论最小公倍数和最大公约数的方法

第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。

例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。

例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15。

2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。

3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求。

二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。

最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

（运用性质2）练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

习题四1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

求最大公约数和最小公倍数的方法探析郑州市惠济区东风路小学吕绣娟求最大公约数和最小公倍数的方法多样，按照教材由基本到最优化的计算方法步步探讨，看看各自的利弊和特点。

例如求12和9的最大公约数和最小公倍数.通常有以下4种方法：1、集合圈法: 12的约数9的约数12的倍数9的倍数2、4 1 9 12、24、9、18、12、6、3、48、60 36、27、45...... ...... ......它们的公约数它们的公倍数它们的最大公约数和最小公倍数分别是3和362、分解质因数法：12=3×2 ×2 9=3×3它们的最大公约数是3。

最小公倍数是3×2×2×3=363、短除法：3 12 94 3它们的最大公约数是3最小公倍数是3×4×3=364、特殊情况法1）两数互质时：例如8和11 它们的最大公约是1最小公倍数是两数积882）一个数是另一个数的倍数时：例如3和12 它们的最大公约是较小数3最小公倍数是较大数12。

5、求最小公倍数的方法：大数翻倍法。

例如：6和8 8的1倍、2倍......倍,其中最先同时是6的倍数的24即是它们的最小公倍数.尽管在初学时我们是按照有繁到简、有难到易的这种逐步抽象顺序来学的，总结的短除法非常方便，而且相当多数同学，也常认为在使用了方法5、4或方法3时似乎就掌握了一把万能钥匙，足以解决所有相关题目，其实有时候的确如此。

但实际上，仍然会遇到问题障碍。

例如：求65与117的最大公约数和最小公倍数。

利用法5显然数比较大，简单的几倍过后，没有收获；利用法4，不是倍数关系，但也同时不易辨别它们是否互质关系。

利用法3，同样我们也不易找到它们的公约数。

于是部分学生转而就把它当成了互质数来计算，这样就错了。

这时全面了解所有方法的显得尤其重要。

所以通常在求最小公倍数和最大公约数的时候,我们选择的方法依次是5-4-3-2-1，直到问题被解决。

最大公约数与最小公倍数应用(一)—、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md, b=nd,并且(m,n)二1。

例如：(24,54) =6,24=4X6,54=9X6, (4,9)二1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且aXb=[a, b] X (a,b)o例如：(18, 12) = , [18, 12]= (18, 12) X[18, 12] =3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法二、热点考题：例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。

(运用性质2)练一练：甲数是36,屮、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。

例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11,求这两个自然数。

” 例3已知a 与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, Co 分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12, 15]=60 的倍数。

再由[a, b, c]二120 知，a 只能是60 或120。

[a, c]=15, 说明c没有质因数2,又因为[a, b, c]=120=23X3X5,所以c=15o练一练：已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。

例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。

习题四1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。

最大公约数和最小公倍数的计算方法在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常用的概念。

最大公约数是指两个或多个整数共有约数中的最大值，而最小公倍数则是指两个或多个整数公有倍数中的最小值。

计算最大公约数和最小公倍数是解决数学问题和简化计算的重要方法。

本文将介绍几种常见的计算方法。

一、辗转相除法辗转相除法，也被称为欧几里德算法，是一种求解两个数的最大公约数的有效方法。

该方法基于以下原理：若两个整数a和b (a > b)，将a除以b得到商q和余数r，若r等于0，则b即为最大公约数；若r不等于0，则将b当作新的a，将r当作新的b，继续进行相同的操作，直到余数为0。

示例如下：假设我们要求解26和15的最大公约数。

1. 26 ÷ 15 = 1 余 112. 15 ÷ 11 = 1 余 43. 11 ÷ 4 = 2 余 34. 4 ÷ 3 = 1 余 15. 3 ÷ 1 = 3 余 0因此，26和15的最大公约数为1。

同时，最小公倍数可以通过最大公约数求解。

根据最大公约数的性质，设两个整数a和b，其最大公约数为g，最小公倍数为l，则有以下公式：l = (a × b) / g因此，使用辗转相除法求得最大公约数后，即可计算出最小公倍数。

二、质因数分解法质因数分解法是通过将整数分解为质数的乘积形式，求解最大公约数和最小公倍数。

具体步骤如下：1. 将待求解的两个整数分别进行质因数分解。

2. 将两个整数的质因数列出，并按照次数较高的相同质因数写成乘积的形式。

3. 最大公约数为两个整数所有相同质因数的最小次数相乘的乘积。

4. 最小公倍数为两个整数所有质因数的最大次数相乘的乘积。

例如，我们求解36和48的最大公约数和最小公倍数。

1. 36的质因数分解为2^2 × 3^2。

2. 48的质因数分解为2^4 × 3^1。

3. 最大公约数为2^2 × 3^1 = 12。

最大公约数与最小公倍数的求解在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常见的概念，用于求解整数之间的关系。

最大公约数是指两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的数，最小公倍数则是指能够同时被两个或多个整数整除的最小的数。

求解最大公约数的方法有多种，下面将介绍三种常用的方法：质因数分解法、辗转相除法和欧几里得算法。

一、质因数分解法质因数分解法是一种基于质因数的方法，用于求解最大公约数。

其基本思想是将两个数分别进行质因数分解，然后找出它们的公共质因数，并将这些公共质因数相乘，即可得到最大公约数。

例如，我们需要求解28和42的最大公约数。

首先，分别对28和42进行质因数分解，得到28=2^2*7，42=2*3*7。

接下来，我们找出它们的公共质因数，即2和7，并将它们相乘，得到2*7=14，即28和42的最大公约数为14。

二、辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里得算法，用于快速求解两个整数的最大公约数。

其基本思想是通过反复取余数，将原问题转化为一个等价的，但规模更小的问题，直至余数为0。

此时，除数即为原问题的最大公约数。

以求解64和48的最大公约数为例。

首先，我们将64除以48，得到商数1和余数16。

然后，我们将48除以16，得到商数3和余数0。

由于余数为0，所以最大公约数为上一步的除数16。

三、欧几里得算法欧几里得算法是辗转相除法的一种扩展应用，用于求解多个整数的最大公约数。

其基本思想是通过将多个整数的最大公约数转化为两个整数的最大公约数的求解，逐步迭代求解最终的最大公约数。

例如，我们需要求解30、45和75的最大公约数。

首先，我们可以先求解30和45的最大公约数，得到15。

然后，我们将15和75求最大公约数，得到15。

因此，30、45和75的最大公约数为15。

最小公倍数是求解两个或多个数的倍数中最小的数。

求解最小公倍数的方法有两种，分别是公式法和因数分解法。

一、公式法公式法是用于求解两个数的最小公倍数的一种简便方法。

求最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们在解决整数之间的关系和计算中起到重要作用。

本文将介绍最大公约数和最小公倍数的概念、计算方法以及应用场景等内容。

一、最大公约数最大公约数，又称公因数、最大公因数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

求最大公约数的方法一般有以下几种：1. 因式分解法：将两个数分解为质因数的乘积，然后取共同的质因数，最后再将这些质因数相乘即可得到最大公约数。

2. 辗转相除法：假设有两个正整数a和b，若a能被b整除，则b 即为最大公约数；若不能整除，则将b除以a所得余数,记为r，再用r 去除x，再得余数,如此循环，直到余数为0，则此时的x就是最大公约数。

3. 更相减损法：假设有两个正整数a和b，若a大于b，则a-b的差即为新的a，再将a和b求差，如此循环，直到a和b相等，则此时的结果就是最大公约数。

最大公约数常用于化简分数、判断能否化简、判断两个或多个数字的整除性等问题。

二、最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。

求最小公倍数的方法一般有以下几种：1. 因式分解法：将两个数分解为质因数的乘积，然后取其所有出现的质因数的最大幂次，再将这些质因数相乘即可得到最小公倍数。

2. 辗转相除法：假设有两个正整数a和b，先求出最大公约数gcd(a,b)，然后使用公式：最小公倍数 = (a * b) / 最大公约数。

最小公倍数经常用于解决多个整数的周期性问题，如求多个周期不同时长的运动员再次比赛相遇的时间。

三、最大公约数和最小公倍数的应用1. 分数的化简：求取最大公约数可以帮助我们将分数化简到最简形式，方便计算和比较大小。

2. 常用于约分：对于需要进行约分的分数，可以通过求最大公约数，将分子和分母同时除以最大公约数，得到一个等价的最简分数。

3. 解题方法优化：在解决一些数学问题时，通过求最大公约数和最小公倍数可以有效地简化计算步骤和提高解题效率。