2011年浙江高考理科数学试题及答案

2011年浙江高考理科和文科数学试卷及答案几msja.Eii 芍绘為WL 曲村快豐畫］fi 即■畫师尿.间时尊if ■析几啊帕■* 里总为楚和杠住nietitin «#迪廿=（I 〕解血觥直可輛曲鮭的HM 方管力叮■一以料心矶。

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2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k kn k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )台体的体积公式11221()3V h S S S S =+其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=42πβ-，则cos()2βα+等于( )A 3B ．3-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()x x(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．21017．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞062p <<19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n n C C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一：(1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P ＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅=，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ=，λ≠1，则PM ＝λ(0，－3，－4)．BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC ＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩ 即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM . 由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ， 所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB ++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 20021k+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235235)，所以直线l 的方程为31154y x =+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a'＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得ln(33e 3e)e a ≤≤＋ln(3e)由(1)知()()(2ln 1)f x x a x ax'＝－＋－，令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 13ah e≥＝＋－＋－32l (l n3n3e 0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。

【选择题】【1】．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f α=,则实数α=（ ）.（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【2】．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1i,(1)z z z =++⋅则=（ ）.（A ）3-i（B ）3+i（C ）1+3i（D ）3【3】．若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）.【4】．下列命题中错误．．的是（ ）.（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，=l αβ⋂，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【5】．设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪⎩≥，≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值为（ ）.（A ）14（B ）16（C ）17（D ）19【6】．若02πα<<，02πβ<<-，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=则c o s ()2βα+=（ ）.（A）（B）（C（D） 【7】．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的（ ）.（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【8】．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ）.（A ）2132a =（B ）213a =（C ）212b =（D ）22b =【9】．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）.（A ）15（B ）25（C ）35 （D ）45【10】．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++．记集合{|()0,R},{|()0,R}.S x f x x T x g x x ==∈==∈若S ，T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是（ ）. （A ）S =1且T =0 （B ）1=1S T =且（C ）S =2且T =2（D ）S =2且T =3【填空题】 【11】．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = .【12】．若某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的k 值为 .【13】．若二项式6((0)x a >的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 .【14】．若平面向量,αβ满足1,1=≤αβ，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .【15】．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X 为该毕业生得到面试的公司个数.若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X = . 【16】．设,x y 为实数，若2241xy xy ++=，则2x y +的最大值是 .【17】．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 . 【解答题】【18】．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin R ,A C pB p +=∈且214ac b =. （1）当5,14p b ==时，求,a c 的值；(2) 若角B 为锐角，求p 的取值范围. 【19】．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2） 记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S , n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a ，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.【20】．如下图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. （1）证明：AP ⊥BC ；（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【21】．已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M .（1）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，如下图，若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.【22】．设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R .（1）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数.【23】．（自选模块测试）设正数,,x y z 满足221x y z ++=.（1）求3xy yz zx++的最大值；（2）证明：311125 11126 xy yz zx++≥+++.【24】．（自选模块测试）已知直线l：1cos,sinx ty tαα=-+⎧⎨=⎩（t为参数，α为l的倾斜角，且0απ<<）与曲线C：,sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于,A B两点，点F的坐标为（1,0）. （1）求ABF∆的周长；（2）若点E（-1,0）恰为线段AB的三等分点，求ABF∆的面积.。

2011-2012-2《大学数学一》综合练习一﹑填空题：1. 已知 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则AB jACPr =___________。

2. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为___________________。

3. 过原点且平行于直线⎩⎨⎧=--=-15234z y x z x 的直线方程为_____________________。

4. 将曲线220x z x y ⎧=⎨=⎩绕轴旋转一周，所得曲面方程为____________________。

5. 函数z=arcsin(2x)+ 2224ln(1)x y x y ---的定义域____________________. 6.(,)(0,1)42lim3x y xy xy→+-= 。

7. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 . 8. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e=1{2,1}5的方向导数_________. 9. 曲线τ：x=2sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2cos c t 对应于t=4π的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面方程为________________。

10. 将二次积分21220()xx dxf x y dy +⎰⎰化为极坐标下的二次积分的表达式为 .11.⎰⎰⎰⎰-+--+21212),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 .12. 曲线积分ds z y x L ⎰++2221的值为 ，其中L 为曲线2221,0x y z z ++==. 13. 若曲线积分4124(4)(65)Lx xy dx xy y dy λλ-++-⎰在xoy 平面内与路径无关，则λ= .14. 设L 为有向曲线2214x y +=的正向，则(2)(3)Lx y dx x y dy -++=⎰ . 15. 设∑是球面：2224x y z ++=，则曲面积分⎰⎰∑++dS z y x )(222= . 16. 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为3，则幂级数11)1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 .17. 幂级数∑∞=-124)2(n nnn x 的收敛域为 . 二﹑选择题:1. 直线⎩⎨⎧=+=++00:1z y z y x L 与直线⎩⎨⎧=+=+124:2z x y x L 的关系是（ ）. 〔A 〕1L 与2L 垂直 〔B 〕 1L 与2L 平行 〔C 〕1L 与2L 相交但不垂直 〔D 〕 1L 与2L 为异面直线 2.设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在.则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim（ ）.〔A 〕 0 〔B 〕),2(b a f x 〔C 〕),(b a f x 〔D 〕),(2b a f x 3．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）. 〔A 〕必要条件. 〔B 〕充分条件. 〔C 〕充要条件. 〔D 〕既非充分又非必要条件 4.二重积分221(1)x y xy d σ+≤+=⎰⎰（ ）〔A 〕π 〔B 〕0 〔C 〕π 〔D 〕2π 5.设Ω：2222x y z a ++≤、2222x y z az ++≤，则三重积分(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰在柱面坐标下的三次积分为（ ）〔A 〕20(cos ,sin ,)a a d dr f r r z rdz πθθθ⎰⎰⎰； 〔B 〕2222322(cos ,sin ,)a a r a a r d drf r r z rdz πθθθ---⎰⎰⎰；〔C 〕22322(cos ,sin ,)a a r ad drf r r z dz πθθθ-⎰⎰⎰；〔D 〕2222(cos ,sin ,)aa a r ad drf r r z rdz πθθθ--⎰⎰⎰.6.在下列积分中，积分值与路径无关的是（ ）〔A 〕sin sin Lydx xdy +⎰ 〔B 〕sin sin Lydx y xdy +⎰〔C 〕cos sin Lydx xdy +⎰ 〔D 〕cos sin Ly xdx xdy +⎰7.设2222:x y z a ∑++=，取外侧，其所围的空间闭区域为V ，则曲面积分(1)(2)(3)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰ （ ）〔A 〕3VdV ⎰⎰⎰ 〔B 〕()Vx y z dV ++⎰⎰⎰ 〔C 〕2()Vx y z dV ++⎰⎰⎰ 〔D 〕08.设222:1x y z ∑++=，取外侧，则曲面积分2y dxdz ∑=⎰⎰（ ） 〔A 〕222212(1)x z x z dxdz +≤--⎰⎰〔B 〕222212(1)x z x z dxdz +≤---⎰⎰〔C 〕1 〔D 〕09.设),2,1(10 =<≤n na n ，则下列级数中一定收敛的是（ ）. 〔A 〕∑∞=1n n a 〔B 〕∑∞=1n n a 〔C 〕n n na ∑∞=-1)1( 〔D 〕∑∞=-12)1(n n n a10．若级数)0(1≥∑∞=n n na a收敛，则（ ）.〔A 〕∑∞=12n na发散 〔B 〕∑∞=1n nn a 收敛 〔C 〕∑∞=+11n nn a a 发散 〔D 〕∑∞=1n n n a发散。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）一、选择题（1）设函数 若，则实数 （ ） （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数的共轭复数记作i,i 为虚数单位。

若z=1+i,则（ ）（A ） （B ） （C ） （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ ）（4）下列命题中错误的是 （ ）（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为 （ ）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）6- 2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩>()4f α=α=z (1)z z -+•=3i -3i +13i +250x y +->270x y +->， 0x ≥，0y ≥（7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a>的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。

若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （ ）（A ）232a = （B ） 2a =13 （C ） 212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地排成一排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45（10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax ax bx =+++=+++。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江卷）一、单选题1. （2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2C．﹣2或4D．﹣2或22. （2011•浙江）把复数z 的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（）A．3﹣i B．3+i C．1+3i D．33. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A ．B ．C ．D ．4. 下列命题错误的是（）.A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C．如果平面平面，平面平面，，那么平面D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面5. 设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．196. 若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣7. 若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8. 已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C恰好将线段AB三等分，则（）1A．a2=B．a2=3C．b2=D．b2=29. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．B．C．D．10. 设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．{S}=1且{T}=0B．{S}=1且{T}=1C．{S}=2且{T}=2D．{S}=2且{T}=3二、填空题11. （2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= _________ ．12. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________ .三、解答题13. 若二项式（x﹣）6（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 _________ ．14. （2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是 _________ ．15. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P （X=0）=，则随机变量X 的数学期望E （X ）= _________ ．16. 设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy=1，则2x+y 的最大值是 _________ ．17. 设F 1，F 2分别为椭圆+y 2=1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若=5；则点A 的坐标是 _________ ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinA+sinC=psinB （p ∈R ）．且ac=b 2．（1）当p=，b=1时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．19. 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a （a ∈R ）设数列的前n 项和为S n ，且，，成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式及S n ；（2）记A n =+++…+，B n =++…+，当n≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．21. 已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l 的方程．22. （2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（浙江省）本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 13V sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2解析：此题考察分段函数求值问题，直接代入计算即可，属简单题！选B 。

（2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3解析：此题考察复数的运算以及共轭复数的定义，属简单题。

选A 。

（3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是解析：考察三视图还原直观图，由正视图排除A 、B ，由俯视图可排除C ，故选D 。

简单题。

（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：考察线面的平行与垂直关系，紧扣线面平行与垂直的判定与性质，不难选出D 错。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ∙=∙如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数2,0(),x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.下列命题中错误．．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5.设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A（B）（C（D）7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =29.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。

2011年高考数学理（浙江）设函数，若，则实数（A）4或2（B）4或2 （C）2或4 （D）2或2【答案解析】B本题主要考查了分段函数及其函数求值问题，结合分类讨论思想的应用，难度较小。

当a≤0时，f（a）=－a=4，解得a=－4，满足条件；当a0时，f（a）=a2=4，解得a=±2，结合条件可得a=2；故选B；把复数的共轭复数记作,i为虚数单位，若z=1+i,则（A）（B）（C）（D)3【答案解析】A本题主要考查了共轭复数的相关概念以及复数的运算等，难度较小。

由于z=1+i，则（1+z）·=（1+1+i）（1－i）=（2+i）（1－i）=3－i，故选A；若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案解析】D本题主要考查了三视图的识别与判断等，关键是空间想象能力与推理分析能力的考查，难度一般。

通过俯视图可以排除选项A和C，又通过正视图可以排除选项B，故选D；下列命题中错误的是（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面（D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案解析】D本题主要考查了空间中点线面的位置关系与判断，关键是空间中点线面之间的平行与垂直关系的判断等，难度一般。

选项A中，由于α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，故选项A正确；选项B中，α不垂直于β，即两者平行或相交不垂直时，这时α内一定不存在直线垂直于β，故选项B正确；选项C中，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则有l⊥γ，故选项C正确；选项D中，由于α⊥β，那么α内垂直于交线的直线才垂直于β，其他的不垂直，故选项D错误；设实数、是不等式组，若、为整数，则的最小值是（A）14 （B）16（C）17（D）19【答案解析】B本题主要考查了简单的线性规划问题以及目标函数的最值等，难度中等。

2011年高考浙江卷数学解析版一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B【解析】当0≤α时，4,42)(-==-=ααf ； 当0>α，4,42)(2===ααf .（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z=1+I,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴i z z z z -=-+=∙+3)1)(2()1(.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项. （4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】若面⊥α面β，在面α内与面的交线不相交的直线平行平面β，故A 正确；B 中若α内存在直线垂直平面β，则βα⊥，与题没矛盾，所以B 正确；由面⊥面的性质知选项C 正确.（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+= （A（B） （C（D）【答案】C【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴332)4sin(=+απ，又∵33)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935. （7）若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜”是11a b b a＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或a b 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或a b 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率[ （A ）15 （B ）25 （C ）35 D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】C【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0,0≠=b a 且042<-c b 时，1=s 且1||=T ；当04,02>-≠a b a 时，2=s 且3||=T .非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 （11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2()4,2f ααα===.（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项. （4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则c o s ()2βα+=（A（B）（C（D）【答案】C【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，2<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝13+935.（7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b ba＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“ba 1<或a b 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或ab 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率[（A ）15 （B ）25 （C ）35D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且240b ac -〈时，1=s 且1T =；当20,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 （11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2()4,2f ααα===.（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项.（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+= （A（B） （C（D）【答案】C【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝13333⨯+＝935. （7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b b a＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或ab 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或ab 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A ）15 （B ）25 （C ）35 D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且240b ac -〈时，1=s 且1T =；当20,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

2011年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或22．（5分）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（）A．3﹣i B．3+i C．1+3i D．33．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．196．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A．a2=B．a2=3 C．b2=D．b2=29．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=3二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=．12．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是．13．（4分）若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是．14．（4分）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是．15．（4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．16．（4分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．17．（4分）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．19．（14分）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当n≥2时，试比较A n与B n的大小．20．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M （Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．22．（14分）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．2011年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2【分析】分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．【解答】解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B2．（5分）（2011•浙江）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（）A．3﹣i B．3+i C．1+3i D．3【分析】求出，然后代入（1+z）•，利用复数的运算法则展开化简为：a+bi （a，b∈R）的形式，即可得到答案．【解答】解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，=1﹣i，则（1+z）•=（2+i）（1﹣i）=3﹣i故选A．3．（5分）（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形故该几何体上部分是一个三棱柱下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱故选D4．（5分）（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D 结合实物举反例即可．【解答】解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．5．（5分）（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y 中，求出3x+4y的最小值．【解答】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．6．（5分）（2011•浙江）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选C7．（5分）（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】因为“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab ＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．【解答】解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．8．（5分）（2011•浙江）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A．a2=B．a2=3 C．b2=D．b2=2【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2﹣b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．【解答】解：由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a∴C1的半焦距c=，于是得a2﹣b2=5 ①设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以③由②③得a2=11b2④由①④得a2=5.5，b2=0.5故选C9．（5分）（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．B．C．D．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55种结果，满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，表示出结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，下分类研究同类书不相邻的排法种数假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32种可能；假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8种可能；假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8种可能．∴同一科目的书都不相邻的概率P=，故选B．10．（5分）（2011•浙江）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=3【分析】通过给a，b，c赋特值，得到A，B，C三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a，当b2﹣4c=0时，f（x）=0还有一根，只要b≠2a，f（x）=0就有2个根；当b=2a，f（x）=0是一个根；当b2﹣4c＜0时，f（x）=0只有一个根；当b2﹣4c＞0时，f（x）=0有二个根或三个根．当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0，当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1，当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2．故选D．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=0．【分析】根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a的值．【解答】解：∵f（x）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）恒成立即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立即|x+a|=|x﹣a|恒成立所以a=0故答案为：0．12．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是5．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43b=34第二圈k=4 a=44 b=44第三圈k=5 a=45 b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．13．（4分）（2011•浙江）若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是2．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，0求出A，B；列出方程求出a．【解答】解：展开式的通项为令得r=2，所以A=令得r=4，所以B=∵B=4A，即=4，解得a=2故答案为：214．（4分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是[30°，150°] ．【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．【解答】解：∵||||sinθ=∴sinθ=，∵||=1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，15．（4分）（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：16．（4分）（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为17．（4分）（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是（0，±1）．【分析】作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点A的坐标．【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B'（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=∴e=，F1（，0）．∵|F1A|=|x1﹣|，|F1B'|=|x2﹣|，从而有：|x1﹣|=5×|x2﹣|，由于≤x1，x2，∴﹣x1＞0，﹣x2＞0，即=5×=5．①又∵三点A，F1，B′共线，∴（，y 1﹣0）=5（﹣﹣x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1=0．代入椭圆的方程得：y1=±1，∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F 1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（x A，y A），B（x B，y B），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cosθ=，sinθ=，k=t anθ=，由，即可得到A（0，±1）．故答案为：（0，±1）．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．【解答】（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB ﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当n≥2时，试比较A n与B n的大小．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的a n和S n，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理A n与B n，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由（）2=•，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a所以a n=na，S n=（Ⅱ）解：∵=（﹣）∴A n=+++…+=（1﹣）∵=2n﹣1a，所以==为等比数列，公比为，B n=++…+=•=•（1﹣）当n≥2时，2n=C n0+C n1+…+C n n＞n+1，即1﹣＜1﹣所以，当a＞0时，A n＜B n；当a＜0时，A n＞B n．20．（15分）（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【分析】以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．（I）我们易求出，的坐标，要证明AP⊥BC，即证明•=0；（II）要求满足条件使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角的点M，即求平面BMC 和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．【解答】解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）（I）则=（0，3，4），=（﹣8，0，0）由此可得•=0∴⊥即AP⊥BC（II）设=λ，λ≠1，则=λ（0，﹣3，﹣4）=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）设平面BMC的法向量=（a，b，c）则令b=1，则=（0，1，）平面APC的法向量=（x，y，z）则即令x=5则=（5，4，﹣3）由=0得4﹣3=0解得λ=故AM=3综上所述，存在点M符合题意，此时AM=321．（15分）（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【分析】（I）由题意抛物线C1：x2=y，可以知道其准线方程为，有圆C2：x2+（y﹣4）2=1的方程可以知道圆心坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；（II）由于已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，也可以设出点A，B 的坐标，再设出过P的圆C2的切线方程，利用交与抛物线C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．【解答】解：（I）由题意画出简图为：由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（II）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；由题意得：x0≠±1，x1≠x2，设过点P的圆C2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①则，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，∴，；代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0 则x1，x2应为此方程的两个根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0∴k AB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=由于MP⊥AB，∴k AB•K MP=﹣1⇒故P∴．22．（14分）（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．【分析】（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．（Ⅱ）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），因为x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e，或a=3e．（Ⅱ）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2，解得由（Ⅰ）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞0又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数．所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有有h（x0）=2lnx0+1﹣=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4x02ln3x0≤4e2又x0＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e，再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，由f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2解得，所以得．综上，a的取值范围为．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共2页）1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ v sh =如果事件,A B 相互独立，那么其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 13v sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩ 若()4f α=，则实数α= （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数z 的共轭复数记作i,i 为虚数单位。

若z=1+i,则(1)z z -+∙=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3 (3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()()()P A B P A P B ∙=∙（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组 ，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为 （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，cos ()42πβ-=则c o s ()2βα+=（A （B ）（C （D ） （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a >的 （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。