高等数学-导数与微分公式概念

高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。

在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。

下面是高等数学中常见的微积分公式。

一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。

2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。

3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。

2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。

3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。

第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。

微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。

本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。

§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。

一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。

如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。

这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。

斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。

如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。

显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。

当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。

完整版高数一知识点一、导数与微分高等数学中，导数是一种表示函数变化率的工具。

它是研究函数在某一点上的局部性质和变化趋势的基本概念。

导数可以通过极限的概念进行定义，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导函数的计算方法包括：1. 基本函数的导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2. 四则运算法则：求导的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

3. 复合函数的求导：使用链式法则求解复合函数的导数。

微分是导数的应用之一，用于研究函数的近似变化。

微分的计算方法包括：1. 微分的定义：微分可以通过导数来进行计算，表示函数在某一点上的变化量。

2. 微分的近似计算：使用微分近似计算可以帮助我们在没有具体数值的情况下估计函数的变化。

二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。

不定积分可以表示函数的面积、函数的平均值等。

计算不定积分的方法包括：1. 基本积分公式：根据一些基本函数的导数公式，可以得到相应的不定积分公式。

2. 积分的线性性质：积分具有线性性质，即函数的线性组合的积分等于各组成函数的积分之和。

3. 特殊函数的积分：对于一些特殊的函数，可以通过一些特殊的方法进行积分。

定积分是求解函数在某一区间上的面积的过程，也被称为积分。

定积分可以表示弧长、质量、体积等物理量。

计算定积分的方法包括：1. 定积分的定义：定积分可以通过分割区间，计算分割点上函数值与区间长度的乘积之和来进行计算。

2. 积分的性质：定积分具有一些性质，例如积分的线性性质、积分的区间可加性等。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式给出了定积分与不定积分之间的关系。

三、常微分方程常微分方程是研究函数的导数与自变量之间关系的方程。

它是高等数学中一个重要的分支，应用广泛。

常微分方程的求解方法包括：1. 可分离变量法：对于可分离变量的常微分方程，可以通过分离变量并积分的方法进行求解。

导数与微分的区别与联系
导数和微分是高等数学中重要的概念，在工程、物理等领域也广泛地运用，本文阐述其之间的区别与联系。

导数的概念是在微积分学中提出的，它是指一个变量关于另一个变量的变化速率，是二元函数变化量之比，是一种分析数学形式，可用来分析函数的变化趋势，即取得函数的斜率，以二次函数为例，导数被定义成函数某一点处的斜率，其发端在公式y=ax²+bx+c 中，导数的公式为dy/dx=2ax+b，其中，dy/dx是一个实数量，表示y函数到一点处的斜率，是一个“局部”的量，也就是指函数在某处变化率。

而微分是指函数某一段区间上的变化量，是一种“连续性”的量，对自变量和因变量之间的函数进行分析，可以用定积分项或估值定积分项间断微分来表达，其具体公式可以表示为：d(y)/dx=(y2-y1)/(x2-x1)，即，如果函数在x1和x2点处分别取得y1和y2的值，则在x1到x2的变化量就是y1到y2的变化量，这就是微分的定义。

因此，导数与微分的区别在于：导数是一个对函数在某处变化量的测量，而微分是一个连续变化量的测量；导数是一个局部点的量，而微分是一个区间的量；从形式上看，导数是一阶变化量，而微分是二阶变化量。

联系的话，微分的出现归因于导数的存在，从微分的定义可以看出，它把导数进行了积分，形成了跨越了多个数据间隔，即在数定量上的连续性的概念，而本质上微分的定义仍基于导数的概念，两者存在千丝万缕的关系，微分运用数学算法，将多个点之间的变化量进行积分，形成了合乎要求的曲线图，更广义地将局部变量积分，形成全局变量。

总之，导数和微分是互为依存的，前者是提出微分的基础，即导数概念的概括，而后者则依此将导数进行定义和积分，形成了较为完整的数学模型，所以，导数和微分之间相辅相成，却又存在着清晰的界限。

高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。

在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。

)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。

导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。

曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。

反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。

⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。

如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数321-+=x x y ，求y '。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。

高数各知识点总结大一公式在大一学习高等数学时，我们会接触到许多重要的知识点和公式。

这些知识点和公式在解决数学问题时起到了重要的作用。

下面将对这些知识点和公式进行总结，以便帮助大家更好地理解和应用它们。

一、导数与微分导数是研究曲线上一点的变化率的概念，它在物理、经济学等领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的导数和微分公式：1. 基本导数公式：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2. 幂函数求导：幂函数y=x^n (n≠0) 的导数公式为y'=nx^(n-1)。

3. 指数函数和对数函数求导：指数函数 y=a^x 的导数公式为y'=a^x * ln(a)，对数函数 y=log_a(x) 的导数公式为 y' = 1 / (x* ln(a))。

4. 三角函数求导：正弦函数 y=sin(x) 的导数公式为 y'=cos(x)，余弦函数 y=cos(x) 的导数公式为 y'=-sin(x)，正切函数 y=tan(x) 的导数公式为 y'=sec^2(x)。

二、积分与不定积分积分是导数的逆运算，它在计算面积、求曲线长度、求物体的质量、求函数的平均值等方面发挥着重要作用。

下面是一些常见的积分和不定积分公式：1. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分公式。

2. 幂函数积分：幂函数y=x^n (n≠-1) 的不定积分公式为∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C。

3. 指数函数和对数函数积分：指数函数 y=a^x 的不定积分公式为∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C，对数函数 y=log_a(x) 的不定积分公式为∫1/(x * ln(a)) dx = log_a|x| + C。

4. 三角函数积分：正弦函数 y=sin(x) 的不定积分公式为∫sin(x) dx = -cos(x) + C，余弦函数 y=cos(x) 的不定积分公式为∫cos(x) dx = sin(x) + C，正切函数 y=tan(x) 的不定积分公式为∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C。

导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;一、基本函数的导函数C'=0C为常数x^n'=nx^n-1 n∈Qsinx'=cosxcosx'=-sinxe^x'=e^xa^x'=a^xlnaloga,x' = 1/xlnalnx'= 1/x二、和差积商函数的导函数fx + gx' = f'x + g'xfx - gx' = f'x - g'xfxgx' = f'xgx + fxg'xfx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2三、复合函数的导函数设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即,也可记作,或;邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;拓扑学的定义设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;可导设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;原函数已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有dFx=fxdx,则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;例：sinx是cosx的原函数;关于原函数的问题函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,即：F'x=fx,则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;几何意义和力学意义设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;几何意义如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限在高等数学中,极限是一个重要的概念;极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a|<ε都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛;3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：|fx-A|<ε那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;函数极限的通俗定义：1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;函数极限的性质：极限的运算法则或称有关公式：limfx+gx=limfx+limgxlimfx-gx=limfx-limgxlimfxgx=limfxlimgxlimfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0limfx^n=limfx^n以上limfx limgx都存在时才成立lim1+1/x^x =ex→∞无穷大与无穷小：一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;无穷大数列和无穷小数列成倒数;两个重要极限：1、lim sinx／x ＝1 ,x→02、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数====================================================================== ==举两个例子说明一下一、……＝1以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;10×……—1×……=9=9×……∴……=1二、“无理数”算是什么数我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;几个常用数列的极限an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0定积分定积分的几何意义众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;积分的分类实际上,积分还可以分为两部分;第一种,不定积分,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;第二种,定积分定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;定积分的定义：设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;记做：∫ _a^b fxdxa在∫下方,b在∫上方其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;微分一元微分定义：设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;几何意义：设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;多元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;运算法则：dy=f'xdxdu+v=du+dvdu-v=du-dvduv=duv+dvudu/v=duv-dvu/v^2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;黎曼积分如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'x=fx那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：b上限∫a下限fxdx现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。

第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则0000()()()l i m x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

导数与微分知识点导数和微分是高等数学中重要的概念，它们在微积分中具有广泛的应用。

本文将介绍导数与微分的定义、性质以及它们的计算方法。

一、导数的定义与性质在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。

假设有函数y=f(x)，那么在点x处的导数可以记作f'(x)，其定义如下：f'(x) = lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗①其中，lim表示极限，∆x表示x的增量。

导数衡量了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。

导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的存在性：函数在某一点上可导的条件是该点的左导数等于右导数，也就是导数的存在需要左右极限相等。

2. 可导性与连续性：若函数在某一点可导，则必定在该点连续；但函数在某一点连续并不意味着可导。

3. 导数与函数的关系：若函数在某一点可导，则该点必定是函数的极值点或拐点；但反之不一定成立。

二、导数的计算方法求导是计算导数的过程，常见的求导法则有以下几种：1. 基本导数法则：常数的导数为0，幂函数的导数等于幂指数乘以常数，指数函数的导数等于函数值乘以自然对数e。

2. 和、差、积、商法则：若函数g(x)和h(x)在点x处可导，则其和、差、积、商的导数分别为其导数的和、差、积、商。

3. 复合函数的导数：若函数h(x)可以表示为f(g(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则h(x)的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)。

4. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续、单调且可导，且导数不为0，则它的反函数x=f⁻¹(y)在对应区间[f(a),f(b)]上也连续、单调可导，且导数为1/f'(f⁻¹(y))。

三、微分的定义与性质微分是导数的一个应用，它可以用来描述函数在某一点上的近似变化量。

函数y=f(x)在点x处的微分可以表示为dy=f'(x)dx。

高考数学中的导数与微分概念解析高考数学中导数与微分是非常重要且基础的概念，对于不少学生来说，这些概念很抽象，很难理解和掌握，下面将结合实例来解析导数与微分的概念。

一、导数概念的解析导数是微积分中一个基本概念，它有时也被称为“瞬时率”或“瞬时变化率”。

在解析函数的变化时，计算导数是很有用的。

导数最初被引入是为了用来解决质点在运动中的速度以及曲线上某一点的切线斜率等问题。

下面我们来看看用导数计算速度的实例。

在物理学上，我们常常会用到速度的概念，速度常常被描述为某个物体在单位时间内运动的距离。

但是这种方式往往难以解决一些问题，比如说汽车在运动中速度的变化。

如果我们用速度来描述汽车在路上的行驶状态，这是不够详细的，我们需要更精细的描述方法来解决这种问题。

这时，我们可以用导数来描述汽车在路上行驶时的实时速度变化。

假如汽车在短时间内从70km/h加速到90km/h，那么在这个很小的时间间隔内，汽车的平均速度是80km/h。

但是如果我们用导数的概念来计算实时速度的变化，那么就需要知道汽车的瞬时速度。

我们可以将汽车在某个瞬间的速度作为这一瞬间的导数。

因此，汽车瞬时的速度可以表示为汽车行进路程对应时间的导数。

二、微分概念的解析微分是高等数学中一个常用的概念，它是导数的一个基础概念。

微分可以简单地理解为一个变量（无论是时间、距离还是速度等等）的微小变化所引起的函数值的变化。

微分的概念是微积分的基础，它被广泛应用于科学、技术以及商业领域。

我们可以将微分理解为一种小量的近似计算方法，当函数的微小变化趋向于0时，用微分可以近似来计算导数的值。

通过微分的计算方法，我们可以得到一些具有实际意义的结果，比如说函数的收益率或者函数的变化率等等。

下面我们来看看一个实际应用微分的例子。

在市场经济中，经常需要通过价格曲线来分析商品的价格变化趋势。

如果我们要计算一件商品的价格变化率，那么我们可以使用微分的方法来近似计算其导数，从而得出商品的价格变化率。

高数的知识点总结大一公式高等数学是大学一年级的必修课程之一，它是一门重要的基础学科，为后续学习大多数理工科学科打下坚实的数学基础。

在学习高等数学的过程中，我们会接触到许多重要的知识点和公式。

下面将对大一学习高数过程中的主要知识点和常用公式进行总结。

1. 极限与连续在高数中，极限的概念是重要的基础之一。

以下是一些常见的关于极限和连续的公式：- 函数极限的定义：当 x 趋近于 a 时，如果函数 f(x) 的值无限逼近于一个确定的常数 L，则称 f(x) 在 x = a 处的极限为 L。

lim(x→a) f(x) = L- 常用的极限公式：- 基本极限：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e （自然对数底）- 极限的四则运算法则：- lim(x→a)[f(x) ± g(x)] = lim(x→a)f(x) ± lim(x→a)g(x)- lim(x→a)f(x)g(x) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)- lim(x→a)f(x)/g(x) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) （前提是g(a) ≠ 0）- 极限的函数复合法则：- lim(x→a)f[g(x)] = lim(u→b)f(u) （b = lim(x→a)g(x)）2. 导数与微分导数与微分是高数中的重要概念，其应用广泛，以下是一些与导数和微分相关的公式：- 导数的定义：函数 f(x) 在点 x 处的导数为 f'(x)，表示函数在该点处的变化率。

f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)]/h （h 为无穷小量）- 常用的导数公式：- 基本导数：- d/dx (k) = 0 （常数求导）- d/dx (x^n) = nx^(n-1) （幂函数求导）- d/dx (e^x) = e^x （指数函数求导）- 导数的四则运算法则：- (f ± g)' = f' ± g'- (f · g)' = f' · g + f · g'- (f / g)' = (f'g - fg') / g^2 （前提是g ≠ 0）- 微分的定义：函数 y = f(x) 在点 x 处的微分为 dy，表示 y 的增量。

大一下高数重要知识点一、导数与微分1. 定义：导数的概念与定义2. 基本导数公式：常见函数的导数计算3. 导数的运算法则：和差法则、积法则、商法则4. 高阶导数：二阶导数、高阶导数的定义与计算5. 隐函数求导：隐函数求导的方法与步骤6. 微分的概念：微分与导数的关系、微分的计算二、不定积分与定积分1. 不定积分的定义：不定积分的概念与符号表示2. 基本积分公式：常见函数的不定积分计算3. 分部积分法：分部积分法的原理与应用4. 替换法：换元积分法的方法与技巧5. 定积分的定义：定积分的概念与符号表示6. 定积分的性质：定积分的几何意义与性质7. 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分的关系三、微分方程1. 微分方程的概念：微分方程的含义与基本形式2. 一阶微分方程：可分离变量微分方程、线性微分方程3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程4. 常系数线性微分方程：特征方程与解的形式5. 非齐次线性微分方程的特解：常数变易法与待定系数法6. 变量可分离的微分方程：求解方法与实例分析四、级数1. 级数的概念：级数与数列的关系、级数的收敛与发散2. 通项公式与部分和公式：求级数的通项公式与部分和公式3. 常见级数：几何级数、调和级数、幂级数4. 收敛判别法：比值判别法、根值判别法、积分判别法5. 幂级数的收敛半径：幂级数的收敛域与收敛半径的计算五、多重积分1. 二重积分的概念：二重积分的几何意义与计算方法2. 二重积分的性质：二重积分的可加性与线性性3. 二重积分的换元法：二重积分中的极坐标与其他变换4. 三重积分的概念：三重积分的几何意义与计算方法5. 三重积分的性质：三重积分的可加性与线性性6. 三重积分的直角坐标系和柱坐标系计算：三重积分的计算方法与步骤以上是大一下高数的重要知识点，掌握了这些知识点，将对后续的高等数学学习奠定扎实的基础。

希望你能够认真学习、理解并运用这些知识，取得优秀的成绩！。