线性代数期末考试试卷

2．设 ，则 的秩 为.
3．设三阶矩阵 的特征值为 ，若 ，则 =.
4．设向量 ，若 构成的向量组的秩为2，
则 .
5．设 阶矩阵 ， ，且已知 ，则 =.
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6．已知 与 相似， ，则 为矩阵.
（填“正定”、“半正定”、“负定”、“不定”之一）
得分
三、计算题（本题共38分）
1．(9分)设 ， ，求 .
6．设 为 的不同特征值，对应特征向量为 ，则 线性无关的充要条件为( )
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
7．设 ，则( )
(A) 与 合同，但不相似；(B) 与 相似，但不合同；
(C) 与 既合同又相似；(D) 与 既不合同也不相似.
得分
二、填空题（本题共24分，每小题4分）
1．二次型 是正定的，则 的取值范围是.
2．设 维列向量组 线性无关，则 维列向量组 线性无关的充要条件是(D)
(A)向量组 可由向量组 线性表示；
(B)向量组 可由向量组 线性表示；
(C)矩阵 与矩阵 等价；
(D)向量组 与向量组 等Baidu Nhomakorabea。
3．设 阶方阵 的伴随矩阵为 ，则(C)
(A) 为可逆矩阵；(B)若 ，则 ；
(C)若 ，则 ；(D)若 ，则 。
4．设 为 阶非零方阵， 为 阶单位矩阵， 则( )
(A) 不可逆， 不可逆；(B) 不可逆， 可逆；
(C) 可逆， 可逆；(D) 可逆， 不可逆.
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5．实数二次型 为正定二次型的充分必要条件是( )
(A)负惯性指数全为零；(B) ；
(C)对于任意的 ，都有 ；(D)存在 阶矩阵 ，使得 .
得分
四、证明题（本题共10分）草稿区
1．(5分)证明：实数二次型 在 时的最大值为矩阵 的最大特征值。
.
2．(5分)设 是 阶实对称矩阵，证明： 的属于不同特征值的特征向量相互正交。
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2．(9分)计算对称矩阵 的行列式的值.草稿区
3．(10分)已知矩阵 ，且方程组 存在两个不同的解；
(i)求 的值；
(ii)求 之通解。
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草稿区
4．(10分)设 为三阶方阵， 为 的分别属于特征值 的特征向量，向量 满足
（I）证明： 线性无关；（II）令 ，求 .
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本科生2010——2011学年第一学期《线性代数》课程期末考试试卷（B卷）草稿区
专业：年级：学号：姓名：成绩：
得分
一、选择题（本题共28分，每小题4分）
1．设 阶方阵 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的(B)
(A) 的特征值为实数；
(B) 相似于一个对角阵；
(C) 合同于一个对角阵；
(D) 的所有特征向量两两正交。