相似三角形与圆
1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC，AC，过点C 作直线CD⊥AB 于点D，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F，连结BF，与直线CD 交于点G．求证：BC2 =BG BF
2、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B，点D 是⊙O 上的一点，且AD∥OC.
求证：AD·BC=OB·BD
3．如图，A C 是圆O的直径，AC =10 厘米，PA，PB 是圆O的切线，A，B 为切点．过A作A D ⊥BP ，交B P 于D点，连结A B，BC ．
（1）求证△ABC ∽△ADB ；
（2）若切线AP 的长为12 厘米，求弦AB 的长．
4、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝6，延长AB 到点C，使BC＝AB，D 是⊙O 上一点，DC＝6 2 ．
求证：(1)△CDB∽△CAD；
(2)CD 是⊙O 的切线．
5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是劣弧AC 的中点，BD 交AC 于点E.
⑴求证：A D2 = DE ⋅D B
5A
⑵若B C =，CD DE 的长
2
C
6．如图10，直线D E 经过⊙O上的点C，并且O E =O D，EC =D C，⊙O交直线O D 于A、B两点，连接BC ，AC ，O C ．求证：
（1）O C ⊥ DE ；
（2）△ACD ∽△CBD ．
7、如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.
（1）求证:∆ABE ～
∆ABD ；
（2）延长B C 至F，连接F D使∆BDF 的，求∠EDF 的
8．如图，在R t△ABC 中，斜边B C =12，∠C =30°，D 为B C 的中点，△ABD 的外接圆⊙O 与AC 交于F 点，过A 作⊙O 的切线AE 交DF 的延长线于
（1）求证：AE ⊥DE ；
（2）计算：AC·AF 的值．
C E
H
9．如图， A B 为⊙O 的直径， C D ⊥ A B 于点 E ，交⊙O 于点 D ， O F ⊥ A C 于点 F ．
（1）试说明△ ABC ∽△DBE ；
（2）当∠A=30°，AF= 3 时，求⊙O 中劣弧
的长．
A
B
10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直 AD 于 F 交⊙O 于 E ，连结 DE 、BE ，且∠C =∠BED ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 OA =10，AD =16，求 AC 的长．
C D
E F
B
O
A
11、AB 是⊙O 的直径，点 E 是半圆上一动点（点 E 与点 A 、B 都不重合），点 C 是 BE 延长线上的一点，
且 CD ⊥AB ，垂足为 D ，CD 与 AE 交于点 H ，点 H 与点 A 不重合。（1）求证：△AHD ∽△CBD
（2）连 HB ，若 CD=AB=2，求 HD+HO 的值。
A
O D B
12.如图，Rt △BDE 中，∠BDE =90°，BC 平分∠DBE 交 DE 于点 C ，AC ⊥CB 交 BE 于点 A ，△ABC 的外接 圆的半径为 r .
(1)求证： BC ⋅ BD = r ⋅ ED ；(2)若 BD =3，DE =4，求 AE 的长.
B
F
E
·
O
C
A
13．如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 G ，
DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E ．(1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；(2)求 sin ∠E 的值．
14.如图，AB 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点 A ，过 B 点作 BC ∥OD 交⊙O 于点 C ，连接 OC 、AC ，AC 交 OD 于点 E .（1）求证：△COE ∽△ABC ；
B
（2）若 AB =2，AD = 3 ，求图中阴影部分的面积.
D
15、如图，已知⊙O 的弦 AB 垂直于直径 CD ，垂足为 F ，点 E 在 AB 上，且 EA = EC 。
⑴ 求证：AC 2 = AE ·AB ；⑵ 延长 EC 到点 P ，连结 PB ，若 PB = PE ，试判断 PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由。
P
D
16．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点 C ，BD ⊥PD ，垂足为 D ，连 接 BC 。
求证：（1）BC 平分∠PBD ；
D
（2） BC 2＝AB BD 。
C
P A O
B
O 17.将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上，AB 切半圆 O 于点 F ，且 BC=OD 。
（1） 求证：DB ∥CF 。（2） 当 OD=2 时，若以 O 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 OB
。
18． 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 M ，AE 切⊙O 于点 A ，交 BC 的延长线于点 E ，连
接 AC ．
（1）若∠B ＝30°，AB ＝2，求 CD 的长；（2）求证：AE 2＝EB ·EC ．
E
C
A
M ∙
B
D
19．如图， PAB ，PCD 是O 的两条割线， AB 是O 的直径， AC ∥OD ．
（1）求证： C D =（先填后证）．
PA
（2）若
PC = 5 ，试求
6
AB
的值．
AD P
B
20. 如图， AB 为⊙ O 的直径， AD 平分 ∠BAC 交⊙ O 于点 D ， DE ⊥ AC 交AC 的延长线于
点 E ，
BF ⊥ A B 交 A D 的延长线于点 F ，
（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；
（2）若 D E = 3, ⊙ O 的半径为 5，求 B F 的长．
F A
B
