图的染色(第四讲)

图的分类学号:2012210421专业:数学姓名:鲍旭东2014年1月15日摘要:图的染色理论在图论中占据着重要的位置.图的染色理论有很多分支,如边染色、点染色、面染色和全染色等.其中研究最多,结果也较完善的就是图的边染色.本文首先旨在讨论图的边染色的几个问题,即第一类图和第二类图,T ait-染色.然后介绍最大度是6的平面图是第一类图的一些充要条件.关键词:平面图;T ait-染色;最大度.1引言染色理论是图论的重要内容,也是图论的起源之一.图的染色问题的研究来源于著名的四色问题,具有重要的理论意义和实际意义.图的染色一般分为点染色、边染色、全染色和其他的一些特定的染色,如Injective染色、BB染色、邻点可区别全染色等.本文仅考虑有限简单图.图G=(V,E)为一个有序对,其中V是一个有限集合,E是V中二元无序对的集合.V中的元素称为图G的顶点,E中的元素称为图G的边.如果E有同一个元素的无序对,则称相应的边为环.如果E有相同的无序对,则称相应的边为重边.没有重边和环的图称为简单图.通常将图G中的顶点用u,v来表示,G中的边用e来表示.如果可以把图G画在平面上,使得它的边仅在端点处相交,则称图G为可平面图.把可平面图在平面内具体的使得边仅在端点处相交的嵌入叫做平面图.对于平面图G,我们用V(G)、E(G)、F(G)、∆(G)和δ(G)来记为图G的顶点集、边集、面集、最大度和最小度.图G的度数为k、至多为k或者至少为k的顶点分别称为k-点、k−-点,k+-点.类似我们定义k-面、k−-面、k+-面.如果两个面或者两个圈至少有一条公共边,我们称这两个面或者两个圈相邻.如果两个面或者两个圈有一个公共点,我们称这两个面或者两个圈相交.特别一个3-圈,我们称为三角形.对于平面图G,如果δ(G)≥2,则k(k≤5)-面为简单面.未定义的符号和说明参见文献[1].设G=(V,E)是一个简单图,C是一个颜色集合,从V到C的一个映射φ:V→C叫做G的一个顶点染色.又若相邻的顶点染有不同的颜色,即uv∈E,使得φ(u)=φ(v),则称φ为G的一个正常染色,简称染色.进一步,若|C|=k,则称φ为G的一个k-染色.若G有一个k-染色,则称G是k-可染的,1把χ(G)=min{k|G是k-可染的}叫做G的色数.同样设G是一个无环图,φ:E(G)→{1,2,···,k}是一个映射.若φ满足任意两条相邻的边e,e′∈E(G),都有φ(e)=φ(e′),则称φ为G的一个k-边染色.若G有一个k-边染色,则称G是k-边可染的.把χ′(G)=min{k|G是k-边可染的}叫做G的边色数.我们所熟知的V izing′s定理,对于任何有限简单图都有∆≤χ′(G)≤∆+1.如果χ′(G)=∆,则称G是第一类的;如果χ′(G)=∆+1,则称G是第二类的.一个临界图G它是连通的,且∀e∈E(G),G是第二类的,G−e是第一类的.最大度为∆的临界图称为∆-临界图.易见每个k-临界图(k≥2)都是2-连通的.在过去的几年里,关于平面图的边染色有了许多成果.V izing[7]首先给出了∆∈{2,3,4,5}的平面图是第二类的例子,证明了对于每个∆≥8的平面图都是第一类的,并且猜想6≤∆≤7的平面图是第一类的.Sanders[5,6]等人已经证明了∆=7的情况.因此关于∆=6的情况还没有完全解决.G.Zhou在文献[11]证明了没有k-圈(k∈{3,4,5})且∆=6的平面图G是第一类的.S.F iorini等在文献[4]中证明了平面图G满足以下其中一个条件,则G是第一类的:(1)∆≥3,g≥8;(2)∆≥4,g≥5;(3)∆≥5,g≥4;(4)∆≥8,g≥3.本文第一部分主要介绍一些简单的定义和定理,第二部分主要介绍T ait-染色,第三部分主要介绍最大度是6的平面图是第一类的一些充要条件.2第一类图和第二类图由V izing′s定理可知,对于任何有限简单图都有∆≤χ′(G)≤∆+1.如果χ′(G)=∆,则称G是第一类的;如果χ′(G)=∆+1,则称G是第二类的.因此,值得我们去研究的就是哪些图属于第一类的,哪些图属于第二类的.尽管我们看到第一类和第二类的图很多,但是似乎是大部分图类都是第一类的. P aul Erd¨o s和Robin J.W ilson在文献[11]中证明了下面定理.定理1几乎所有的图都是第一类的.即limn→∞|Φn,1||Φn|=1.其中Φn表示阶为n的图类,Φn,1表示阶为n的第一类图.引理1图G的阶为m,则χ′(G)≥mα′(G).下面我们看一些熟知的图的分类.对于圈来说,由于圈C n(n≥3)是2-正则的,χ′(C n)= 2或χ′(C n)=3.如果n是偶数,则我们可以用颜色1和2对边进行交替染色.如果n是奇数,则α′(C n)= (n−1)/2.由于C n的阶为n,由引理1可知,χ′(C n)≥n/α′(C n)=2n/(n−1)>2,因此χ′(C n)=3.由于∆(C n)=2,因此如果n是奇数,则C n是第二类的;如果n是偶数,则C n是第一类的.对于完全图来说,由于K n是(n−1)正则的,则χ′(K n)=n−1或χ′(K n)=n.如果n是偶数,则K n是1-可因子化的,即K n可以分解n−1个1-因子F1,F2,···,F n−1.给F i染i,则χ′(K n)=n−1;如2果n是奇数,则α′(K n)=(n−1)/2.由引理1可知,χ′(K n)≥m/α′(K n)=n.因此χ′(K n)=n.因此如果n是奇数,则K n是第二类的;如果n是偶数,则K n是第一类的.显然,圈和完全图都是正则图.对于r-正则图G,χ′(G)=r或χ′(G)=r−1.如果χ′(G)=r,则G有r-边染色,设将边集分为E1,E2,···,E r.显然每个E i都是一个完美匹配且G是1-可因子化的.相反,如果G是1-可因子化的,则χ′(G)=r.定理2一个正则图G是第一类的当且仅当G是1-可因子化的.推论1每个奇阶正则图是第二类的.定理3如果G是一个非空二部图,则χ′(G)=∆(G).我们可以看到如果阶为m的图G,则E(G)任何剖分的独立集至少有m/α′(G)集合.如果d G(v)=∆(G),则与v关联的∆(G)边一定属于不同的独立集.因此m/α′(G)≥(G)且m≥∆(G)·α′(G).如果m>∆(G)·α′(G),我们有下面的定理.定理4如果G是一个阶为m的图,满足m>α′(G)∆(G),则G是第一类的.证明由引理1可知,χ′(G)≥m/α′(G).因此χ′(G)≥m/α′(G)>∆(G)·α′(G)/α′(G)=∆(G),这就意味着χ′=1+∆,因此G是第二类的.如果G是阶为n的图,则α′(G)≤⌊n2⌋.因此∆(G)·α′(G)≤∆(G)·⌊n2⌋.图G称为overfull,如果满足m>∆(G)·⌊n2⌋.如果n是偶数,则⌊n2⌋=n2且2m=∑v∈V(G)d G(v)≤n∆(G).因此,m≤∆(G)·(n/2)=∆(G)·⌊n2⌋且G不是overfull.因此偶阶图不是overfull.推论2每个overfull图是第二类的.设G的子图为H,|H|=n′,∥H∥=m′,称H为overfull子图,如果H满足:m′>∆(G)·⌊n′2⌋=∆(G)·n′−12.事实上,如果H是overfull,且是G的子图,则∆(H)=∆(G).这就是说H本身就是第二类的.不仅overfull子图是第二类的,G本身也是第二类的.定理5每个图G有一个overfull子图,则G它是第二类的.证明设H是G的overfull子图.我们注意到,∆(H)=∆(G)且H是第二类的;因此χ′(H)= 1+∆(H).因此3χ′(G)≥χ′(H)=1+∆(H)=1+∆(G)因此χ′(G)=1+∆(G).定理6设G是偶阶r正则图,阶n=2k,V1、V2是V(G)的剖分,且|V1|=n1、|V2|=n2都是奇数.假设G1=G[V1]是G的overfull子图.则G2=G[V2]也是G的overfull子图.特别,如果k是奇数,则r<k;如果k是偶数,则r<k−1.证明设∥G i∥=m i,i=1,2.由于G1是overfull,m1>r(n1−12).下面证明m2>r(n2−12).因为：m2=rn2−(rn1−m1)=rn2−rn1+m1.由于2m1>rn1−r,则2m2=rn−2rn1+2m1>rn−2rn1+rn1−r=r(n−n1−1)=r(n2−1)因此m2>r(n2−12)并且G2是overfull.因此G1与G2都是overfull.现在不妨设n1<k,如果k是偶数,则n1<k−1.由于G1是overfull,则m1>r(n1−12)且2m1>r(n1−1)因此2(n12)>2m1>r(n1−1)且n1(n1−1)>r(n1−1).因此,r<n1.故如果k是奇数,则r<k;如果k是偶数,则r<k−1.Overfull猜想设G是阶为n的图,满足∆(G)>n/3.则G是第二类的当且仅当G包含一个overfull子图.1-可因子化猜想设G是一个阶为n的r正则图,满足r≥n/2,则G是1-可因子化的.定理7如果overfull猜想成立,则1-可因子化猜想也成立.证明我们用反证法来证明.假设定理不成立,即overfull猜想成立,但是1-可因子化猜想不成立.则存在偶阶r正则图G,满足r>n/2是的G不能1-可因子化.因此G是第二类的.由overfull猜想,G包含一个overfull子图G1.设G2是由V(G)−V(G1)导出的子图.由定理6可知,G2也是overfull.易见G1与G2的阶至少有一个小于等于n/2,不妨设|G1|≤n/2.同样由定理6,如果n/2是奇数,则r<n/2;如果n/2是偶数,则r<(n/2)−1.由于r≥n/2,矛盾.43Tait染色在图论的领域中,一个最著名的猜想就是4-色猜想.T ait在下面的定理中给出了4-色猜想的一个等价命题.定理83-正则无桥图G是4-区域可染的当且仅当G是3-边可染的.证明首先我们证明必要性.假设G是4-区域可染的.4种颜色集合为Z2×Z2.每个颜色可以简写ab,这里的a、b∈{0,1}.4个颜色记为c0=00,c1=01,c2=10,c3=11.由于Z2×Z2中每个元素具有自反性,则Z2×Z2中两个不同的元素之和不会出现c0.下面我们定义G的边染色.由于G是无桥的,G的每条边e位于两个不同的区域边界上.定义边e的染色为e关联的区域颜色之和.因此G的边染色不可能出现c0且G有一个3-边染色.下面验证这样的3-边染色是正常的.设e1和e2是G的两个不同的边且设v是关联e1和e2的顶点.由于G是3-正则的,则v关联第三条边e3.对于1≤i≤j≤3,假设e i和e j位于区域R ij的边界上.由于R13和R23染以不同的颜色,因此R13和R23颜色之和与R12和R23颜色之和不同.因此这是G的一个正常3-边染色.下面我们证明充分性.假设G是3-边可染的.设G的3-边染色为c1=01,c2=10,c3=11.这将E(G)剖分成三个完美匹配E1,E2,E3,这里E i是染以颜色c i的边集合.设G1是有边集E(G1)=E1∪E2导出的子图,G2是有边集E(G2)=E2∪E3导出的子图.则G1和G2是由G导出的2-正则支撑子图,且G1和G2是不相交的偶圈.对于i=1,2,G i是G的区域.对于G i中的每个圈C,G的每个区域要么在圈C外,要么在圈C内.更进一步的,由于G是无桥的,G i的每条边属于G i中的一个圈C′,且位于两个不同区域的边界上.下面定义G的4-区域染色.给区域R染以颜色a1a2(a i∈{0,1}),这里如果R位于偶圈内部,则a i=0;否则a i=1.现在来说明这样的4-染色是正常的,即每两个相邻的区域染有不同的颜色.设R1和R2是G的两个相邻的区域.因此存在一条边e同时位于R1和R2的边界上.如果e染以c1或c2,则e位于G1中的一个圈上;如果e染以c2或c3,则e位于G2中的一个圈上.因此e位于G1中的圈或G2中的圈或同时位于两个.设C是G1中的一个圈,包含e.事实上,R1和R2有一个位于C的内部.因此R1和R2的第一坐标不同.同理第二个坐标也不同.故这样的4-染色是正常的.1884年,T ait认为每个3-正则图是1-可因子化的.但是这个结果在不加限定的话是不成立的. Julius P etersen随后认为每个无桥3-正则图是1-可因子化的.然而,1898年P etersen认为这样的条件还是不能满足是1-可因子化的.例如P etersen图.定理9如果每个3-连通3-正则图是3-边可染的,则每个2-连通3-正则图是3-边可染的.证明假设定理不成立.则所有3-连通3-正则图是3-边可染的,但是存在2-连通的3-正则图不是3-边5可染的.由2-连通3-正则图不是3-边可染色,我们假设G是阶数最小的一个.则n是偶数且由于这样的图的阶数至少是4,所以n≥6.又由于κ(G)=λ(G)=2.这就意味着每个最小边割包含两条不相邻的边.设{u1v1,x1y1}是G的最小边割.则顶点u1,v1,x1,y1互不相同,且设F1和H1是G−u1v1−x1y1的两个连通分支.假设u1x1,v1y1/∈E(G),则F1+u1x1与H1+v1y1是2-连通3-正则平面图,由极小性G是3-边可染色.设3-边染色为1,2,3.我们让u1x1与v1y1染1.删去边u1x1和v1y1,增加边u1v1和x1y1且给u1v1和x1y1染以1,这样G是3-可染的.因此我们假设u1x1与v1y1至少有一条边是G的边,不妨设u1x1∈E(G).则u1相邻F1中的一个顶点u2,不同与x1.x1相邻F1中的一个顶点x2,不同与u1.由于κ(G)=2,即u2=x2.则{u2u1,x2x1}是G的最小边割,且F2与H1为G−u1−x1的两个连通分支.假设u2x2,v1y1/∈E(G).则F2+u2x2与H1+v1y1是2-连通3-正则的,由极小性知他们是3-边可染色的.设3-边染色为1,2,3.我们改变颜色,使得u2x2染以2,v1y1染以1.删去边u2x2和v1y1,给u1u2和x1x2染以2,u1v1和x1y1染以1,且给u1x1染以3,则G是3-边可染的.因此我么假设u2x2与v1y1至少有一条边是G的边.重复上面的操作,我们得到序列{u1,x1},{u2,x2},···,{u k,x k}(k≥1)是F1中的一对顶点满足u k x k/∈E(G)和u i x i∈E(G)(1≤i<k)和序列{v1,y1},{v2,y2},···,{v l,y l}(l≥1)是H1中的一对顶点满足v l y l/∈E(G)和v i y i∈E(G)(1≤i<l),这里F k与H l是G−({u1,u2,···,u k−1}∪{x1,x2,···,x k−1}∪{v1,v2,···,v l−1}∪{y1,y2,···,y l−1}).由于F k+u k x k和H l+v l y l是2-连通的且满足极小性,则他们是3-边可染的.设色集为1,2,3.改变颜色使得如果k,l具有相同的奇偶性,则u k x k与v l y l染1,u k x k染2;如果k,l奇偶性不同,则v l y l染1.删去边u k v k和v l y l,沿着路(v l,v l−1,···,v1,u1,u2,···,u k)和(y l,y l−1,···,y1,x1,x2,···,x k)交替颜色1和2,且给u1x1,u2x2,···,u k x k,v1y1,v2y2,···,v l y l染颜色3,这样G是3-边可染的.矛盾.推论3每个无桥3-正则图是第一类的.由推论3可知,无桥平面图G满足∆(G)=3是第一类的.但是存在平面图是第二类的满足∆(G)= 3.事实上,最大度为2≤k≤5,既存在第一类的,也存在第二类的.然而V izing和Sander、Y ueZhao证明了下面的定理.定理10如果平面图满足∆(G)≥8,则G是第一类的.定理11如果平面图满足∆(G)=7,则G是第一类的.6因此只有一种情况没有解决。

三色(原)染色法
三色(原)染色法是一种图论中常用的染色方法，用于对图的节
点进行染色，使相邻节点的颜色不相同。

具体步骤如下：
1. 给图的一个节点染上初始颜色，一般选择颜色集合中的第一个颜色。

2. 遍历所有未染色的节点，对于每个未染色的节点，检查与它相邻的所有已染色节点的颜色。

如果相邻节点中的某个节点颜色与当前节点相同，则将当前节点染上下一个颜色。

如果相邻节点中不存在和当前节点相同的颜色，则继续遍历下一个未染色节点。

3. 重复步骤2，直到所有节点都染色完成。

4. 最后得到的染色结果，是一种使得相邻节点颜色不相同的染色方案。

这种染色方法的正确性和有效性可以通过图的邻接矩阵或邻接表来进行实现。

在实际应用中，此种染色方法通常用于解决图的顶点着色问题，例如地图上的区域着色问题、时间表安排问题等。

需要注意的是，染色方案不唯一，根据图的结构和算法的不同，可能会存在不同的染色结果。

图的边染色及一些有限制条件的染色图的染色问题在图论及理论计算机科学中都有着极为广泛的应用,是图论研究中最重要的课题之一.在本论文中,我们研究图的边染色及一些简单图的有限制条件的染色.设G是可能具有重边但不具有环的图,分别用V,E,△和μ表示G 的顶点集,边集,最大度和重数.本文的第一章给出图的边染色,点染色及其它一些有限制条件的染色的定义,并给出相关问题的一些主要研究进展和猜想.图的边染色的核心问题是确定其边色数.图G的k-边染色φ是从E到集合{1,2,…,k}(其中的元素称为颜色)的一个映射,使得任意两条相邻边的颜色不同.G的边色数是使得G存在k-边染色的最小正整数k,记作χ’与研究边染色相比,研究分数边染色更加容易一些.图G的分数边染色是G的匹配的集合M(G)的一个非负赋权ω(.),使得对每条边e∈E,有∑M∈M:e∈Mw(M)=1显然这样的赋权ω(.)存在.G的所有分数边染色中最小的总权值∑m∈Mw(M)称为是G的分数边色数,记作χ’f,计算χ’f是多项式时间的.图G的边色数与分数边色数的关系如下△≤x’f ≤x’≤△+μ,其中的上界为Vizing的一个经典结果.事实上,如果χ’f&gt;△,那么x’f=max|E(H)|*[|V(H)|/2]其中的最大取遍G的导出子图H.Goldberg(1973), Andersen(1977)和Seymour(1979)各自先后猜想当χ’≥△+2时,χ’=[χ’f].这一猜想可推出Gupta(1967)在其博士毕业论文中的一个猜想,通常被称为Gildberg猜想或Goldberg-Andersen-Seymour猜想.本文的第二章.我们证明若λ&gt;△+3(?)△/2则χ’=[χ’f].这之前最好的结果是由Scheide和由陈冠涛,郁星星.臧文安分别独立地得到的χ’&gt;△+(?)的图Goldberg猜想的一个等价猜想是下面的Jakobesen猜想：对任意正整数m(m≥3).每个λ’&gt;m/m-1△+m-3/m-1的图G满足χ’=[χ’].在过去的四十年中Jakobsen猜想被证得对至多为15的r77是成立的.我们证明它在m≤23时成立.此外.我们证明Goldberg猜想对△≤23或|V|≤23的图G成立.重数μ≤ 1的图G称为是简单的.简单图G的k-点染色φ是从V到集合{1.2,…,k}(其中的元素称为颜色)的一个映射,使得相邻点的颜色不同.使得G存在k-点染色的最小正整数k叫做G的点色数.由于确定G的点色数是NP-难的.可将点染色的条件放松,定义树染色如下.简单图G的k树染色φ是颜色1.2.…,k对G的顶点的一个分配,使得G的染每种颜色的顶点导出的子图是森林.G的点荫度va是使得G存在k-树染色的最小正整数k.吴建良,张欣和李海伦考虑树染色在均匀时的情形.即任意两个色类所含的顶点数至多差1.他们猜想任意简单图G的顶点集可均匀地被划分为m个子集,使得每个子集导出的子图是森林,其中m≥[△+1/2]是整数.本文第三章我们证明该猜想对5-退化图是成立的.若去掉k-边染色的定义中相邻边的颜色不同这一条件,则得到k-边赋权的定义.2004年Karonski.Luczak和Thomason猜想每个简单图G存在使用颜色为1,2,3的3-边赋权.使得任意两个相邻顶点关联边的赋权的和不同.这一猜想被称为1-2-3猜想.本文的第四章我们证明1-2-3猜想在把边赋权导出的点染色放松到树染色时是成立的.进一步地,我们给出一些具有树可染的2-边赋权的图类.简单图G的邻和可区别的k-边染色是G的一个k-边染色,使得对任意边uv∈E,与u关联的边的颜色之和异于与v 关联的边的颜色之和.用ndi∑表示G存在邻和可区别的k-边染色的最小的正整数k.Flandrin等人猜想对任意至少G个顶点的简单图G,有ndi∑≤△+2这一猜想被称为是邻和可区别的边染色猜想.G的最大平均度mad(G)=max{2|E(H)|/|,(H)|:H是G的非空子图}.在本文的第五章,我们得到对不含孤立边且mad(G)&lt;8/3的简单图G,有ndi∑≤K,其中k=max{△+1,6}它为邻和可区别的边染色猜想的一个特例.在本文的第六章,我们将对全文进行总结,并提出在图的染色问题中一些今后可继续研究的课题.。

图形的染色原理教案教案标题：图形的染色原理教案教案建议和指导：引言：在初等数学学科中，图形的染色是一个重要的概念，它帮助学生理解和应用图形的组成和性质。

本教案将引导学生通过实际操作和讨论，探索图形的染色原理。

教学内容：1. 目标：- 了解图形染色的概念和原理。

- 掌握染色原理在具体实例中的应用。

- 培养学生的逻辑思维和批判性思维能力。

2. 具体内容：- 学生回顾和讨论他们对图形的染色概念的理解。

- 教师提供具体的图形染色实例，例如一个三角形和一个矩形。

- 学生通过讨论和观察，尝试找到染色图形中的模式和规律。

- 教师引导学生思考染色的原理是什么，并激发学生提出自己的理解和解释。

3. 活动设计：- 活动1：图形染色实验-教师准备一些有不同形状和大小的图形模板（如圆形、正方形、长方形等）。

- 学生使用不同颜色的彩笔或蜡笔给每个图形进行染色。

- 学生交流和讨论他们选择染色的方式和原因，并尝试总结染色的规律和惯例。

- 活动2：染色图形拼贴- 教师提供一些已染色的图形模板，并剪成碎片。

- 学生利用这些碎片，按照一定规则和模式，将它们拼贴成新的图形。

- 学生在拼贴过程中思考图形的染色规律，并向同学展示他们的作品。

- 活动3：染色原理探究-学生根据教师提供的具体图形实例，进行讨论或小组合作探究。

- 学生观察、分析和总结在染色过程中出现的规律和模式。

- 学生运用逻辑和数学思维，提出关于染色原理的猜想，并用图形实例进行验证。

4. 总结和评估：- 学生通过小组讨论或班级展示的形式，总结和归纳染色原理的关键点和规律。

- 学生撰写简短的反思笔记，回顾他们在整个教学过程中的收获和思考。

- 教师可以通过观察学生的参与度和表现，以及他们的反思笔记，对学生的理解和应用能力进行评估。

教案扩展：- 可以将染色原理与其他数学概念（例如对称性、平移、旋转等）进行整合，探索更多图形的性质和规律。

- 可以引导学生将染色原理应用于解决实际问题，如地图染色问题、染色游戏等。

中国地图四色染色问题LtD中国地图四色染色问题一、问题描述将中国地图用四种不同的颜色红、蓝、绿、黄来染色，要求相邻的省份染色不同，有多少种不同的方案？二、问题分析本文将中国地图的34个省、直辖市、自治区、以及特别行政区转化为图论中的图模型。

其中每个省、市、自治区、特别行政区用图中的一个结点表示，两个结点间联通仅当两个板块接壤。

那么问题转化为图论中的染色问题。

由于海南、台湾省不与其它任何省份相邻，所以如果除海南、台湾外如果有n种染色方法，那么加上海南和台湾省后，有4*4*n种染色方法。

下面考虑除海南和台湾后的32个结点的染色方法。

三、中国地图染色方法采用分开海南和台湾省的分析方法，一方面的原因是除海南和台湾后的32个结点，可以组成一个联通图，因为海南省和台湾省不和任何其它省份邻接。

另一方面，我们建立一个联通图模型后，染色问题可以用深度优先遍历算法DFS，或者广度优先遍历算法BFS来解决，由于该方法的时间复杂度较高，属于暴力法，少考虑两个省份可以减少计算机处理此问题的时间。

本文采用DFS算法来解决这个染色问题。

3.1 DFS算法简介DFS算法是图的一种图的深度遍历算法，即按照往深的地方遍历一个图，假设到一个分支的尽头，那么原路返回到最近一个未被遍历的结点，继续深度遍历。

DFS遍历的具体步骤可为下：1）标记图中所有结点为“未访问〞标记。

2）输出起始结点，并标记为“访问〞标记3）起始结点入栈4）假设栈为空，程序结束；假设栈不为空，取栈顶元素，假设该元素存在未被访问的邻接顶点，那么输出一个邻接顶点，并置为“访问〞状态，入栈；否那么，该元素退出栈顶。

3.2 染色问题中的DFS算法设计我们先对任一结点染色，然后用DFS从该结点出发，遍历该图，遍历的下一结点颜色染为与之相邻的结点不同的颜色即可。

如果该结点无法染色那么回到上一个结点重新染色，直到所有的结点都被染色即可。

最后统计染色种数。

染色问题的算法伪代码可以描述如下：color_DFS(当前染色结点):for i in 所有颜色{ while j的已染色邻接点if 结点j相邻接点被染成i颜色标记并breakif 未被标记{当前结点染为i色if 当前结点为最后一个结点endelsecolor_DFS(next)｝}3.3 数据结构设计为了实现DFS染色算法，我们需要设计相应的数据结构。

图的染色问题应锡娜06990213@（浙江师范大学初阳学院，浙江金华321004）摘要：本文介绍了图染色问题的提出、应用及意义，主要对已取得的研究成果及当今的研究状况进行了阐述。

关键词：图；染色；色数一、引言图染色问题起源于著名的“四色猜想”[1]问题。

早在一百多年前的1852年，英国Guthrie提出了用四种颜色就可对任意一张地图进行染色的猜想。

即对世界地图或任何一个国家的行政区域地图，最多用四种颜色就可以对其染色，使得凡是相邻的国家或相邻的区域都着以不同的颜色。

二、研究与发展“四色猜想”提出后，一些数学家着手研究这个猜想，力图给出证明。

时隔二十七年后，1879年Kempe给出了“四色猜想”的第一个证明，又过了十一年，1980年Hewood发现Kempe的证明是错误的。

但他指出，Kempe的证明方法虽然不能证明“四色猜想”，却可以证明用五种颜色就够了。

此后，“四色猜想”一直成为数学家们感兴趣而未能解决的世界数学难题。

直到1976年6月美国数学家伊利诺斯大学教授Appel与Haken宣布：他们用计算机证明了“四色猜想”是正确的。

因此，从1976年以后，就把“四色猜想”改称为“四色定理”了。

[2] 值得指出的是，Appel与Haken的证明，计算机运行了1200个小时。

诚然用计算机证明数学难题实在是一个伟大的尝试或创举，但是，世界数学家们仍期待着用常规的数学方法证明“四色定理”。

目前仍有许多数学家在潜心研究，寻求常规的证明方法。

地图的特点在于，多个区域位于同一平面上，每个区域可以是毫无规则的各种形状，任意两个区域可以有公共边界，但不能有公共区域。

于是人们开始研究所谓“平面图”。

人们把地图中的每一个区域称为一个“面”，地图染色就是对“面”染色。

进一步研究之后人们把地图中的每个区域的“面”视为一个点，若两个“面”相邻接，即地图中的两个区域有一段或几段公共边界，则在表示这两个区域的点之间连线，该连线可以是直线也可以是任意形状的曲线，并称之为边。

图论中的图的着色与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图的应用。

在图论中，图的着色与染色问题是一个经典且重要的研究课题。

图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。

本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念和应用。

一、图的基本概念1. 无向图和有向图无向图由一些顶点和连接这些顶点的边组成，边没有方向性。

而有向图中，边是有方向性的，连接两个顶点的边有始点和终点之分。

2. 邻接矩阵和邻接表邻接矩阵是一种表示图的方法，用一个矩阵表示图中各个顶点之间的连接关系。

邻接表是另一种表示图的方法，用链表的形式表示图中各个顶点之间的连接关系。

二、图的着色问题图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。

图的着色问题有以下两种情况：1. 顶点着色对于无向图或有向图的顶点，通过对每个顶点进行染色，使得图中任何相邻的顶点具有不同的颜色。

这里的相邻顶点指的是通过一条边相连的顶点。

2. 边着色对于无向图或有向图的边，通过对每条边进行染色，使得图中任何相邻的边具有不同的颜色。

这里的相邻边指的是有共同始点或终点的边。

三、图的染色算法对于图的着色问题，有不同的染色算法可以解决。

在这里我们介绍两种常用的染色算法：贪心算法和回溯算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种基于局部最优策略的算法。

对于图的顶点着色问题，贪心算法的策略是从一个未染色的顶点开始，将其染上一个可用的颜色，并将该颜色标记为已占用，然后继续处理下一个未染色的顶点。

如果当前顶点没有可用的颜色可染，则需要增加一个新的颜色。

2. 回溯算法回溯算法是一种穷举所有可能性的算法。

对于图的着色问题，回溯算法的策略是从一个未染色的顶点开始，尝试不同的颜色进行染色，如果发现染色后与相邻顶点冲突，就回溯到上一个顶点重新尝试其他颜色，直到所有顶点都被染色。

四、图的着色问题的应用图的着色问题在实际中有广泛的应用。

图的着色与染色问题图的着色与染色问题是离散数学中的一个经典问题，涉及到对图的顶点进行染色使相邻顶点具有不同颜色的约束条件。

本文将介绍图的着色与染色问题的定义、应用以及解决方法。

一、图的着色与染色问题的定义图的着色与染色问题是指给定一个无向图，用有限种颜色对图的顶点进行染色，使得相邻顶点之间不具有相同的颜色。

其中，相邻顶点是指通过边相连的顶点。

二、图的着色与染色问题的应用图的着色与染色问题在现实生活中有着广泛的应用，例如地图着色、时间表的调度、寻找相互独立的任务等。

这些问题都可以转化为图的着色与染色问题进行求解。

三、图的着色与染色问题的解决方法1. 贪心算法贪心算法是解决图的着色与染色问题的常用方法。

该算法按照某种规则依次给顶点进行染色，直到所有顶点都被染色为止。

常用的贪心策略有最小度优先、最大度优先以及最小饱和度优先等。

2. 回溯算法回溯算法是一种递归的搜索算法，它通过不断地尝试不同的颜色对顶点进行染色，并检查染色结果是否满足约束条件。

如果染色结果不满足约束条件，则回溯到上一次的选择，继续尝试其他颜色。

直到找到满足约束条件的染色方案或者遍历完所有可能性为止。

3. 基于图的染色算法基于图的染色算法是一种使用图的结构特性进行求解的方法。

这类算法通过分析图的特征，如度数、连通性等，来设计有效的染色策略。

四、图的着色与染色问题的扩展除了对顶点进行染色外，图的着色与染色问题还可以扩展到对边进行染色。

对边进行染色的约束条件是相邻边不得具有相同的颜色。

这种问题可以转化为顶点染色问题进行求解。

五、结论图的着色与染色问题作为离散数学中的一个经典问题，具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文介绍了该问题的定义、应用、解决方法以及扩展内容，希望读者能够对图的着色与染色问题有更深入的了解。

以上就是图的着色与染色问题的相关介绍，希望对您有所帮助。

如有任何问题，请随时与我联系。

谢谢！。

图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。

在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。

本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。

一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。

着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。

定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。

根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。

定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。

根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。

二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。

其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。

而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。

三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。

同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。

总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。

通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。

愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。