2
用尺规作图找出黄金分割点
如图,已知线段AB, 求作其黄金分割点.
D
作法:
1、经过点B作 BD⊥AB,
1 使BD AB . 2
A
B
2、连接AD,在DA上截取 DE=DB . 3、在AB上截取 AC=AE. 点C即为线段AB的黄金分割点.
异 曲 同 工
如下方法也可以得到黄金 分割点？ 如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
黄金分割与优选法
数学上最优化问题的解决方法大致分为两类： 间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化 方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数 学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处 理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人 们就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验， 较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。 如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验 的次数将大大减少。 实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法”做16次实验， 就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果。20世纪50、60年代 华罗庚在全国推广“0.618法”，在生产中获得大量应用，特别在工 程设计方面应用最多，成效最佳。
AC AB
section),
=
BC = AC
√5 – 1
2
:
1 ≈ 0.618 : 1
想一想:
●
●
●
●
A
D
C
B
1.线段AB 有没有除点C 以外的黄金分割点呢？ 2.点D 应满足怎样的条件？
AB 被点 D
BD 黄金分割，则 AB
=
A
AD BD
.
E
3.你还发现了什么？
D
C
B
G H F
P
Q
方法总结 :
植物的神秘数字
在中国，梅花有着类似的象征意义。民间 传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国 花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、 重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣 并非独特.事实上，花最常见的花瓣数目就是 五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、 李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。 常见的花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花(看 上去6枚，实际上是两套3枚)；8枚，飞燕草； 13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有 的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。 而其他数目花瓣的花则很少。
生命的黄金分割
最有意味的是，在人的生 命程序DNA分子中，也包含着 “黄金分割比”。它的每个双 螺旋结构中都是由长34个埃与 宽21个埃之比组成的，当然34 和21是斐波那契系列中的数字， 它们的比率为1.6190476，非常 接近黄金分割的1.6180339。
这是否说明黄金分割律是比DNA中的遗传密码更基本 东西？因为承载DNA的结构——双螺旋结构——也遵循黄 金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的DNA中的遗传 密码？
B
A
D
C
三
创造美
E
D
∟
如图,已知线段AB,DB⊥AB A C B 于B,在DA上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE,
5 1 (1)若AB=2,BD=1,则AD=____,AC=______, 5 5 1 AC 黄金分割点. 则C是线段AB的________ 2 AB
(2)若AB=2a,BD=a 则C点呢? AC _____ 1 ABBD AB 则C即为AB的黄金分割点. 若
5 1 AC : AB :1 0.618 :1 2
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
——以数学的视角感受美
教学目标:
1.什么是黄金分割和黄金矩形，如 何去确定黄金分割点或黄金比。 2.在实际操作过程中增强学生的实 践意识和自信心。 3.通过建筑、艺术上的实例了解黄 金分割，体会其中的文化价值。 找黄金分割点和判断一个点是 否是线段的黄金分割点。
重点: 难点:了解黄金分割的意义并会运用。
长 短 5 1 黄金比= 全 长 2
较长线段= ×原线 段 较短线段=原线段一较长线段
=
5 1 2
5 1 2
×较长线段
幸运闯关
M P N
如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP), (1)可得比例式 (2)若MN=1,则MP≈_____,NP≈_____. 0.618 0.382 (3)若MN=5,则MP≈______,NP≈______. 3.09 1.91
健康的黄金分割率
气温在人体正常体温的黄 金分割点上23℃左右时，恰是 人的身心最适度的温度；医学 专家也观察到，当人的脑电波 频率下限是8赫兹，而上限是 12.9赫兹，上下限的比率接近 于0.618时，乃是身心最具快 乐欢愉之感的时刻。正常人的 心跳在心电图上也显示出T波 出现的位置恰好大约是一次心 跳节拍的“黄金分割”位置上 （如图）。
(4)若MN=a,则MP≈______,NP≈______. 0.618a 0.382a
例:已知线段AB=6cm,点P为线段AB的黄金分割点, 求线段AP的长.
分析:分两种情况 (1)AP > PB (2)AP <PB
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
C
B
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点,点D是靠近点A的黄金分割点。试确定 支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的 距离。
图中主叶 脉与叶柄 和主叶脉 的长度之 和比约为 0.618
美丽的蝴蝶
0.618随处 可见!
上海东方明珠塔 上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的 距离约为289.2m, 289.2 与468的比值0.618是一 个神奇的数字,这个塔的 设计精巧,外型匀称、漂 亮、美观、大方.
289.2m
黄金分割哲学（黄金分割的启示）
从黄金分割率的美感中, 我们可以领略出另一种韵味 无穷的人生哲学. 称其为0.618哲学, 或者更响亮一些, 黄金哲学. 它相仿于半半哲学: 平和, 稳健, 乐天知命. 可是, 它又多了一点儿向上, 一点儿进取, 超越了一点儿 平庸. 人生之旅, 说短亦短, 说长亦长. 在这个旅程上, 你 要有事业, 有生活, 有朋友...,每每用黄金分割率来度 量, 你会有一种说不清道不尽的身心怡旷...
一
发现美
摄影作品之美
你觉得哪张照片的构图 最合理？更能体现小松鼠 若有所思的在凝视前方？
古巴
越南
土耳其
智利
苏里南 中国
二
探索美
AC AB
A
C
B
(1)测量五角星上C点到A、 B点的距离。 (2)请你再计算一下 和 AC 的值分别是 多少? 它们相等吗？(保留一位有效数字） (3)结合图形观察比例式 有什么特点？
长 短 5 1 全 长 2
五
欣赏美
微笑》给了数以亿万计的 人们美的艺术享受，备受 推崇。意大利画家达芬奇 在创作中大量运用了黄金 矩形来构图。整个画面使 人觉得和谐自然，优雅安 宁。
黄金矩形的“迷人面容”----蒙娜 丽莎的微笑。 这幅《蒙娜丽莎的
找一找：画中有几个 黄金矩形？
叶子中的黄金分割
知道这是些什么地方吗？
绘画艺术中的黄金分割
黄金矩形的“迷人面容” ----蒙娜丽莎的微笑。
这幅《蒙娜丽莎的微笑》给 了数以亿万计的人们美的艺术享 受，备受推崇。意大利画家达芬 奇在创作中大量运用了黄金矩形 来构图。整个画面使人觉得和谐 自然，优雅安宁。
绘画艺术中的黄金分割
画中有几 个黄金矩 形？
AC AB BC
=
BC AC
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成 两条线段 AC 和 BC , 如果
AC AB
AC2=AB ∙ BC =
BC AC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(goldensection)，点 C 叫 做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比。
AC
AB BC = AC
谢 谢 大 家!
□
黄金分割的事例
★黄金比在建筑、摄影、美术上的应用 ★黄金比在自然界中的发现 ★黄金比在军事上的应用 ★人体的黄金比 ★0.618优选法
叶子中的黄金分割
图中主叶脉与叶 柄和主叶脉的长 度之和比约为 0.618
植物的神秘数字
大自然里一些花草长出的枝条也 会出现斐波那契数，有一种叫着“喷 嚏麦”（Sneezewort的直译，可能会 像鲁迅指出的闹“牛奶路”Mikyway 的笑话，希望懂植物学的读者赐以正 确的中文名）的花草，新的一枝从叶 腋长出，而另外的新枝又从旧枝长出 来，老枝条和新枝条的数目的和就像 那兔子问题一样。
建筑中的神秘数字
知道这是些什么地方吗？
古希腊的巴特农神殿，塔高与工 作厅高之比为340∶553≈0.615
建筑中的神秘数字
知道这是什么地方吗？ 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（ 137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底 面的边长与高这比都接近于0.618.
建筑中的神秘数字
植物的神秘数字
计算机绘制的斐波纳契螺旋
生命的神秘数字
动物界的神秘数字
人体的黄金分割点
面部的黄金分割
维纳斯的标准体型
芭蕾演员虽然身材修 长，但其腰长与身高之比平 均约为0.58，只有在翩翩起 舞时、踮起脚尖，方能展现 0.618的魅力。
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效 果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。 人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体 温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）。这说明医学与 0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。 人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉， 肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。 上肢与下肢长度之比均近似0.618.
=
√5 – 1
2
: 1
≈ 0.618 : 1
●
●
●
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC BC 长 短 = ( ) AB AC 全 长
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),点 C 叫做线段 AB 的黄金分割 点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
四
应用美
A E B
这是古希腊的巴台农神庙， 如果把图中用蓝线表示的矩 形画成矩形ABCD，并以矩形 ABCD的宽为边在内部作正方 形AEFD，那么我们可以惊奇 地发现 BC AB 。
BE BC
1.点E是AB的黄金分割点吗?
D
F
C
2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗?
1.点E是AB的黄金分割点吗?
拿破仑兵败黄金分割
一代枭雄的拿破仑大帝可能怎么也 不会想到，他的命运与0.618紧紧地联系 在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中 气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄 军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于 此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时 的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意 识到，天才和运气此时也正从他身上一点 点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正 在同时到来。 后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸 中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利 进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上
蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体 现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完 美.
绘画艺术中的黄金分割
绘画艺术中的黄金分割
绘画艺术中的黄金分割
武器装备与黄金分割
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和 枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。 到了1918年，一个名叫阿尔文〃约克的美远征军下士，对 这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰 恰符合0.618的比例。
2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗?
BC ABBC=AE AE AB 推证 BE BC BE AE
AE BE AB AE
A E B
D
F
C
AE( BC ) 是黄金比 因此，点E是AB的黄金分割点， AB AB
即宽与长的比是黄金比,这样的矩形称之 为黄金矩形。
方法总结 :
证黄金分割点即证
468m
六
留住美
谈谈你对黄金分割的收获与体会。
1.一条线段，一个矩形 2.两个分点，两个数字
3.三个等量，三步作出线段的黄金分 割点 4.美中有数学，数学中有美
七 延伸美
科学研究表明,当人的下肢长与身高 之比为0.618时,看起来最美.某成年女 士身高为153cm,下肢长为92cm,她的高 跟鞋鞋跟最佳高度约为______cm(结果 精确到0.1cm).
