浙教版八年级竞赛培优训练第25讲 矩形、菱形

第25讲 矩形、菱形

【思维入门】

1．如图8－25－1所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于 ( )

A ．3.5

B ．4

C ．7

D ．14

2．有4个命题：

(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．如图8－25－2，在▱ABCD 中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 (

)

图8－25－2

①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°； ③AB ＝BC ；④AC ＝BD . A ．①或③ B ．②或③ C ．③或④

D ．①或②或③

4．如图8－25－3，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为

(

)

图8－25－1

图8－25－3 A．2 3 B．3 3

C．6 3 D.9

2 3

5．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积等于____．

6．已知：如图8－25－4，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.

(1)求证：△DOE≌△BOF；

(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

图8－25－4

【思维拓展】

7．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝1

3AB.将矩

形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是()

图8－25－5

A．①②B．②③

C．①③D．①④

8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋2

3CD，则BC＝______．

图8－25－6

9．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结

DE，BE，若△ABE是等边三角形，则S△DCE

S△ABE

＝____．

图8－25－7

10．如图8－25－8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.

(1)求证：AF＝DC；

(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

图8－25－8

11．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.

(1)求证：AM＝AN；

(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

图8－25－9

12．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：如图8－25－10①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD ＝S △BCD .

应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE ＝BF ，AF 与BE 交于点O . (1)求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；

(2)连结OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积． 探究：在△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，点D 在线段AB 上，连结CD ， △ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到 △A ′CD ，若△A ′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的1

4，请直接写出△ABC 的

面积．

图8－25－10 【思维升华】

13．菱形的两条对角线之和为L ，面积为S ，则它的边长为

( )

A.1

2L 2－4S

B.1

2L 2－2S C.1

22L －4S

D.1

24S －L 2

14．如图8－25－11，四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝30°，AB ＝6，AD ＝CD ，AB ∥CD ，那么BD 的长度是 ( )

图8－25－11

A ．7

B ．4

C ．27

D ．4 2

15．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱

形ABCD，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，这个最大值是____．

图8－25－12

16．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是____.

图8－25－13

第25讲矩形、菱形

【思维入门】

1．如图8－25－1所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)

A．3.5B．4

C．7D．14

2．有4个命题：