应用泛函分析(胡适耕编著)思维导图

点集拓扑学拓扑是英文Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 第一个使用此名称的是姜立夫（1890—1978. 1911年赴美，1918年获哈佛大学博士学位，留校任教，后回国，1920年南开大学教授，1934—1936在德国访问，后一直在中山大学任教. 他培养了陈省身等世界著名数学家.）. 而topology是由希腊语topos（位置）和logos（学问）合成. 发明此词的是德国人Listing（1828—1882，Gauss的学生和助手），即表示形状和位置关系的数学（位置分析）.拓扑学是新三基之一（泛函分析、近世代数、拓扑学）. （旧三基：数学分析、高等代数、解析几何）.拓扑学是一门综合学科（即包含有分析、代数和几何的内容）.分析：分析中有三大问题：1）连续性；2）介值定理；3）有限覆盖定理. 在拓扑学中将1）连续性推广到一般集合；2）是连通集的特性；3) 推广为紧致性.代数：在拓扑学有很多代数概念，如群、同态、同构等.几何：以前称拓扑学为橡皮（弹性）几何学.按德国数学家Klein（1849—1925）关于几何分类的变换群观点知：欧氏几何是研究图形在刚体运动下不变的性质（或量）的数学（图形大小和形状不变）.解析几何是研究图形在坐标变换下不变的性质（或量）的数学.仿射几何是研究图形在仿射变换下不变的性质（或量）的数学.射影几何是研究图形在射影变换下不变的性质（或量）的数学.而拓扑学是研究拓扑空间及其子集在拓扑变换（同胚变换）下不变的性质（或量）的数学.故拓扑学属几何范畴（橡皮膜上的几何）.拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学、直观拓扑学和模糊拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.拓扑学对近代数学的学习起着很大的作用，有人甚至说：“不懂得拓扑，就不懂得现代数学”.研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，或基础拓扑学. 它是拓扑学的基础. 本课程介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.第 0章拓扑学的直观例子§0.1 七座问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥.如图1所示：河中的小岛A与河的对岸B、C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结.当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题（有7！=5040种走法）. 此七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注. 1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告. 在报告中，他把具体七桥布局化归为图1所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图1是不能一笔画出的图形.这就是说，七桥问题是无解的. 虽然使人们感到失望，但由此创立了一门新的数学分支—拓扑学.著名数学家欧拉图1§0.2 网络的一笔画问题定义由有限个点和有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点.这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点.由顶点出发的弧的条数叫做此顶点的次数，若一顶点次数为偶数或奇数，则称此顶点为偶顶点或奇顶点. 网络中互相衔结的一串弧叫做一条路.如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的.可以证明定理1在任一网络中奇顶点个数之和必为偶数.定理2 任一网络若有两个以上的奇顶点，则不能一笔画成.定理3 若一连通网络没有奇顶点，则可由任一点任一弧开始一笔画成.定理4若一连通网络有两个奇顶点，则它可被从某一奇顶点出发到另一奇顶点终止一笔画成.注1）定理2否定了七桥问题可一次走完.2）现在在B,D之间加了一座桥，那么八桥一次走完就可能了. 又在B,C之间加了一座铁路桥，九桥问题又如何？3）如图：§0.3 平面网络的Euler公式Euler定理在连通平面网络中，若顶点数，边数和网络分平面所得的区域数（即面数）分别为,,V E F. 则有Euler公式-+=.V E F2§0.4 凸多面体的Euler公式这是Euler在1750年写信给好友Goldbach(德1690-1764)时提出来的，并于1752年发表了一个证明.即Euler定理若一凸多面体的顶点数，棱数和面数分别为V E F，则有Euler公式2,,V E F-+称为多面体的-+=.其中V E FEuler示性数（或Euler特征数）.§0.5 正多面体定义 若一凸多面体的各面都是全等的正多边形，且所有多面角都相等，则这样的凸多面体称为正多面体（或正多面形、或柏拉图（Platonic) 多面体）.有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体.定理 有且只有五种正多面体.即只有正4，6，8，12，20多面体，证明 设正多面体顶点数，棱数和面数分别为,,V E F ，且正多面体的每个面是正n 边形，每个顶点有m 条棱. 棱数E 应是面数F 与n 的积的一半（每两面共用一条棱），即2nF E =（1）同时，E 应是顶点数V 与m 的积的一半，即2m V E =（2）由（1）、（2）得2E F n =，2E V m =代入欧拉公式2V E F -+=，得222E E E m n+-=，即11112m n E +=+，由于E 是正整数，所以10E >. 故1112m n +> （3）说明,m n 不能同时大于3，否则（3）不成立。

什么是泛函分析在几何中的应用在数学的广袤领域中，泛函分析与几何的结合为我们打开了一扇洞察世界的新窗口。

泛函分析作为现代数学的一个重要分支，它在几何中的应用不仅丰富了我们对几何现象的理解，还为解决几何问题提供了强大的工具和方法。

让我们先来简单了解一下什么是泛函分析。

泛函分析主要研究的是无穷维空间上的函数、算子和泛函。

它将函数视为空间中的元素，关注这些函数的性质、运算以及它们之间的关系。

而几何，是研究空间和形状的学科，包括点、线、面、体等基本元素及其性质和相互关系。

那么，泛函分析是如何在几何中发挥作用的呢？一个重要的应用领域是微分几何。

在微分几何中，我们常常需要研究曲面和流形的性质。

例如，通过泛函分析中的变分法，我们可以找到具有特定性质的曲面或曲线。

比如，在给定边界条件下，找到面积最小的曲面，这就是所谓的极小曲面问题。

泛函分析在几何度量理论中也有着关键的应用。

几何度量理论关注的是空间的度量结构和几何性质之间的关系。

通过运用泛函分析中的算子理论和函数空间的性质，我们能够更深入地理解和刻画空间的度量特征。

比如，对于一些复杂的几何对象，我们可以定义合适的距离函数，并利用泛函分析的方法来研究这些距离函数的性质，从而揭示几何对象的内在结构。

在黎曼几何中，泛函分析同样扮演着重要的角色。

黎曼几何研究的是具有黎曼度量的流形。

利用泛函分析中的 Sobolev 空间理论，我们可以研究流形上的函数的正则性和可微性。

这对于理解流形的拓扑结构和几何性质非常有帮助。

此外，泛函分析在几何不等式的证明中也大有用处。

几何不等式是描述几何对象之间大小关系的数学表达式。

通过巧妙地运用泛函分析中的工具，如算子的谱理论和泛函的极值原理，我们能够给出简洁而有力的证明。

再来看一个具体的例子，在研究曲线和曲面的弯曲程度时，我们会用到曲率的概念。

而利用泛函分析中的方法，可以对曲率进行更精细的分析和计算，从而帮助我们更好地理解几何形状的变化。

另一个应用是在几何分析中的 PDE（偏微分方程）方法。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

思维导图支持的《泛函分析》教学方法创新摘要：《泛函分析》是数学专业中一门很抽象很难学的课程，本文通过分析传统的《泛函分析》教学模式的不足，利用思维导图创新《泛函分析》的教学方法，建立《泛函分析》课程思政型学与教的环境。

《泛函分析》是现代纯粹数学和应用数学研究的基础，是数学与应用数学专业的必修课程[1]。

泛函分析在数学专业本科的教学计划中承担着联系经典数学，展望现代数学，承前启后的重要作用。

一、传统的《泛函分析》教学模式分析：（1）教学方法单调传统的《泛函分析》教学模式过多强调了教师的主导作用，教师着重讲度量空间定义、推导压缩映射定理，学生只能被动地接受抽象的稠密集和疏朗集，难以参与讨论和探索度量空间与赋范线性空间的区别与联系。

（2）知识本源缺失学生学完以后，有时只能欣赏内积空间之抽象、极小化向量定理论证之精巧，却难以体会到《泛函分析》在方程求解中的应用及泛函延拓定理在机器学习分类问题中的威力。

学生只见泛函树叶，未见树根。

（3）课程思政空泛传统的《泛函分析》课程教学中将实现知识传授、价值塑造和能力培养三者进行了割裂，没扣住中原工学院学生特点和《泛函分析》课程的特色，很少将与中原工学院专业应用密切相关的纺织、电子信息、节能、环保、安全、经济等内容融进课堂。

（4）创新能力不够传统的《泛函分析》教学中缺乏另辟蹊径的课堂预习和总结，学生觉得有界线性泛函抽象，对巴拿赫空间中的基础定理在创新思考的速度和广度、思考的整体性和概括性等方面不足[2]。

二、思维导图支持的《泛函分析》教学目标：能力目标：（1）培养学生采用思维导图方法分析泛函分析理论知识点，以点带面，并能自觉运用思维导图构建逻辑分析、结构层次分析和同构类比等思想方法去解决学生思想深处的泛函问题。

（2）逐步形成以思维导图为工具激发学生灵感和创意的《泛函分析》课程教学方法，磨砺学生交际、思辨、自主学习、合作学习四大时代核心能力，为未来工作或科研助力。

情感目标：（1）《泛函分析》教学中思想政治教育内化为课程内容，以慎思审问筑本，以仁厚博爱铸魂，既有家国情怀又有精益求精的大国工匠精神。

泛函分析11191079 傅子鉴1泛函分析简介泛函分析（Functional Analysis）是20世纪30年代形成的数学分科，是现代数学的一个分支，它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一。

2扑线性空间由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函数空间里有不同的拓扑。

而函数空间一般是无穷维线性空间。

所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

(1)巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。

比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。

或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。

对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

(2)希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。

对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。

对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。

泛函分析讲义第五章Banach代数1代数准备知识2 Banach代数2．1 Banach代数的定义2．2 Banach代数的极大理想与Gelfand表示3例与应用4 c’代数5 Hilbert空间上的正常算子5．1 Hilbert空间上正常算子的连续算符演算5．2正常算子的谱族与谱分解定理5．3正常算子的谱集6在奇异积分算子中的应用第六章无界算子1 闭算子2 cayley变换与自伴算子的谱分解2．1 cayley变换2．2自伴算子的谱分解3无界正常算子的谱分解3．1 B0rel可测函数的算子表示3．2无界正常算子的谱分解?4 自伴扩张4．1 闭对称算子的亏指数与自伴扩张4．2 自伴扩张的判定准则5自伴算子的扰动5．1稠定算子的扰动5．2自伴算子的扰动5．3 自伴算子的谱集在扰动下的变化?6无界算子序列的收敛性6．1预解算子意义下的收敛性6．2图意义下的收敛性第七章算子半群1无穷小生成元1．1无穷小生成元的定义和性质1．2 Hme—Yosida定理2无穷小生成元的例子3单参数酉群和Stone定理3．1单参数酉群的表示——stone定理3．2 stone定理的应用1．B0chner定理2．Schr6dinger方程的解3．遍历(ergodic)定理3．3 Trotter乘积公式4 Markov过程4．1 Markov转移函数4．2扩散过程转移函数5散射理论5．1波算子5．2广义波算子6发展方程第八章无穷维空间上的测度论1 C[O，T]空间上的wiener测度1．1 C[O，T]空间上wiener 测度和wiener积分1．2 Donsker泛函和Donske卜Lions定理1．3 Feynman—Kac公式2 Hilbert空间上的测度2．1 Hilbert—Schmidt算子和迹算子2．2 Hilbert空间上的测度2．3 Hilbert空间的特征泛函3 Hilbert空间上的Gauss测度3．1 Gauss测度的特征泛函3．2 Hilbert空间上非退化Gauss测度的等价性清词丽句必为邻2015-09-21 04:05 | 豆瓣：烟波浩渺1980杜甫的《戏为六绝句》（其五）不薄今人爱古人，清词丽句必为邻。

泛函分析知识总结讲解泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间中的函数与函数序列的性质以及它们之间的关系。

它是实数分析和复数分析的推广与深化，是现代数学的基石之一，对于几乎所有分支的数学都具有极高的重要性。

以下是对泛函分析的知识总结和讲解。

1.范数空间与内积空间：泛函分析的基础概念是线性空间，进一步的，我们将线性空间中的向量赋予一定的范数或内积，得到范数空间和内积空间。

范数空间是指一个线性空间中存在一个范数，满足向量加法、标量乘法和范数运算的线性性质。

常见的范数空间有欧几里得空间、无穷范数空间和Lp空间等。

内积空间是指一个线性空间中存在一个内积，满足线性性质、对称性和正定性。

内积定义了向量之间的夹角和长度，并且可以衡量向量的相似度和正交性。

常见的内积空间有欧几里得空间和希尔伯特空间等。

2.完备性与紧性：完备性是指一个度量空间中的柯西序列在该空间中有一个极限点。

具有完备性的空间被称为“完备度量空间”或“巴拿赫空间”。

典型的完备度量空间包括实数集和复数集。

紧性是指一个度量空间中存在一个有限的覆盖，可以从中选取有限个开球覆盖整个空间。

紧性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素具有收敛性质。

3.可分性与连续性：可分性是指一个度量空间中存在一个可数的稠密子集。

可分性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素可以用可数个元素逼近。

连续性是指线性空间和范数空间中的映射保持了基本的运算和距离的一致性。

连续性是一个重要的概念，它描述了元素的连续变化和收敛性质。

4.泛函与算子：泛函是指一个线性空间到实数或复数的映射。

泛函可以是线性的，也可以是非线性的，常见的泛函有线性泛函和连续泛函等。

算子是指一个线性空间到另一个线性空间的映射。

算子可以是线性的，也可以是非线性的。

常见的算子有线性算子和连续算子等。

5.特征空间与对偶空间：特征空间是指一个线性算子的定义域，它是算子的作用空间的一种表达形式。

特征空间可以是有限维空间，也可以是无限维空间。