26．（本题满分10分）
已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在
矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）
（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表
示）；
（5
分）
26．解：（1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M .
1分） 在正方形EFGH 中， 90,HEF EH EF ∠==. （1分） 又∵90A B ∠=∠=， ∴⊿AHE ≌⊿BEF …………………………………………………………（1
分）同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分）
∴GM=BF=AE =2.
∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点G 作GM BC ⊥于M .连接HF . …………………………………………（1分）
.AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………（1分）
又90,,A GMF EH GF ∠=∠==
∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1分）
∴GM=AE =2. ……………………………………………………………（1分）
C B (第26题图2) F G
11(12)12.22
GFC S FC GM a a ∴=⋅=-=- …………………………………………（1分）
如图，直线y =+与x 轴相交于点A
，与直线y =相交于点P .
(1) 求点P 的坐标.
(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由.
(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E
不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.
解：（1
）y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………………1′ ∴ 点P 的坐标为（2
， ………………………1′
（2）当0y =时，4x = ∴点A 的坐标为（4，0） ………………………1′
∵
4OP ==
4PA == ……………1′
∴ OA OP PA ==
∴POA 是等边三角形 ………………………1′
（3）当0＜t ≤4时， ………………………1′
21328
S OF EF == ………………………1′ 当4＜t ＜
8时， ………………………1′
28
S =-+-………………………1′ 25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q （如图）.
（1）试证明：AP =PQ ；
（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；
（3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.
证：（作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ， ∵点P 在函数x y =()0>x 的图像上， ∴PH =PT ，PH ⊥PT ，
（1分） 又∵AP ⊥PQ ， ∴∠APH =∠QPT ，又∠PHA =∠PTQ ，
∴⊿PHA ≌⊿PTQ ,
------------------------------------------------------（1分）
∴
AP =PQ . ---------------------------------------------------------------（1分）
(2)22-=a b . -------------------------------------------------------------（2分）
（3）由（1）、（2）知，2221-=⨯=∆a OQ OA S AOQ ，
222
122+-==∆a a AP S APQ ，------------（1分） ∴()2232222+-=
-a a a ， 解得25
5±=a ，
--------------------------------------------------------（1分）
所以点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255,255与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++255,255.---（1分）
]
26．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ，
（1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；
（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．
26．（1）解：AF =DE 2
1
1 分） 证明如下：联结BD 交AC 于点O ，…………………………………………………（1 分）
∵四边形ABCD 是正方形，∴BO =DO ，
∵BF =EF ，∴OF =2
1DE ，OF //DE ．………………………………………（1 分）
∵BD ⊥AC ，∴∠DEO =∠AOB =90º，…………………………………（1 分）
∵∠ODA =∠OAD =︒=︒⨯459021，EA =ED ，
∴∠EAD =∠EDA =45º，∴∠OAD =∠OED =∠AOD =90º，
∴四边形AODE 是正方形．………………………………………………（1 分）
∴OA =DE ，∴OF=21
AO ，∴AF ==AO 21DE 21．………………………（1 分） （2）解：AF+BF=EF 、AF 2+EF 2=2BF 2等（只要其中一个，BF =)31(+AF 、EF =)32(+AF 、
BF =（)13-EF 也认为正确）．…………………………（1 分）
AF+BF=EF 的证明方法一：
联结BD 交AC 于O ，在FE 上截取FG =BF ，联结DG ．
与第（1）同理可证∠GDA =45º，……………………………………………（1 分） ∵四边形ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形，∴∠GDE =60º–45º=15º．
∵AB=AD=AE ，∠BAE =∠BAC +∠DAE =90º+60º=150º，
∴∠ABE =∠AEB =︒=︒-︒152
150180，∴∠ABF =∠GDE ． 又∵∠DEG =∠DEA –∠AEB =60º–15º=45º=∠BAC ，DE=AD=AB ，
（第26题） C B C
