系统辨识的数学模型

（A）
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系统辨识的基本原理
（A）式相当于表达了T Tˆ ek 的关系，在这个关
系式中，T表示量测温度，可表示为
T T k a1T k 1 anT k n
Tˆ表示了估计（计算）温度 ，可表示为
Tˆ b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n
ek 表示干扰噪声（量测误差），表达了量测温度
等于估计温度和量测误差之和。
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系统辨识的基本原理
再选定一个等价准则
J l e2k l T Tˆ 2
k 1
k 1
l
T k a1T k 1 anT k n b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n2
k 1
而Q与T之间的数学描述就是T/Q的数学模型的辨识问题，即
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系统辨识的基本原理—等价准则
其中，q-1为后移算子，即
q 1 yk yk 1
则误差准则为
L
2
J A q 1 yt B q 1 ut
k 1
这里， 表示方程中的参数，即ai ,bi ,i 1,2,, n。
当给定输入输出u和y时，误差是线性的，即误差准
则函数J 关于模型参数空间是线性的，其参数可
输入误差示意图
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系统辨识的基本原理—等价准则
③ 广义误差：将输入、输出误差组合而成，
定义为 et Gg1yt G1ut
其中，G1 和G21称为广义模型。
激励信号u
y 辨识对象
-
模型 G1
+
逆模型 G21
e
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广义误差示意图
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系统辨识的基本原理—等价准则
在广义误差中，特别常用的是方程式误差。例
Gg与对象等价。因此，辨识就是求使准则函数最小的模
型Gg的优化问题[7]。若模型类采用参数模型描述时，辨
识就归结为参数优化问题。
我们发现，准则函数通常表示成误差e的函数，写作
J y, yg f e，而在具体表达中，平方误差准则 f e e2
用得最多，而根据误差的定义形式，又可分为输出误
差、202输0/8/2入9 误差和广义误差形式。
根据所观测的In-Out数据Qk , k 1,2,,l和 T k , k 1,2,,l
从模型类（A）式中寻找一个模型，也就是确定（A）式中的模型
阶次n及未知参数 ai ,bi ,i 1,2,, n ，使准则J=min。
由于观测到的数据一般都含有噪声，辨识建模实际上是一种实
验统计的方法，所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的
技术的发展以及对系统控制技术要求的提高，控制理论
得到了广泛的应用。但是，控制理论的大多数应用场
合，若想获得理想的使用效果，则与是否能获得被控对
象的数学描述是密不可分的。然而，很多时候，被控对
象的数学模型是不知道的，甚至涉及这个系统的工艺方
面的工程师都无法描述。
在应用控制理论去实施系统控制时，事先建立对象
的数学描述（数学模型），成为应用是否成功的关键。
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Chapter1
系统辨识的基本原理； 系统描述的数学模型； 随机信号的描述与分析； 白噪声与伪随机码；
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系统辨识的基本原理
例如，一个工业炉加热过程中，若忽略其他因素， 控制的主要目标是燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输 出）之间的关系：
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系统辨识的基本原理
燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输出）之间的关 系：
欲建立T/Q模型，经观测得到一组输入-输出数据，
记为Qk , k 1,2,,l和 T k, k 1,2,,l，其中l为数据
长度，同时，选定一组模型：
T k a1T k 1 anT k n b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n ek
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系统辨识的基本原理—等价准则
① 输出误差：令输出误差为
e y yg 输出误差通常是参数的非线性函数，这种参数辨识
是一种复杂的非线性最优化问题，当误差和参数的关系
是一次函数时，称模型是关于参数线性的。
参数线性模型按照最小均方误差准则，采用最小二
乘（LS，Least Square），可实现对参数辨识。
辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手段。
这里，系统线性和参数线性是不同的概念。
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系统辨识的基本原理—等价准则
②Biblioteka Baidu输入误差：令输入误差为
et ut ut ut Gg1yt
其中，Gg1 为模型Gg的逆系统，其关系如图：
激励信号u
y 辨识对象
e
系统逆模型
Gg1
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系统辨识篇
System Identification
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讲述内容
Chapter1系统辨识理论、方法及应用； Chapter2系统辨识的经典方法； Chapter3系统辨识的脉冲响应法 Chapter4智能技术在系统辨识中的应用；
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Chapter1
系统辨识与控制理论的联系较为密切。随着计算机
一种20近20/8似/29描述[6] 。
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系统辨识的基本原理—等价准则
在SI中，有一个很重要的概念，就是等价准则，它
是用来衡量模型接近实际过程的标准。而通常被辨识对
象和模型的等价性是通过引入评价函数来定义的，这个
评价函数称为等价准则函数。
对于相同的输入u，若实际系统的输出为y，模型Gg
的输出为yg，而被辨识对象和模型输出这两个输出量之
如对于离散时间系统，当G1
、G
1为
2
G21 : A q 1 1 a1q 1 a2 q 2 an q n
G1 : B q 1 b1q 1 b2q 2 bn q n
方程误差表示为
et A q 1 yt B q 1 ut
yk a1 yk 1 a2 yk 2an yk n b1uk 1 b2uk 2 bnuk n
间的偏离值（误差）e=y-yg ，采用的准则函数如下：
① 连续信号下，准则函数为
t
t
J y, yg yt yg t2dt e2 tdt
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t T
t T
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系统辨识的基本原理—等价准则
② 离散信号下，准则函数为
J y, yg
N
y yg 2 e 2
在给定的模型类中，k当Gg使准则函数最小时，定义
以用最小二乘法辨识得到。
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系统描述的数学模型
前面我们已对数学模型做过分析，对于SI过程，弄 清各类模型的表达形式、相互转换及应用场合十分必要。