全等三角形判定HL导学案

12、2三角形全等的判定(HL)【学习目标】理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等.【学习重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【学习难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【课前预习案】1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是2题图 3题图3、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据【课中探究案】活动、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知：Rt△ABC求作：Rt△'''A B C，使'C=90°，''A B =AB, ''B C=BC作法：(2) 把△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）AD C(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △(5)直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”例1、如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD.例2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，求证：AB ∥CD例3.公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？BA 11C1BDCBA 【课末达标案】1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（ ）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） 图 12．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）, 3．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（ ）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等4. 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.【课后拓展案】基础达标：1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， CE=BF.求证AE=DF.应用提高：.ABCD EF3如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.4. 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.思维拓展：5．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.ANABDCE F。

3若AB=DE;BC=EF;则△ABC与△DEF 填“全等”或“不全等”;根据用简写法..4若∠A=∠D;AC=DF则△ABC与△DEF 填“全等”或“不全等”;根据用简写法..归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ;AAS ;SAS ;AAS 一锐角一直角边;一锐角一斜边;两直角边;共四种情形3、探究：一斜边一直角边对应相等;两直角三角形是否全等1情景引入如图;两根长度为12米的绳子;一端系在旗杆上;另一端分别固定在地面两个木桩上;两个木桩离旗杆底部的距离相等吗请说明你的理由..2情景分析∵∠ADB=∠ADC=90°∴转化成：在Rt △ ABD 和Rt△ ACD中已知AB=AC探究：BD=CD如果Rt△ABD≌Rt△ACD;那么BD=CD 全等三角形对应边相等.3画图探究１、任意画出一个Rt△ ABC;使∠Ｃ＝９０°;２、再画一个Rt△ A ′ B ′ C ′;使∠Ｃ′＝９０°;B ′C ′＝ＢＣ; A ′ B ′＝ＡＢ．３、把画好的Rt△ A ′ B ′ C ′剪下来;放到Rt△ ABC上;观察它们全等吗4定理呈现及书写格式略直角三角形全等的判定定理HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..简写成“斜边、直角边”或“HL”.. 4．例题与课堂练习设计：1练习1：如图;AC=AD;∠C;∠D是直角;将上述条件标注在图中;你能说明BC与BD相等吗CA BD2. 如图;两根长度为12米的绳子;一端系在旗杆上;另一端分别固定在地面两个木桩上;两个木桩离旗杆底部的距离相等吗请说明你的理由..分析与解答—略;教师要利用本例题强调用 HL的解答格式3例:如图;AC⊥BC;BD⊥AD; AC=BD;求证：BC = AD课本14页例4;图及解答—略4练习2：学生自主完成课本１４页的练习１、２;时间允许也可以安排学生上台演板;教师评讲..5．师生小结6．作业7．教学后记：。

三角形全等的判定H L导学案The pony was revised in January 2021三角形全等的判定（4）导学案路阳九年制学校初二年级数学组编写人：程良富刘芳学生：审核人导学目标1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；导学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

导学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

导学过程一、自主学习1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知：Rt△ABC求作：Rt△'''=90°，A B C，使'CB C=BC''A B=AB,''作法：(2)把△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）D C B A (4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、 “”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”二、合作探究1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？三、学以致用1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 答：AB 平行于CD理由：∵AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △和Rt △中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴≌() ∴=（）∴（内错角相等，两直线平行）4.如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。

2.7 直角三角形全等的判定1、全等三角形的对应边---------------------，对应角--------------------；2、判定三角形全等的方法有：------------------------------------------；3、“斜边、直角边”定理的内容是：-----------------------------------------------------------，作用是-----------------------；4、下列判断对吗?并说明理由:（1）、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （2）、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （3）、两直角边对应相等的两个直角三角形全等; （4）、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.【反思小结】---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

【类型之一】已知:如图,D是△A B C的B C边上的中点,D E⊥A C,D F⊥A B,垂足分别为E,F,且D E=D F.求证:△A B C是等腰三角形.【反思小结】DB AF E【类型之二】如图,已知∠ACB= ∠BDA=90,要使△ACB与△BAD全等,还需要什么条件?把它们分别写出来. 【类型之三】如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。

请说明理由。

【反思小结】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？【学习笔记】【当堂测评】1、用三角尺作角平分线A B PODE【能力提升】 【课堂小结】2、如图，在△A B C 中，A B =2A C ，A D 是∠B A C 的平分线，且A D =B D ，试说明C D ⊥A C的理由。

学案《直角三角形全等的判定》学习目标：已知斜边及一直角边，会作Rt △；理解直角三角形全等的判定公理“HL ”公理；会用“HL ”公理判定两个直角三角形全等。

课 前 活 动 单1．在小组内叙述SSS 公理，SAS 公理，ASA 公理及AAS 的具体内容.2．已知：∠ɑ，∠β，线段a ，如图.求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.3．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使 △ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC=DFB ．BC=EFC ．∠A=∠D D ．∠C=∠F课 堂 活 动 单活动一：小组交流课前单，并派代表汇报。

活动二：探究两个直角三角形全等的条件对于两个直角三角形，若满足一边一锐角对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等；若满足两直角边对应相等，就可以根据 判定这两个直角三角形全等。

思考：若满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，再画一个Rt △A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC ，A′B′=AB. (1)你能画出满足上述条件的△A ′B ′C ′吗？应该怎样画呢？β aCDFα(2)把画好的△A′B′C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？这反映了什么规律？基本事实：直角三角形判定定理。

简写为或符号语言表示：小结：判定两个直角三角形全等的方法有种，分别是即时反馈：1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD。

求证：BC=AD3．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由小结本课收获？课后作业单一、选择题1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，AC=DF B．AC=EF，BC=DFC．AB=DE，BC=EF D．∠C=∠F，BC=EF2. 已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，AD=BC，∠C=∠D=90°，下列结论中不成立的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DAE与△CBE不一定全等D．∠1=∠24.如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC 于F，则图中全等的直角三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题5. 如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图所示，BA∥DC，∠A=90°，AB=CE，BC=ED，则△CED≌△，AC= ，∠B=∠．7. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ．三：解答题8.如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．9.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD=CD．试说明BE=CF．11．如图，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共（）A.5对B.4对C. 3对D.2对12．如图，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：BF是△ABC中AC边上的高.。

11.2全等三角形的判定（HL）一、展示教学目标1.掌握全等三角形的判定方法——HL2.能用HL的判定方法判断两个三角形是否全等3.培养学生的知识迁移能力二、阅读教材P13---P14，并完成以下预习提纲1.“斜边直角边”的内容是______________________________________2.思考：直角三角形有哪些判定方法？_______________________________3.下列说法中：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等；（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（3）判定两个三角形全等到，至少需要一对对应边相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）三条边对应相等的两个三角形全等以上说法中，正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个4.已知△ABC中，AB=AC，AE=AF，A D⊥BC于D，且E、F在BC上，则图中共有（）对全等三角形A、1B、2C、3D、45.已知C在BD上，AC⊥BD，且AB=DF，AC=DC，则BC和CF相等吗？若相等请说出根据。

三、小组讨论并展示预习提纲四、教师点拨释疑1.“HL”的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等2题图3题图4题图EB CD A12B D E C A A BC D A E F P C B 2.直角三角形的判定方法：SAS ASA AAS HL五、课堂测试1.下列条件能判断丙俱直角三角形全等的条件是（ ）A 、一个锐角对应相等B 、两个锐角对应相等C 、一条边对应相等D 、两条直角边对应相等2.已知AB=AD ，那么添加一个条件后，仍无法判定△AB C ≌△ADC 的是（ ）A 、CB=CDB 、∠BAC=∠DACC 、∠BCA=∠DCAD 、∠B =∠D=90°3.如图，AD=AE ，BE=CD ，∠1=∠2=110°，∠BAE=80°，则∠CAE=________4.已知：如图，在△ABC 中，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的高，且BD=CE ，则AB=________,∠ABC=________5.P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是点E 、F ，AE=AF ，求证：PE=PF六：课堂小结请写出你本节课所学到的知识_____________________________________七、作业：课时作业本P10—P11八、反思：。

探索直三角形全等的条件导学案学习目标： 1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．3.提高应用数学的意识．学习重点：理解，掌握三角形全等的条件HL学习难点:运用直角三角形全等的条件解决问题。

一、旧知回顾1、、判定两个三角形全等的方法：、、、2、、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、判断题：（满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?）（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）（4）三边对应相等的两个直角三角形全等。

（）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（）二、合作探究问题1：如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知线段a ，c (a<c)和一个直角α利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a .按步骤作图：①作∠MCN=∠α=90°②在射线CM上截取线段CB=a .③以B为圆心，c为半径画弧，α交射线CN于点A .④连结AB.(2) 把△ABC剪下来与同桌的重叠比较观察看是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方“ ”三、学以致用1．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）,根据 （用简写法）.2．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（ ）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等3．如图2，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BF=CE ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由. 答：理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB =∠DEC = °（垂直的定义）在Rt △ 和Rt △ 中 ⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）3、如上图，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC 、BD 相交于点O ，AC=BD ，试说明AD=BC四、 展示提升1、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD ≌△BAC ，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据。

D CBA 201408013 11.2.4三角形全等的判定四（HL ）导学案编写者：林茂 编写时间：2014年9月6日班级： 姓名： 组名： 【学习目标】1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力； 3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

学习重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习过程】 一、自主学习 1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） 2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)动手试一试。

已知：Rt △ABC求作：Rt △， 使=90°， =AB, =BC 作法：(2) 把△剪下来放到△ABC 上，观察△与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）(4)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt 中,∵∴Rt △ABC ≌Rt △（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ” 二、合作探究1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？三、课堂小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 四、当堂检测：1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 答：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） ∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中∵∴ ≌（ ）∴ = （ ） ∴ （内错角相等，两直线平行）'''A B C 'C ∠''A B ''B C '''A B C '''A B C '''A B C ∆''BC B C AB =⎧⎨=⎩⎩⎨⎧==_______________________________BA 1 1C1。

教学设计九：《全等三角形的判定（HL）》
一、教学目标
1.理解“斜边、直角边”（HL）判定方法。

2.能运用HL判定方法证明直角三角形全等。

3.培养学生的逻辑推理能力。

二、教学重难点
1.重点：HL判定方法的理解和应用。

2.难点：证明过程的逻辑严谨性。

三、教学方法
讲授法、演示法、练习法。

四、教学过程
1.导入
回顾全等三角形的其他判定方法，引出直角三角形全等的特殊判定方法。

2.讲解HL判定方法
（1）定理内容，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（2）通过图形演示和推理证明方法的正确性。

3.例题讲解
运用HL判定方法的例题分析。

4.课堂练习
让学生进行直角三角形全等的证明练习。

5.总结归纳
总结HL判定方法和注意事项。

6.作业布置
布置课后作业，巩固HL判定方法。

17.4 直角三角形全等的判定学习目标：1.理解直角三角形全等的判定方法“HL〞，会用“HL〞判定两个直角三角形全等.2.理解角平分线性质定理的逆定理.学习重点：理解直角三角形全等的判定方法“HL〞.学习难点：“HL〞的应用.自主学习一、知识链接1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么〔或c=〕变形：2a=〔或a=〕，2b=〔或b=〕2.判定两个三角形全等的方法有：、、、二、新知预习1.动手试一试：两条线段〔两条线段长度不相等〕，一条为2cm，一条为3cm.试着画出一个直角三角形，使3cm长的线段为三角形的斜边，2cm长的线段为其一条直角边.作法：(1)作一条线段CB，使它等于2cm；(2)过点C，作直线MC⊥CB；(3)以点B为圆心，3cm长为半径画圆弧，交射线CM于点A；(4)连接AB.△ABC即为所求2.将你画的三角形和同桌画的三角形进行比拟，由此你能猜测到什么呢？【结论】由上面的画图实验可以得到直角三角形全等的判定定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形〔可以简写成“〞或“〞〕3. 尝试证明以上结论：如图，在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’求证：Rt △ABC ≌Rt '''A B C ∆ 【提示】先利用勾股定理证明另一条直角边相等，再用“SAS 〞或“SSS 〞证明这两个三角形全等 证明：三、自学自测1.判断题：〔1〕一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔2〕一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔3〕一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔4〕两直角边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔5〕两边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔6〕两锐角对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔7〕一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔8〕一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 2.如图，假设要用“HL 〞证明Rt △ABC ≌Rt △ABD ，那么还需补充条件〔 〕 A ．∠BAC=∠BAD B ．AC=AD 或BC=BDC ．AC=AD 且BC=BDD ．以上都不正确四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________AB C A ’B ’C ’一、要点探究探究点：利用“HL 〞判定两个直角三角形全等例1．如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 解：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC 〔〕∴ ∠AFB=∠DEC= °〔垂直的定义〕 ∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中 ∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌〔 〕∴ = 〔 〕 ∴ 〔内错角相等，两直线平行〕【归纳总结】用“HL 〞判定两个直角三角形全等时，要找到一组斜边和一组直角边对应相等． 【针对训练】求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．例2．请写出角平分线的性质定理的逆命题，并判断该命题的真假．【归纳总结】通过做辅助线构造两个全等的直角三角形，也是证明线段相等的常用方法．合作探究【针对训练】如图：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF二、课堂小结内容直角三角形全等的判定定理和对应相等的两个直角三角形全等．〔可以简写成“〞或“〞〕角平分线性质定理的逆定理定理到距离相等的点在这个角的平分线上．1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有〔〕A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等2．如图，∠A=∠D=90°，再添加一个条件，即可使Rt△ABC≌Rt△DCB，理由是．3．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，那么∠2= ．当堂检测4．如下图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，假设∠B=28°，那么∠AEC=〔〕A．28°B．59°C．60 D．62°5．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？6．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB ⊥AB于点B．DA=15km，CB=10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D 两学校到E的距离相等，那么E应建在距A多远处？2.3 线段的长短学习目标：1.掌握线段长短比拟的正确方法及表示方法；〔重点〕2.学会用尺规作图作一条线段等于线段；〔重点〕“两点之间线段最短〞的根本领实.〔重点〕学习重点：线段长短比拟的方法及表示方法.学习难点：如何引导学生从“数量〞的角度，引入到从“形〞的角度来分析两条线段的大小比拟.二、知识链接自主学习1.如图，点A、B、C、D在直线AB上，那么图中能用字母表示的共有条线段，有条射线，有条直线.2.以下说法正确的选项是A 画一条3厘米长的直线B 画一条3厘米长的射线C 画一条4厘米长的线段D 在直线，射线，线段中，直线最长三、新知预习互动探究议一议〔1〕你们平时是如何比拟两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比拟两条线段的长短吗？讨论后派一位代表上来说说你们的想法.〔2〕那如果是两个分别在两条不同的笔直的道路上跑的选手，我们又如何知道在规定的时间内，他们谁跑得更远呢？〔3〕任意的画出两条线段，你又该如何比拟这两条线段的长度大小呢？你能想到什么方法？【自主归纳】比拟两条线段的长短的方法：第一种方法：度量法，即用一把尺量出两条线段的长度，再进行比拟.a b解：量得a= ；b= ；∴a b.〔填﹤、﹥或﹦〕第二种方法：叠合法先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧，根据另一端落下的位置，来比拟.将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD 叠合.这时端点B有三种可能的位置情况:(1)点B落在C,D之间，线段AB_____线段CD,记作_______.C B D(2)点B与点D重合，线段AB_____线段CD,记作______.A B(3)点B在线段CD的延长线上，线段AB_____线段CD,记作_______.A想一想：如图，小明到小英家有四条路可走，有一天小明有急事找小英,你认为走哪条路最快？为什么?你能得到什么结论？【归纳】两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离.两点之间的所有连线中，线段最短.画一画作一条线段等于线段a：线段a, 作一条线段AB，使AB=a.步骤：1.画___________________;2.以_____为圆心，______为半径画弧，交________于_______.线段AB即为所求.四、自学自测1.试比拟线段AB 、CD 的长短.A B C D2.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应是_____________．四、我的疑惑_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、要点探究探究点1：比拟线段的长短例1：为比拟线段AB 与CD 的大小，小明将点A 与点C 重合使两条线段在一条直线上，点B 在CD 的延长线上，那么〔 〕A. AB ＜CDB. AB ＞CDC.AB=CD D 以上都有可能 【归纳总结】 用叠合法比拟线段的长短.【针对训练】用圆规比拟图中的四条线段，其中最长的是〔〕探究点2：有关线段的根本领实例2：如下图，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？【归纳总结】(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短〞．【针对训练】如图，AB+BC______AC，AC+BC________AB，AB+AC__________BC〔填“>〞“<〞或“=〞〕.二、课堂小结内容线段长短的比拟方法度量法、叠合法.根本领实及两点间的距离两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离.A. ABB. BCC. CDD. ADCB当堂检测1.以下可以比拟长短的是〔〕A.2.七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一条适宜的方法〔〕A.把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳B.把两条绳子接在一起C.把两条绳子重合，观察另一端的情况D.没方法挑选3.以下判断错误的选项是〔〕A.任何两条线段都能度量长度B.因为线段有长短，所以它们之间能判断大小C.利用圆规配合尺子，也能比拟线段的大小D.两条直线也能比拟大小4.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比拟长短时，以下说法错误的选项是〔〕A.如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB<CDB. 如果A,C重合，B落在线段CD的内部，那么AB<CDC. 如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB＞CDD. 如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，那么AB＞CD5.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是〔〕6.下面线段中，_____最长，_____最短.①②③④7.如图，从甲地到乙地有四条道路，其中最短的路线是，最长的路线是。

徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 5 课时 姓名：________课题：《11.2三角形全等的判定》（HL ）学习目标 我的目标 我实现1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

突破：【重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习 我探索 我快乐1、复习思考 (1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、(2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是(3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知：Rt △ABC求作：Rt △'''A B C ， 使'C ∠=90°，''A B =AB, ''B C =BC作法：(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）(4)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt△A B C A 1 B 1C 1◆八年级数学导学案 设计：林朝清 设计时间 2013年9月3日D C B A（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”☆☆导学活动2☆☆合作探究 我合作 我成功1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？☆☆导学活动3☆☆学以致用 我尝试 我成功1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高， 则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）∵BE=CF ，∴BF=CE 在Rt △ 和Rt △ 中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌（ ）∴ = （ ）∴（内错角相等，两直线平行）徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！4、能力提升：（学有余力的同学完成）如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。

DCBA新授课“四环节”课堂导学案活页课 题 课题 直角三角形全等的判定组 长郑太重成 员 徐海桢 胡世梅 李功山导学目标 1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2、通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力； 导学重点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

导学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

自 主 学 习1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 (3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法合 作 探 究2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)动手试一试。

已知：Rt △ABC求作：Rt △'''A B C ， 使'C ∠=90°，''A B =AB, ''B C =BC 作法：(2)把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）(4)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”展 示 交 流1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？分 层 达 标2、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 答：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） ∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中 ∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌（ ）∴ = （ ）ABCA 1B 1C 1∴（内错角相等，两直线平行）3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）。

新宾一中导学案课题:直角三角形全等判定（HL）主备：上课教师：上课时间：
画一个Rt△A′B′C′，使B′C
小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一
边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．
通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否
全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？。

七年级 数学 学科导学案 姓名1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 、2、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 、3、如图，AB ⊥BE 于C ，DE ⊥BE 于E ， （1）若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） （2）若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF（填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） （4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法） 4.按下列画法，用圆规和刻度尺画直角三角形斜边、直角边的判定方法的两个直角三角形 全等，简称斜边、直角边或HL . 通常写成下面的格式：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∵⎩⎨⎧AC ＝DFBC ＝EFD CBAFED CBA ∴Rt △ABC ≌R △DEF （HL ）[合作探究]例题讲解：1.如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ,垂足为D ， 试用（H.L ）全等识别法说明AD 平分∠BAC2.已知如图， AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，垂足分别为C 、D ，AC =BD Rt △ABC 与Rt △BAD 全等吗？为什么？[自我测试]（1）如图，已知∠ACB =∠ADB =90°，要使△ABC ≌△BAD 还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由：①___________（ ）②___________（ ）③___________（ ） ④___________（ ）（2）如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，能说明BC 与BD 相等吗？（3）如图：AB =DF ，CF =EB ，AC ⊥CE ，DE ⊥CE ，垂足分别为C 、E . △ABC 与△DEF 全等吗？为什么？[自我提高]1. 如图，AB ⊥BD ，CD ∥AB ，AB =CD ，点E 、F 在BD 上， 且AE =CF .试说明AE ∥CF .2. 已知：如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， B 、C 分别是垂足.DE 交AC 于M ，AC =DE ，AB =EC ，DE 与AC 有什么关系？请说明理由.[课后反思]BD C A DCBAEM。