AB+AC>DB+DC证明：∆ADC 中，AD+AC>DC （三角形的两边之和大于第三边）∵AD+AC+DB=DC+DB∴AB+AC>DB+DC【同步练习】一、填空题⒈ 一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，则这个三角形是______三角形.⒉ 一个等腰三角形的两边长分别是3 cm 和6 cm ，则它的周长是_____cm.⒊ 在∆ABC 中，∠A =30︒，∠B =2∠C ，则∠C =______度，∠B =______度.⒋ 已知如图18，AB ∥CD ，则∠α=______度.⒌ 如果一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，那么顶角的度数是_____度. 二、选择题⒈ 一个三角形的三边长分别是3,4,x ，则x 的取值范围是（ ）A.x >3B.x >4C.3<x <4D.1<x <7⒉ 已知：∆ABC 中，∠C =80︒，∠A -∠B =40︒，则∠B 的度数是（ ）A.20︒B.30︒C.40︒D.60︒⒊ 在等腰∆ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，∠CDB =150︒，则∠A =（ ）A.130︒B.140︒C.150︒D.160︒⒋ 下面四个结论中，正确的是（ ）A. 三角形的三个内角中最多有一个锐角B. 等腰三角形的底角一定大于顶角C. 钝角三角形最多有一个锐角D. 三角形的三条内角平分线都在三角形内 如图19，∆ABC 中，D 是BC 上一点，且BA=BD ，∠DAC =21∠B ，∠C =50︒，则∠BAC 的度数是（ ） A.60︒ B.90︒ C.120︒ D.80︒三、简答题⒈ 已知：∆ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，过D 作BC 的平行线交AB,AC 于E ，F （图20），求证：EF=BE+CF 已知：如图21，∆ABC 中，D 是BC 中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于N ，AB =10，AC =16，求：ND 的长.图21图18图19 图20⒊ 已知：如图22，在∆ABC 中，∠A =90︒，AB=AC ，∠1=∠2，CE ⊥BE 于E ，求证：BD=2CE.⒋ 已知：如图23，在∆AB C 中，∠A =2∠B ，CD 是∠C 的平分线，求证：BC=AC+BD .⒌ 已知：如图24，∆ABC 中，AB>AC ，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于G ，交AB 于E ，AC 于F ，交BC 的延长线于M ，求证：∠M =21(∠ACB -∠B ).【同步练习答案与提示】一、⒈ 直角；⒉15；⒊ 50︒,100︒；⒋ 135︒；⒌ 120︒二、⒈D ；⒉B ；⒊B ；⒋D ；⒌ B⒈ 证BE=DE ，CF=DF ，则EF=DE+CF=BE+CF .⒉ 延长BN 交AC 于M ，证∆ABN ≌∆AMN ，则AB=AM ，BN=MN ，证DN 是∆BCM 中位线，∴ND =21CM =3 ⒊ 延长BA 交CE 的延长线于F ，由AB=AC ，∠BAC =∠FAC =90︒，∠EDC =∠F =∠ADB ；可证∆ABD ≌∆ACF ∴BD=CF 又∵BE 是 ∠ABC 的平分线 ∠BEC =∠BEF =90︒，BE=BE ，可证∆BEC ≌∆BEF ∴EF=EC ∴CF=2CE ∴BD=2CE⒋ 延长CA 到 E ，使CE=CB ，连结ED ，可证∆CBD ≌∆CED ∴∠B =∠E ∵∠BAC =2∠B ∴∠BAC =2∠E =∠EDA +∠E ∴∠EDA =∠E ∴AD=AE ∴BC=CE=CA+AE=AC+AD⒌ 可证∆AEG ≌∆AFG ，∆AEF 是等腰三角形 ∴∠AEG =∠AFG ∵∠AFG =∠CFM ∴∠AEG=∠CFM ∵∠ACB 是∆CFM 的外角 ∴∠M =∠ACB -∠CFM 同理可证∠M =∠AEG -∠B ∴2∠M =∠ACB -∠CFM +∠AEG -∠B =∠ACB -∠B ∴∠M =21(∠ACB -∠B )图22 图23图24。

北师大新版专题复习《三角形》单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作出射线AE，AE 交BC于点D，AC＝8，AD＝10，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．3B．4C．5D．63．如果一个三角形的两边长分别为5cm、10cm，那么这个三角形的第三边的长可以是（）A．3cm B．5cm C．10cm D．16cm4．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°5．将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（）A．103°B．104°C．105°D．106°6．观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB＞AC的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若∠B ＝50°，则∠CAD 的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．嘉嘉家和琪琪家到学校的直线距离分别是3km 和1km ，他们两家的直线距离可能是（ ）A ．1kmB ．3kmC ．5kmD ．7km9．已知，如图，AB ∥CD ，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB 和CD 上，则∠AEF ＝（ ）A ．10°B ．12°C ．15°D ．18°10．如图所示，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ）A ．ED ＝CDB ．AC ＝AE C ．∠EDB ＝∠CABD ．∠DAC ＝∠B二．填空题（共6小题）11．如图，P 是∠BAC 内一点，∠ABP ＝37°，∠ACP ＝25°，过点P 作直线EF ，交AB ，AC 分别于E ，F ．若∠BEP ＝∠BPC ＝∠PFC ，则∠BAC ＝ °．12．如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点F ，FH ⊥BC ，垂足为H ．若S △ABC ＝12，BC ＝6，则FH 长为 ．13．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧，交BC 于点D ；②分别以B ，D 为圆心，以大于12BD 长为半径作弧，两弧交于点P ；③连接AP 交BD 于点E ，若∠B ＝2∠C ，BC ＝23，DC ＝13，则AE ＝ ．14．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 上的一点，且BE ＝3EC ，CD 与AE 相交于点F ，若△ADF 的面积为6，则△ABC 的面积为 ．15．如图，已知AC平分∠BAD．请添加一个条件：，使△ABC≌△ADC．16．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为．三．解答题（共4小题）17．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝8，△ABE的面积为60．（1）AB的长为．（2）求四边形ACBE的面积．18．如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．19．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：BD＝DC．20．如图，AE与AD分别是△ABC的角平分线和高．若∠B＝70°，∠C＝60°，求∠DAE 度数．。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五解三角形第1课时 三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．3．三角形的面积公式： 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226+A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14 B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ）A 1665 B 5665 C 1665或 5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABC a b cA b S AB C++∠===++V 则= ．4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△ABC 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝C sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2⇒∠A ＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。