高中数学《空间中的垂直关系》学案1新人教B版必修2

思维点拨： 解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。
例 2、如图， ABCD为直角梯形，∠ DAB=∠ABC=90°， AB=BC=a， AD=2a，PA⊥平面 ABCD。 PA=a。
（ 1）求证： PC⊥ CD。 （ 2）求点 B 到直线 PC的距离。
（ 1）证明： 取 AD的中点 E，连 AC、 CE， 则 ABCE为正方形， Δ CED为等腰直角三角形，
而 A1B1⊥平面 BB1C1C，
∴ A 1C在平面 BB1C1C上的射影是 B1C，
由三垂线定理得 A1C⊥ BC1
（ 3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，
而 D、E 分别为所在侧面对角线的交点，
∴ D 为 A1C 的中点， E 为 B1C的中点，
∴ DE∥A1B1，
而由（ 1）知 A1B1⊥平面 BB1C1C，
∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C
∴ ME⊥侧面 BB1C1C，
又∵ AD⊥侧面 BB1C1C
∴ ME∥AD，
∴ M、E、 D、 A共面
∵ AM∥侧面 BB1C1C，
∴ AM∥DE
∵ CC1⊥ AD，
∴ DE∥CC1
∵ D是 BC的中点，
∴ E 是 BC1 的中点
1
1
CC1
∴ AM=DE= 2
2 AA1，
1 a 2a ∴ OH= 2 3a
6 a
6，
2
∵ BO= 2 a，
BO 2 OH 2 ∴ BH=
6 a
3 即为所求。
例 3、在斜三棱柱 A1B1C1— ABC中，底面是等腰三角形， AB=AC，侧面 BB1C1C⊥底面 ABC
（ 1）若 D是 BC的中点，求证 AD⊥ CC1； （ 2）过侧面 BB1 C1C的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证 截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C； （ 3）AM=MA1 是截面 MBC1⊥平面 BB1C1C的充要条件吗？ 请你叙述判断理由。 命题意图： 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 知识依托： 线面垂直、面面垂直的判定与性质。 错解分析：（ 3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。 技巧与方法： 本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的 思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。 （ 1）证明：∵ AB=AC， D是 BC的中点， ∴ AD⊥BC ∵底面 ABC⊥侧面 BB1C1C， ∴ AD⊥侧面 BB1C1C ∴ AD⊥CC1 （ 2）证明：延长 B1A1 与 BM交于 N，连结 C1N ∵ AM=MA1， ∴ NA1=A1B1 ∵ A1B1=A1C1，
③正确，分别过 a、b 上的任一点作 b、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为
所求。
④正确， 换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，
综上所述： 仅
②错误
选D
（ 3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线 线的垂线 n（或 m）即可推翻甲、乙、丁三项。
m（或 n），在另一平面作交
（ 3）DE⊥平面 BB1C1C。
证明：（ 1）∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，
即平面 A1B1C1⊥平面 BB1C1C，
又∵ AB⊥ BC，
∴ A1B1⊥ B1 C1
从而 A1B1⊥平面 BB1C1C。
（ 2）由题设可知四边形 BB1C1C 为正方形，
∴ BC1⊥ B1C，
（ 1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面
相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。
记作：平面 α⊥平面 β
（ 2）判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直。 （简称：线面垂直，面面垂直） 6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面。 （简称：面面垂直，线面垂直。 ） 思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种 办法。
平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、知识要点
1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的
任何 一条直线都垂直，那么就
称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：
①判定定理 ： a , b ,a b P, l a, l b l
.
② b ⊥α , a ∥b a⊥ α ；（线面垂直性质定理）
∴ AM=MA1 即 AM MA 1 是截面 MBC 1 平面 BB 1C1C 的充要条件
例 4、如图，在正三棱锥 A— BCD中，∠ BAC=30°， AB=a, 平行于 AD、BC的截面 EFGH分别 交 AB、 BD、 DC、 CA于点 E、F、 G、 H
（ 1）判定四边形 EFGH的形状，并说明理由 （ 2）设 P 是棱 AD上的点，当 AP为何值时， 平面 PBC⊥平面 EFGH，请给出证明
①经过直线 a 有且仅有一个平面平行于直线 b；
②经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b；
③存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；
④存在分别经过直线 a 和 b 的两个平面互相垂直。
其中错误的命题为（ ）
A、①与② B 、②与③
C 、③与④
D
、仅②
（ 3）已知平面 α ⊥平面 β ，m是 α 内一条直线， n 是 β 内一条直线， 且 m⊥ n，那么，
3 ∴ AP= 2 a
例 5、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ΔABC 是直角三角形，∠ ABC=90°， 2AB=BC=B1B=a，且 A1C∩AC1=D， BC1∩Ｂ1C=E，截面 ABC1 与截面 A1B1C交于 DE。求证：
（ 1）A1B1⊥平面 BB1C1C；
（ 2）A1C⊥ BC1；
∴ AC⊥ CD， ∵ PA⊥平面 ABCD，
∴ AC为 PC在平面 ABCD上的射影，
∴ PC⊥ CD （ 2）解： 连 BE，交 AC于 O，则 BE⊥ AC，
又 BE⊥ PA，AC∩PA= A，
∴ BE⊥平面 PAC
过 O作 OH⊥ PC于 H，则 BH⊥ PC，
∵ PA=a， AC= 2 a,PC= 3 a，
（ a ,b
a b）
4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线， 这个点和垂足间的线段的
长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意： 点到面的距离可直接向面作垂线， 但要考虑垂足的位置， 如果垂足的位置不
能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
5、平面与平面垂直的定义及判定定理：
（ 1）证明： ∵ AD// 面 EFGH, 面 ACD∩面 EFGH＝ HG， AD 面 ACD ∴ AD//HG. 同理 EF∥ HG， ∴ EFGH是平行四边形 ∵ A—BCD是正三棱锥， ∴ A 在底面上的射影 O是△ BCD的中心， ∴ DO⊥BC， ∴ AD⊥BC， ∴ HG⊥EH，四边形 EFGH是矩形 （ 2）作 CP⊥ AD于 P 点，连结 BP， ∵ AD⊥BC， ∴ AD⊥面 BCP ∵ HG∥AD， ∴ HG⊥面 BCP，HG 面 EFGH 面 BCP⊥面 EFGH， 在 Rt△ APC中，∠ CAP=30°， AC=AB=,a
③ α ∥β ,a ⊥ β a⊥ α （面面平行性质定理）
④ α ⊥β ， α ∩β =l ， a⊥ l ， a β a⊥α （面面垂直性质定理）
3、直线与平面垂直的性质定理：
①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（ a ⊥ α ， b⊥ α ? a∥ b）
②直线和平面垂直时， 那么 该直 线就 垂直于这个平面 内的 任 何直 线
甲： m⊥ β ；乙： n⊥ α 丙： m⊥ β 或 n⊥ α ；丁： m⊥ β 且 n⊥α 。这四个结论中，不
正确的三个是（ ）
解：（ 1）对于 A，平面 α 与 β 可以平行，也可以相交，但不垂直。
对 B，平面 α 内直线 n 垂直于两个平面的交线 m，直线 n 与平面 β 不一定垂直，平面
α 、 β 也不一定垂直。
三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。
4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直
线，则可通过作辅助线来解决， 而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明， 不能随意添加。
在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。
对 D， m⊥ α ，m∥ n 则 n⊥ α ，又 n⊥ β ，所以 α ∥β 。
只有 C 正确，m∥ n，n⊥β 则 m⊥ β 又 m α，由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥ β 。
故选 C。
（ 2）①正确，过 a 上任一点作 b 的平行线 b′，则 ab′确定唯一平面。
②错误，假设成立则 b⊥该平面，而 a 该平面，∴ a⊥b，但 a、 b 异面却不一定垂直。
∴ A1C1=A1N=A1B1 ∴ C1N⊥ C1B1 ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C， ∴ C1N⊥侧面 BB1C1C ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C
（ 3）解： 结论是肯定的，充分性已由（ 2）证明，
下面证必要性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
过 M作 ME⊥ BC1 于 E，
∴ DE⊥平面 BB1C1C。
思维点拨： 选择恰当的方法证明线面垂直。
本讲涉及的主要数学思想方法
1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的
定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。
2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。
3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解
【典型例题】 例 1、（1）对于直线 m、 n 和平面 α、 β ， α⊥ β 的一个充分条件是（ ）
A、 m⊥ n， m∥α ， n∥ β
B
、m⊥ n， α∩ β =m，n α
C、 m∥ n， n⊥β ， m α
D
、 m∥n， n⊥ β， m⊥ α
（ 2）设 a、 b 是异面直线，给出下列命题：
解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，
“面面垂直”间的转化条件和
转
化
应
用
。
一 . 学习内容： 空间中的垂直关系
空间中的垂直关系
二、学习目标 1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有
关的问题； 2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解
决有关问题； 3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面