放射性废料的处理问题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
放射性废料的处理问题
(一)．实验类型：综合型 (二)．实验类别：基础实验 (三)．每组人数：1 (四)．实验要求：选修 (五). 实验学时：3个学时
(三)．实验目的：巩固和理解微分方程理论及其应用。
(四)．预备知识：常微分方程理论和Mathematica 解方程的命令。 (五)．【实验内容与要求】
美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过12.2 m/s ，圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少这时已知圆桶重为239.46 kg ，体积为0.2058 m 3,海水密度为1035.71 kg/m 3。如果圆桶下沉到海底时的速度小于12.2 m/s ，就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为。 （1）根据问题建立数学模型。
（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理
(六)．实验解答
一、问题分析及建立模型 圆桶运动规律：
f F G F --=合 (1)
22dt
s
d m dt dv m ma F ===合 （2） 其中mg G =，gV F ρ= dt
ds
k kv f ==
由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧===--==0)0(0)0(022s v dt ds
dt ds k
gV mg dt
s d m t ρ (3) kv gV mg dt
dv m --=ρ (4) 2、若
2
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==dt ds k kv f ，类似上面，可得到这时圆桶的速度分别满足如下微分方程： 二、计算过程
1、由（1）（2）（3）（4）以及题设的初始数据，通过如下Mathematica 程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。 源程序：
In[1]:=m = ; w = ; g = ; p = ; k = ;
DSolve[{m*s''[t] == m*g - p*g*w - k*s'[t], s[0] == 0, s'[0] == 0}, s[t], t] DSolve[{m*v'[t] == m*g - p*g*w - k*v[t], v[0] == 0}, v[t], t] Out[1]=
s t 2.71828
0.00250564t
171511.
171511.2.718280.00250564t 429.7442.71828
0.00250564t
t
（5）
v t
429.744429.7442.718280.00250564t
0.00250564t
（6）
2、由（5）及S(t)=90m ，由下面程序
得到：t= ，带入（6），运行如下命令
得V=>，此时说明此法处理废料不行。
三、结果分析
在实际情况中k 与 v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对不同的介质比如在空气中和在水中k 与 v 的关系就不同。
在一般情况下，k应是v的函数，即k=k(v)，至于是什么样的函数很难确定。
四、模型推广
这个模型可以推广到其他方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的，尽管物体越高，落到地面的速度也越大，但决不会无限大。
实验三路程估计问题
(一)．实验类型：综合型
(二)．实验类别：基础实验
(三)．每组人数：1
(四)．实验要求：选修
(五). 实验学时：3个学时
(三)．实验目的：能用数学软件进行数据拟合。
(四). 预备知识：多元函数的极值求法；线性拟合的最小二乘法原理。
(五)【实验内容与要求】
外出旅行或行军作战等，都可能涉及到两地路程的估计问题。当身边带有地图时，这似乎是件很容易的事。然而，从地图上量出的距离却是两地的直线距离d，你能由此估计出两地的实际路程s吗建立s关于d的模型：)
s 。
f
(d
（1）要确定s与d的近似函数关系，必须收集若干s及与之相应的d的具体数据，通过分析找出规律。这里将《中国地图》中量得四川省彭州市到其他几个城市的直线
距离，并按比例尺（1cm为20km）进行转换，以及从到汽车站了解到的对应的实际路程的有关数据列于表2-2。
表2-2 城市间直线距离和实际路程
（2）启动数学软件，将上表中d与s两组数据，按拟合时所需形式输入。
（3）画出数据散布图，观察它们是否大致在一条直线附近。
（4）进行直线拟合，并在同一图中显示拟合直线与数据点。观测拟合情况，并记下所得到的模型（称为经验模型）。
（5）在只作粗略估计的情况下，为便于计算，若将上面得到的模型修改成
s-
=5.1（简单模型）行吗根据表中数据，取b=3，试画出简单模型与样本数据点d
b
的图形，并与（4）所得到的图形相对照。
（6）试计算由两个模型得到的估计值与实际值的差（残差），以大致观测一下两个模型的差异。在只作粗略估计的前提下，你愿意用哪个模型
(六)实验解答
一、问题分析与建立模型
问题的关键在于收集数据，然后描出数据散布图，通过观测，决定用什么函数去拟合。由所给数据，发现它们大致在一条直线附近，故用直线拟合，又因d=0时，S必为零，因此，不妨设模型为S=ad。
二、计算过程
