思维导图教学案例数学科
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函数的极值与导数
教学设计：姜金族【版本信息】
人民教育出版社 A版选修2—2第一章导数及其应用之导数在研究函数中的应用。
【教材与学情分析】
学生在理解了函数变化率与导数的概念，导数的计算相关知识的基础上，进一步加强对知识的掌握与应用。结合实例，借助几何直观进行探索并了解函数的单调性与导数的关系，并做到会求函数的单调区间；结合图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，并会求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，通过对知识的掌握达到培养学生化归与转化、数形结合、分类讨论思想，提高运算求解能力以及解决与分析问题的能力。
根据新课程标准，结合学生实际与开展的小组合作学习，教者使用思维工具设计本节课的教学目标与教学程序，充分发挥课堂的效率最优化。
【本节知识结构】
图1 知识网
【教学设计导图】
图2 教学构思
课题：1.3.2函数的极值与导数
一、教学目标
教学目标确立思路（思维工具：目标分析法、可能性分析法、优先分析法）：
首先，确立整体目标。根据教材特点，教者计划把本节课设计成探究课，突出观察、分析、类比、归纳、综合等思维能力训练。
其次，围绕三维目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）要求，在充分考虑多种目标可能性的基础上，优先确立以下三个教学目标：
1、了解函数极值的概念，以及在闭区间上函数最值的概念。
2、结合图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件，会求函数的极大值与极小值，会求函数在闭区间上的最值（多项式函数不超过三次）
3、培养数形结合的思想方法,体会数学图形结构美，提高学习热情.
重点：利用导数求函数的极值
难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件.
教学步骤
二、课前预习,发现问题:（因素分析法）
阅读课本P26-29止,思考回答下列问题:（使用三维分析法）
1.观察课本
P27图1.3.8与图1.3.9当t=a时，函数h(t)的导数的值为多少？此点附近的图像有什么特点？导数的符号有什么变化规律?
2.观察27页中间两个图像，回答下列问题：
（1）在a,b,c,d,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
（2）函数在这些点的导数值为多少？这些点附近，导数的符号有什么规
律？3、你如何定义一个函数的极小值点，极小值？以及极大值点，极大值？
定义：_________________________________________________
三、预习自测：（其他人的观点换位分析法）
1.求函数的极值点和极值。
图3 导数作用
2.求下列函数的极值:
思维导图同上
四、探究应用,巩固提高
(一)求函数的极值;（优先考虑的因素）
1.求下列函数的极值:
思维步骤：
图4 求极值考虑因素
练:求下列函数的极值
(1)(2)
(二)给定极值求参数
2.若函数在处取得极值10,试求的值.逆向思维
过程：
图5 有极值解题思路
(三)求含参数的函数的极值：（多种可能性分析法）
3.求函数的极值,并讨论为何值时函数恰有一个零点、两个零点、三个零点.
解题思维：
图6 逆向思维求参
练:课本P31第3
五、问题小结，方法一得：（结果分析法）
(1)函数在一点的导数值为零是函数在这点取极值的必要条件,而非充分条件.(2)求函数的极值的方法是:
参考图示
图7 课堂小结
【教学后记】
导数在函数中的应用要求为掌握，从中体现学生运用数学相关知识的能力，对数形结合思想、化归与转化的思想、分类讨论的思想等数学思想方法都有全面的检测。
为了体现基础性，教者在选取例习题时，力求做到循序渐进，分层进行，以例题来承载知识，渗透数学思想方法，通过学生自主练习，合作学习，总结提升，归纳出解决问题的思悟过程，进而提高能力。正向思维与逆向思维相结合，在解决问题的过程中多体悟，适当强化运算求解能力。对数学问题的一般解决步骤：审题、建模（即找出末知与已知的关系）、解模（用合理的方法与路径来解答）、回归实际问题。
