创新设计高中数学苏教选修21习题：第2章 圆锥曲线与方程 章末复习提升

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2， F1， F2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x 、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为 是抛物线 y 2 ＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x ＋y ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )， 4 3A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法， 其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．22 例 5 已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆 x y ＝ 1 M 是椭圆上的动点，求25＋ 9 内的两定点，点MA ＋ MB 的最值．2 y 2例 6 已知 F 1、 F 2 为椭圆 x ＋ 2 ＝ 1 的上、下两个焦点， AB 是过焦点 F 1 的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为 x 2 y 2a 2－b 2＝ 1 (a>0，b>0) ． c∵ e ＝ ＝ 2，∴ c ＝ 2a.由双曲线的定义，得 |PF 1－ PF 2|＝ 2a ＝ c ，在△ PF 1F 2 中，由余弦定理，得：F 1 F 22＝ PF 21＋ PF 22－ 2PF 1·PF 2cos 60 °＝ (PF 1－ PF 2)2＋ 2PF 1·PF 2(1－ cos60 )°，即 4c 2＝ c 2 ＋PF 1·PF 2.①又 S △ PF 1F 2＝ 12 3，1∴ 2PF 1·PF 2sin 60 ＝°12 3，即 PF 1·PF 2＝ 48.②由①②，得 c 2＝ 16， c ＝ 4，则 a ＝ 2， b 2＝ c 2－ a 2＝ 12，2 2 ∴所求的双曲线方程为x － y ＝ 1. 4 12例 2 (1) 解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为： y ＝ k(x －2) ．把 y ＝ k(x － 2)代入 y 2 ＝2x ， 2 2 2 2＝0，消去 y 得 k x － (4k ＋ 2)x ＋ 4k 因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k 2≠0且 ＝ (4k 2＋ 2)2－ 16k 4＝ 16k 2＋ 4>0 ，2 x 1x 2＝ 4， x 1＋ x 2＝ 4＋ k 2，∵ M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21 ·y 22＝ 4x 1·x 2＝ 16，而y 1·y 2<0 ，∴ y 1y 2＝－ 4.→ →， y 2)，（ 2）证明 ∵OM (x 1， y 1 )， ON ＝(x 2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ k从而 k OM＝k2－ 1k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2＋ y2＝1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， F1， F2为左、右焦点， P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 12 3，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x、 y来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为是抛物线 y 2＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x 4 ＋y3 ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )，A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法，其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．x2y2例 5已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆25＋9＝ 1 内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋ MB 的最值．例 6已知F、F2y2AB 是过焦点 F的一条动弦，为椭圆 x ＋＝ 1 的上、下两个焦点，1221求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)．c∵ e＝a＝ 2，∴ c＝ 2a.得 |PF1－ PF2|＝ 2a＝ c，在△ PF1F2中，由余弦定理，得：F1 F22＝ PF21＋ PF22－ 2PF1·PF2cos 60 °＝(PF1－ PF2)2＋ 2PF1·PF2(1－ cos60 )°，即 4c2＝ c2＋PF1·PF2.①又 S△ PF1F2＝ 12 3，1∴2PF1·PF2sin 60 ＝°12 3，即 PF1·PF2＝ 48.②由①②，得c2＝ 16， c＝ 4，则 a＝ 2， b2＝ c2－ a2＝ 12，∴所求的双曲线方程为x2－y2＝ 1.4 12例 2 (1) 解过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y＝ k(x －2) ．把 y＝ k(x － 2)代入 y2＝2x，消去 y 得 k2x2－ (4k2＋ 2)x＋ 4k2＝0，因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝ 4， x1＋ x2＝ 4＋k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y21·y22＝ 4x1·x2＝ 16，而 y1·y2<0 ，∴ y1y2＝－ 4.（ 2）证明→→， y2)，∵OM(x1， y1 )， ON ＝(x2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ kk2－ 1从而 k OM＝k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以 (2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2y2＋＝ 1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.。

2.6.2 求曲线的方程课时目标 1.掌握求轨迹方程成立坐标系的一般方式，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常常利用方式．1．求曲线方程的一般步骤 (1)成立适当的____________；(2)设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y)； (3)列出符合条件p(M)的方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为____________；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线方程(轨迹方程)的常常利用方式有直接法、代入法、概念法、参数法、待定系数法．一、填空题1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是______________． 2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是______________． 3．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________． 4．抛物线的极点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线核心到极点的距离为3，则抛物线的方程为____________．5.设过点P （x,y ）的直线别离与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交与A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是________________________．6．到直线x －y ＝0与2x ＋y ＝0距离相等的动点轨迹方程是________________． 7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________________．8.直角坐标平面xOy 中，若定点A （1,2）与动点P （x,y ）知足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________________________． 二、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．10．已知△ABC 的两极点A 、B 的坐标别离为A(0,0)，B(6，0)，极点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．能力提升11.如图，已知点F （1,0），直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. 求动点P 的轨迹C 的方程．12.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P别离作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝2PN.试成立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明．2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．3．求出轨迹方程时，易轻忽对变量的限制条件，在化简变形的进程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．2．求曲线的方程知识梳理1．(1)坐标系(4)最简形式作业设计1．x＝0(0≤y≤3)解析直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．2．x2＋y2＝1(x≠±1)解析设P(x，y)，则k P A＝yx＋1，k PB＝yx－1，所以k P A·k PB＝yx＋1·yx－1＝－1.整理得x2＋y2＝1，又k P A、k PB存在，所以x≠±1.故所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)． 3．y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)解析 设动圆圆心为M (x ，y )，动圆半径为r ，则定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝2. 由题设得MC ＝2＋r ，又r ＝|x |.∴MC ＝2＋|x |，故(x －2)2＋y 2＝2＋|x |， 化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x >0时，y 2＝8x ； 当x <0时，y ＝0，当x ＝0时，不符合题意． ∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)． 4．y 2＝12x 或y 2＝－12x解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，又抛物线的核心到极点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x . x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)解析 如图所示，若P (x ，y )，设A (x 1,0)，B (0，y 2)，因为B P →＝2P A →， 所以(x ，y －y 2) ＝2(x 1－x ，－y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1－2x ；y －y 2＝－2y . ∴x 1＝32x ，y 2＝3y .因此有A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ， OQ ＝(－x ，y )，OQ AB •＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．6．x 2＋6xy －y 2＝0解析 设该动点坐标为(x ，y )， 则|x －y |2＝|2x ＋y |5，化简得x 2＋6xy －y 2＝0.7．射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1. 8．x ＋2y －4＝0解析 由OP OA •＝4知，x ＋2y ＝4， 即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0. 9．解 方式一 直接法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)，则MP ＝12OC ＝12，由两点间距离公式得方程(x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方式二 概念法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC ＝90°，设OC 中点为M (12，0)，所以PM ＝12OC ＝12，所以动点P 在以M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x －12)2＋y 2＝14.因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方式三 代入法：如图所示，设OQ 为过点O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，设Q (x 1，y 1)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为点Q (x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1－1)2＋y 21＝1. 将⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，代入上式得(2x －1)2＋(2y )2＝1， 即(x －12)2＋y 2＝14，又因为OQ 为过O 的一条弦， 所以0<x 1≤2，所以0<x ≤1，因此所求轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方式四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1， 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0.设方程(1＋k 2)x 2－2x ＝0的两根为x 1，x 2，所以x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2.消去参数k 得：x 2－x ＋y 2＝0，所以，所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 10．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，极点C的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵极点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 11．解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →得 (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简得C ：y 2＝4x .所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . 12.解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，成立如图所示的坐标系，则O 1 (－2,0)，O 2(2,0)． 由已知PM ＝2PN ， ∴PM 2＝2PN 2.又∵两圆的半径均为1，∴PO 21－1＝2(PO 22－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33 (或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．。

2.4.2 抛物线的几何性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方式.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无穷延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)极点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的极点为______________．(4)离心率：抛物线上的点到核心的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．(5)抛物线的核心到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，极点到准线的距离为p2，核心到极点的距离为________．2．抛物线的核心弦设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过核心的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．(1)以AB为直径的圆与准线________．(2)AB＝__________(核心弦长与中点坐标的关系)．(3)AB＝x1＋x2＋______.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.一、填空题1．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为极点且过A，B的抛物线标准方程是______________________．2．抛物线y2＝2px (p>0)上横坐标为4的点到核心的距离为5，则此抛物线核心和准线之间的距离是________．3．若过抛物线x2＝－2py (p>0)的核心且垂直于对称轴的弦长为6，则其核心坐标是__________．4．若抛物线y 2＝2px 的核心与椭圆x 26＋y 22＝1的右核心重合，则p 的值为________． 5．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的核心，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积为________．6．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的核心到该直线的距离为______．7.设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x 的核心，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为______________．8．已知点Q(4,0)，P 为y 2＝x ＋1上任意一点，则PQ 的最小值为________．二、解答题9．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．10.已知抛物线y2＝2px (p>0)的一条过核心F的弦AB被核心F分成长度为m，n的两部份．求证：1m＋1n为定值．能力提升11．设抛物线y2＝8x的核心为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若是直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.12．已知直线l通过抛物线y2＝4x的核心F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若AF＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．研究抛物线的性质要结合概念，理解参数p 的几何意义，注意抛物线的开口方向．2．解决过核心的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意核心弦，焦半径公式的应用．解题时注意整体代入的思想，可使运算、化简简便．3．与抛物线有关的最值问题具有概念背景的最值问题，可以转化为几何问题；一般方式是成立目标函数，求函数的最值． 2． 抛物线的几何性质知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴(3)极点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p 22．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2 作业设计1．y 2＝±36x 解析 易求得A ，B 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，±12或⎝⎛⎭⎫－32，±12，又由题意可设抛物线标准方程为y 2＝±2px (p >0)，将A ，B 的坐标代入即可求得．2．2解析 由抛物线的概念可知抛物线上的点到核心的距离等于到准线的距离，故4＋p 2＝5，p ＝2，此抛物线核心和准线之间的距离为p ＝2.解析 易知弦的两头点的坐标别离为⎝⎛⎭⎫－p ，－p 2，⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，则有2p ＝6，p ＝3.故核心坐标为⎝⎛⎭⎫0，－32. 4．4解析 椭圆x 26＋y 22＝1的右核心为(2,0)，即p 2＝2，得p ＝4. 5．2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)．∴AB ＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的核心坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.7．(1,2)或(1，－2)解析设A （x 0,y 0）,F(1,0),OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →•AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)．∴x 0＝1，y 0＝±2.解析 设点P (x ，y )．∵y 2＝x ＋1，∴x ≥－1. ∴PQ ＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋x ＋1＝x 2－7x ＋17＝⎝⎛⎭⎫x －722＋194. ∴当x ＝72时，PQ min ＝192. 9．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ， 其准线方程为y ＝－14m . 由题意知－14m ＝－2或－14m＝4， 解得m ＝18或m ＝－116. 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .10．证明 若AB ⊥x 轴，直线AB 的方程为x ＝p 2， 则A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴m ＝n ＝p ， ∴1m ＋1n ＝2p， 若AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则m ＝AF ＝x 1＋p 2，n ＝BF ＝x 2＋p 2. 将AB 方程代入抛物线方程，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0. ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24， ∴1m ＋1n ＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝2p . 故1m ＋1n为定值．解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴PF ＝x 0＋2＝8.12．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，核心F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．别离过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的概念可知，AF ＝x 1＋p 2， 从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ， 消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2. 由抛物线的概念可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时AB ＝4，所以，AB ≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。

[自我校对]①x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)②y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)③(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0)④2a⑤2b⑥(－c,0)，(c,0)⑦2c⑧c a⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) ⑩y ＝±b a x⑪y ＝±a b x⑫y 2＝±2px (p ＞0) ⑬x 2＝±2py (p ＞0) ⑭⎝⎛⎭⎫±p2，0 ⑮y ＝±p 2⑯PF d＝e应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A (4,0)，B (2,2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求MA ＋MB 的最大值与最小值． 【精彩点拨】 A (4,0)为椭圆的右焦点，B 为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．【规范解答】 如图所示，由题意，知点A (4,0)恰为椭圆的右焦点，则A 关于O 的对称点为A 1(－4,0)(左焦点)．由椭圆的定义，得MA ＋MA 1＝2a ，∴MA ＝2a －MA 1， ∴MA ＋MB ＝(2a －MA 1)＋MB ＝2a ＋(MB －MA 1)．∵|MB －MA 1|≤A 1B ＝210，即－210≤MB －MA 1≤210，又2a ＝10，∴MA ＋MB 的最大值是10＋210，最小值为10－210.[再练一题]1．双曲线16x 2－9y 2＝144的左、右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝64，求△PF 1F 2的面积．【解】 双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为x 29－y 216＝1，即a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，解得a ＝3，c ＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由双曲线的定义， 可知|m －n |＝2a ＝6， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(m －n )2＋2mn －4c 22mn ＝36＋2×64－4×252×64＝12，所以∠F 1PF 2＝60°.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12m ·n ·sin 60°＝163，所以△PF 1F 2的面积为16 3.1.且充分理解题意，大都可以顺利求解．2．待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是： (1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型； (2)设方程：根据方程的类型，设出方程； (3)求参数：利用已知条件，求出a ，b 或p 的值； (4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程．【精彩点拨】 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解． 【规范解答】 因为c ＝9－4＝5，所以所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝c a ＝55，c ＝5，所以a ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝20，所以所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.[再练一题]2．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的焦半距长为c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为________. 【导学号：09390066】【解析】 如图，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OE ＝34c ，AB ＝a 2＋b 2＝c .由于AB ·OE ＝OA ·OB ，∴c ·34c ＝ab ，∴34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同时除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0，∴b a ＝3或b a ＝33(舍去)． ∴e ＝c a＝a 2＋b 2a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.【答案】 2若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B 的轨迹方程． 【精彩点拨】 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解． 【规范解答】 法一(直接法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示：即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)． 法二(定义法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知，CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝⎛⎭⎫12，0， 则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)． 法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1， 所以(2x －1)2＋(2y )2＝1. 即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)． 法四(交轨法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立，消去k 即得其交点轨迹方程y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)， 显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14， 故⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)即为所求． [再练一题]3．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程．【解】 设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. 又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上， ∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2. ∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.1.定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．2．直线l 截圆锥曲线所得的弦长AB ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．如图2-1所示，O 为坐标原点，过点P (2,0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．图2-1(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON .【精彩点拨】 设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解． 【规范解答】 (1)过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －2)． (2)把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得 k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0， x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M ，N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1x 2＝16， 而y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－4.(3)∵OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4－4＝0， ∴OM →⊥ON →，∴OM ⊥ON . [再练一题]4．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截线段的中点坐标．【解】 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0， ∴x 1＋x 2＝3，∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65.(1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【精彩点拨】 联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值【规范解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2，所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x . [再练一题]5.如图2-2，已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若AF ＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 长的最小值．图2-2【解】 (1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设A (x 1，y 1)，则由抛物线的定义，可知AF ＝x 1＋1＝4，∴x 1＝3，代入y 2＝4x 中，得y 21＝4×3，即y 1＝±23，故A 点的坐标为(3，±23)．(2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时AB ＝4， ∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.1.函数关系，利用函数思想来处理这类问题是常用的方法，如解析几何中的最值问题、参数取值范围问题都可用函数思想来处理．2．由于在解析几何中大多数题目都是以方程的形式给出直线和圆锥曲线，因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题．一般是将直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而去解决与“距离”“中点”有关的问题．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【精彩点拨】 (1)由P A ⊥PF 得P 点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P 点的坐标．(2)由M 到直线AP 的距离等于MB ，求出M 点坐标，将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.消去y 整理得2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，532.(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.[再练一题]6．已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点)，求椭圆的方程.【导学号：09390067】【解】由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2，x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y ，整理得(a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b2. 又设AB 的中点M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝4a 2a 2＋4b 2，y M ＝－12x M ＋2＝8b 2a 2＋4b 2.∵直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝12，∴2b 2a 2＝12，∴a 2＝4b 2， 从而x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2＝4，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b2＝8－2b 2. 又∵AB ＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52×16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝16，故所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．【解析】 由双曲线的标准方程，知a 2＝7，b 2＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝10，所以c ＝10，从而焦距2c ＝210.【答案】 2102.如图2-3，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.图2-3【解析】 将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2.又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c ＋32a ⎝⎛⎭⎫c －32a ＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．【答案】633．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】 由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0， 解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 64．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，FM ＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围． 【解】 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，以上两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由FM ＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0， 于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233.。

2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－423∪⎝⎛⎭⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， (当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如P A ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时P A ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如P A 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27. 4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0. 由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________． 答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0， 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c2a 2，∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________． 答案3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________． 答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )， ∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0) 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________． 答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)． 如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 由此解得k ＝23或k ＝38.二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围是(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝432.13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程． 解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得(2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1.又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1. ∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1，∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0. ∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0， 即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1，解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1.三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.15．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0. ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2.∴1a 2＋1b2等于定值． (2)解 ∵e ＝ca ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量．若直线l 1∥l 2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0， ∴y ＝12.8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行， ∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)， n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0， ∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________. 答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5. 二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)． 所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)， 所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0， AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ， 所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

第 2 章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义 .2.能依据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可当作一条直线绕着与它订交的另一条直线 l(两条直线不相互垂直 )旋转一周所形成的曲面．此中直线 l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，可是圆锥极点的截面与轴π所成的角为α，则 α＝ 2时，截线的形状是圆；当πθ<α<时，截线的形状是椭圆；20≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝ θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内到 ______________________________ 等于常数 (大于 F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点 F 1， F 2 叫做椭圆的 ________．两焦点间的距离叫做椭圆的 ________．4．双曲线的定义平面内到 ____________________________________________ 等于常数 (小于 F 1F 2 的正数 ) 的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F 1， F 2 叫做双曲线的 ________，两焦点间的距离叫做双曲线的 ________．5．抛物线的定义平面内 __________________________________________________________ 的轨迹叫做抛物线， ________叫做抛物线的焦点，__________ 叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为 ____________ ．一、填空题1．已知 A －1， 0 ，B 是圆 F ： x －1 2＋ y 2＝ 4 (F 为圆心 )上一动点，线段AB 的垂直22均分线交 BF 于 P ，则动点 P 的轨迹为 ________．2．方程 5 (x ＋2) 2＋ (y － 1)2＝ |3x ＋ 4y － 12|所表示的曲线是 ________．3． F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上任一点，从焦点 F 2 向△F 1MF 2极点 M 的外角均分线引垂线，垂足为P ，延伸 F 2P 交 F 1M 的延伸线于G ，则 P 点的轨迹为__________( 写出全部正确的序号 )．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上随意一点PP′，则线段PP′的中点 M 的轨迹是 ____________ ．5．一圆形纸片的圆心为O，点 Q 是圆内异于O 点的必定点，点A 纸片折叠使点 A 与点 Q 重合，而后抹平纸片，折痕CD 与 OA 交于P 向 x 轴作垂线段是圆周上一点，把P 点．当点 A 运动时点P 的轨迹是________．6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x＋ 5＝ 0 的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．7．已知两点F1(－ 5,0)， F2(5,0) ，到它们的距离的差的绝对值是 6 的点M的轨迹是__________．8．一动圆与⊙C1： x2＋ y2＝ 1外切，与⊙C2： x2＋ y2－8x＋ 12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为 ______________ ．二、解答题9．已知圆 A ：(x＋ 3)2＋ y2＝ 100，圆 A 内必定点 B(3,0) ，动圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，求证：圆心 P 的轨迹是椭圆．110.已知△ ABC 中， BC ＝ 2，且 sin B － sin C＝2sin A ，求△ ABC 的极点 A 的轨迹．能力提高11．如下图，在正方体 ABCD — A 1B1C1D 1中， P 是侧面 BB 1C1C 内一动点，若 P 到直线BC 与直线 C1D1的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ________(写出正确的全部序号 )．①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．12.如下图，已知点P 为圆 R：(x＋ c)2＋ y2＝ 4a2上一动点， Q(c,0) 为定点 (c>a>0，为常数 )， O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直均分线与直线RP 的交点 M 的轨迹．1．椭圆定义中，常数 >F1 F2不行忽略，若常数 <F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.2．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以 F1、 F2为端点的两条射线．3．抛物线定义中F?l ，若 F∈ l ，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l 的直线．第 2 章圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线知识梳理3．两个定点4．两个定点F1， F2的距离的和焦点F1， F2距离的差的绝对值焦距焦点焦距5．到一个定点 F 和一条定直线l(F不在l 上 )的距离相等的点定点F定直线l6．圆锥曲线作业设计1．椭圆分析由已知，得PA＝ PB， PF＋BP ＝ 2，∴PA＋ PF＝2，且 PA＋PF>AF ，即动点 P 的轨迹是以 A 、 F 为焦点的椭圆．2．抛物线分析由题意知(x＋ 2)2＋ (y－ 1)2|3x＋ 4y－ 12|＝.5左边表示 (x，y)到定点 (－ 2,1)的距离，右边表示(x ，y)到定直线3x＋ 4y－12＝ 0 的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①分析∵∠ F2MP ＝∠ GMP ，且 F2P⊥ MP，∴F2P＝ GP， MG ＝ MF 2.取 F1F2中点 O，连接 OP，则OP 为△ GF1F2的中位线．11∴ OP＝ F1G＝ (F1 M ＋MG)221＝2(F1 M ＋MF 2)．又 M 在椭圆上，∴ MF1＋ MF 2＝常数，设常数为 2a，则 OP＝ a，即 P 在以 F1 F2的中点为圆心， a 为半径的圆上．4．椭圆5．椭圆6．抛物线分析由题意知P 到 F 的距离与到直线x＝－ 4 的距离相等，因此点 P 的轨迹是抛物线．7．双曲线8．双曲线的一支9．证明设PB＝r.∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝ 10－ r，即 PA＋ PB＝ 10(大于 AB) ．∴点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆．10．解由正弦定理得：sin A ＝a， sin B＝b， sin C＝c.2R2R2R1代入 sin B － sin C＝2sin A得： b－ c＝12a，即 b－ c＝ 1，即 AC－AB ＝ 1 (<BC)∴ A 的轨迹是以B、 C 为焦点且凑近 B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．11．④分析∵ D1C1⊥面 BCC1B 1， C1P? 平面 BCC1B1，∴ D1C1⊥ C1P，∴点 P 到直线 C1D1的距离即为 C1P 的长度，由题意知，点P到点 C1的距离与点 P 到直线 BC 的距离相等，这恰切合抛物线的定义．12．解由题意，得 MP＝ MQ ，RP＝ 2a.MR －MQ ＝MR － MP＝ RP＝ 2a<RQ＝ 2c.∴点 M 的轨迹是以 R、Q 为两焦点，实轴长为 2a 的双曲线右支．。

圆锥曲线定义的应用要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB 的最大值与最小值．【思路点拨】A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．【规范解答】如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(－4,0)(左焦点)．由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1，∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)．∵|MB －MA 1|≤A 1B ＝210，即－210≤MB －MA 1≤210，又2a ＝10，∴MA ＋MB 的最大值是10＋210，最小值为10－210.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AK ＝2AF ，求△AFK 的面积．【解】 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)， ∵AK ＝2AF ，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4. ∴△AFK 的面积为12KF ·|y 0|＝12×4×4＝8.圆锥曲线的标准方程和几何性质圆锥曲线的方程，重在考查基础知识、基本思想方法，属容易题，其中对离心率的考查是重点．(2013·浙江高考改编)如图2－1，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．图2－1【思路点拨】由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．【解析】由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca ＝62.【答案】6 2已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．【解析】由题意知双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．由双曲线的两条渐近线均与圆C相切可知直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2. ①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.【答案】 x 25－y 24＝1直线与圆锥曲线章最常见，同时也是最重要的综合问题，它主要分为交点个数、弦长、中点、垂直、对称、定值、最值、范围等问题，解决这些问题的方法是：(1)利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式；(2)利用设而不求、整体代入，包括点差法；(3)解方程组，求出交点坐标；(4)利用定义．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 【思路点拨】联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值【规范解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m .得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2[4m 225－45(m 2－1)] ＝2510－8m 2，所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x .圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率为22，若C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为圆C 1的直径，求线段AB 的方程和椭圆C 2的方程．【解】 由e ＝22，得a 2＝2c 2＝2b 2， ∴椭圆C 2的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由圆心(2,1)， 得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b2＝1，相减整理，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 从而y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴直线方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3x 22b 2＋y 2b 2＝1⇒3x 2－12x ＋18－2b 2＝0. ∵直线AB 与椭圆相交． ∴Δ>0，即b 2>3. 由AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×42－4×18－2b 23＝2203，得b 2＝8.∴a 2＝16.∴椭圆方程为x 216＋y 28＝1.动点轨迹方程的求法满足已知曲线的定义，若符合，就可直接利用已知的曲线方程比较简捷；若动点所满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点所满足的条件不明了，但与之相关的另一个点所满足的条件明了，我们就使用代入转移法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B的轨迹方程．【思路点拨】 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解．【规范解答】 法一 (直接法)设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (定义法)设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交轨法)设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)， 显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⊥PM ，PM →＝－32MQ →.当点P 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，P (0，b )，Q (a,0)，其中a >0， 则PM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )． ∵PM →＝－32MQ →，即(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴y －b ＝－32(－y )，b ＝－y2.∴PH →＝(－3，y 2)，PM →＝(x ，32y )．∵PH ⊥PM ，∴PH →·PM →＝0，即－3x ＋y 2·3y2＝0，整理得y 2＝4x ，∴动点M 的轨迹方程为y 2＝4x .函数与方程思想入手，通过联想与类比，将题目的条件转化为方程或方程组，然后通过方程或方程组从而使问题获解．本章中函数与方程思想应用广泛，尤其是方程思想，在讨论直线与圆锥曲线问题时，应用广泛．点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【思路点拨】 (1)由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P 点的坐标． (2)由M 到直线AP 的距离等于MB 求出M 点坐标，将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.则2x 2＋9x －18＝0.解得x ＝32，或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是(32，532)．(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.图2－2如图2－2所示，已知正方形ABCD 的两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝x 上，C ，D 在直线l ：y ＝x ＋4上，求正方形的面积．【解】 法一 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，正方形的边长为d ，则D (y 22－2d ，y 2)，C (y 21，2d ＋y 1)，C ，D 在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝y 22－2d ＋4，①y 1＋2d ＝y 21＋4，②(y 21－y 22)2＋(y 1－y 2)2＝d 2，③由①②可知y 1，y 2都是t 2－t ＋4－2d ＝0的实数根， 所以y 1＋y 2＝1，y 1·y 2＝4－2d .∴y 1－y 2＝y 21－y 22，④将④代入③，得(y 1－y 2)2＝12d 2，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12d 2即1－4(4－2d )＝12d 2，所以d 2－82d ＋30＝0，(d －32)(d －52)＝0， 解得d 2＝18或d 2＝50.从而正方形ABCD 的面积为18或50. 法二 设正方形ABCD 的边长为d ， 则直线AB 的方程为y ＝x ＋4－2d ，所以有方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4－2d ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－y ＋4－2d ＝0， 弦长AB ＝(1＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝2(1－16＋42d )＝82d －30，令82d －30＝d ，则d 2－82d ＋30＝0，以下同解法一． 综合检测(二)第2章 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·大连高二检测)双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程是________．【解析】 由题意知双曲线焦点在x 轴上a ＝3，b ＝2， ∴渐近线方程y ＝±23x .【答案】 y ＝±23x2．已知抛物线C 与椭圆x 25＋y 24＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的标准方程是________．【解析】 ∵抛物线的焦点为(±1,0)，∴抛物线的方程为y 2＝±4x . 【答案】 y 2＝±4x3．(2013·合肥高二检测)方程x 2(a －1)2＋y 2a 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．【解析】 (a －1)2>a 2，a 2－2a ＋1>a 2，a <12，又∵(a －1)2≠0，a 2≠0， ∴a ∈(－∞，0)∪(0，12)．【答案】 (－∞，0)∪(0，12)4．以x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．【解析】 对于双曲线：a 1＝2，c 1＝4，∴对于椭圆：a 2＝4，c 2＝2，∴椭圆方程为：x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝15．过已知点P (3,0)且与抛物线x 2＝4y 只有一个公共点的直线有________条． 【解析】 数形结合知：有两条切线，一条对称轴的平行线．【答案】 36．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点坐标为(0,4)，则实数k 的值为________． 【解析】 椭圆方程可化为：x 212k ＋y 21k ＝1(k ＞0)．∴c 2＝1k －12k ＝16，∴k ＝132.【答案】1327．(2013·广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝18．下列双曲线中离心率为62的是________．①x22－y24＝1；②x24－y22＝1；③x24－y26＝1；④x24－y210＝1.【解析】由e＝62得c2a2＝32，即1＋b2a2＝32，b2a2＝12，则只有②正确．【答案】②9．(2012·全国新课标改编)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝43，则C的实轴长为________．【解析】设等轴双曲线方程为x2－y2＝m(m>0)，抛物线的准线为x＝－4，由AB＝43，则|y A|＝23，把坐标(－4,23)代入双曲线方程得m＝x2－y2＝16－12＝4，所以双曲线方程为x2－y2＝4，即x24－y24＝1，所以a2＝4，a＝2，所以实轴长2a＝4.【答案】 4图110．(2012·福建高考改编)如图1，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，则抛物线E的方程为________．【解析】依题意知，OB＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OB sin 30°＝43，y＝OB cos 30°＝12.因为点B(43，12)在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.【答案】x2＝4y11．(2013·苏锡常镇四市检测)如图2，已知椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．图2【解析】 由BC ，OA 平行且相等及椭圆的对称性，可得点C 的横坐标为a2.由∠COx ＝∠OAB ＝30°，得C (a 2，3a 6)，代入椭圆的方程得14＋a 212b 2＝1，即a 2＝9b 2，则c 2＝a 2－b 2＝8b 2，故椭圆的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝8b 29b 2＝223. 【答案】232 12．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．【解析】 由抛物线定义知：点P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线的抛物线，故点P 的轨迹方程是y 2＝－8x . 【答案】 y 2＝－8x13．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】 设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )＞0，解得a ≥1.【答案】 [1，＋∞)14．老师在黑板上画出了一条曲线，让四名同学各回答一条性质，他们回答如下： 甲：曲线的对称轴为坐标轴；乙：曲线过点(0,1)； 丙：曲线一个焦点为(3,0)；丁：曲线的一个顶点为(2,0)．其中有一名同学回答是错误的，请写出该曲线的方程________．(只需写出一个方程即可)【解析】 当乙错时，则曲线可以为双曲线，c ＝3，a ＝2，∴b 2＝9－4＝5，方程为x 24－y 25＝1. 当丙错误时，曲线可以为椭圆，其中a ＝2，b ＝1，方程为x 24＋y 2＝1.当丁错误时，曲线可以为椭圆，其中c ＝3，b ＝1， ∴a 2＝c 2＋b 2＝10， 方程为x 210＋y 2＝1.【答案】 x 210＋y 2＝1或x 24＋y 2＝1或x 24－y 25＝1(只需写出一个方程即可)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2013·西安高二检测)若椭圆经过M (－2，3)和N (1,23)，求椭圆的标准方程．【解】 设所求的椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， 因为椭圆过M (－2，3)，N (1,23)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋3n ＝1m ＋12n ＝1，得⎩⎨⎧m ＝15n ＝115.所求椭圆方程为x 25＋y 215＝1.16．(本小题满分14分)(2012·安徽高考)如图3，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．图3【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以S △AF 1B ＝12|F 1F 2|(y A －y B )＝835c 2＝403，∴c ＝5，故a ＝10，b ＝5 3.法二 设AB ＝t .因为AF 2＝a ，所以BF 2＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.17．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P (32，6)，求抛物线的方程和双曲线的方程．【解】 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P (32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P (32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝14b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去).∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分16分)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 19．(本小题满分16分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．【解】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .∴PM 2＝x 2＋(y －32)2＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，PM 2最大，即(b ＋32)2＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，PM 2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.20．(本小题满分16分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点， (1)若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？说明理由．【解】 (1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2＝1y ＝ax ＋1，消去y 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2x 1x 2＝－23－a2Δ＝(－2a )2＋8(3－a 2)>0由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA →⊥OB →， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，得到(a 2＋1)×－23－a2＋a ×2a3－a2＋1＝0，a 2<6，解得a ＝±1.(2)假定存在这样的a ，使A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．那么⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝13x 22－y 22＝1，两式相减得3(x 21－x 22)＝y 21－y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2.(*) 因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝12×x 1＋x 22y 1－y2x 1－x 2＝－2代入(*)式得到：－2＝6，矛盾．也就是说不存在这样的a ，使A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．。

第二章圆锥曲线与方程圆锥曲线双基达标(限时15分钟)1．已知定点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点M知足MF1＋MF2＝10，那么动点轨迹是________．解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，因此动点M轨迹是椭圆．答案椭圆2．已知点M(x，y)的坐标知足（x－1）2＋（y－1）2－（x＋3）2＋（y＋3）2＝±4，那么动点M的轨迹是________．解析点(x，y)到(1，1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1，1)与(－3，－3)距离为42，由概念知动点M的轨迹是双曲线．答案双曲线3．到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．答案两条射线4．假设点M到F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，那么点M的轨迹表示的曲线是________．解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线概念知，M点的轨迹是抛物线．答案抛物线5．以下说法中正确的有________．(填序号)①已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆②已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆③到点F1(－6，0)、F2(6，0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆④到点F1(－6，0)、F2(6，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应专门注意椭圆的概念的应用．①中|F1F2|＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F1、F2两点的距离之和8小于|F1F2|，故如此的点不存在．③中点(10，0)到F1、F1两点的距离之和为（10＋6）2＋02＋（10－6）2＋02＝20>|F1F2|＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故正确的选项是③.答案③6．已知动圆M过定点A(－3，0)，而且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判定动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，因此MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，因此MA＋MB＝8，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．综合提高限时30分钟7．△ABC中，假设B、C的坐标别离是(－2，0)，(2，0)，中线AD的长度为3，那么A点的轨迹方程是________________________________________________________．解析∵B(－2，0)，C(2，0)，∴BC的中点D(0，0)设A (x ，y )，又∵AD ＝3，∴x 2＋y 2＝3(y ≠0)因此A 点的轨迹方程x 2＋y 2＝9(y ≠0)．答案 x 2＋y 2＝9(y ≠0)8．已知动点M 的坐标知足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，那么动点M 的轨迹是__________． 解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为核心，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．答案 抛物线9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．假设点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，那么动点P 的轨迹是__________．解析 点P 到直线C 1D 1的距离确实是点P 到点C 1的距离，因此动点P 的轨迹确实是动点到直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部份．答案 抛物线的一部份10．已知点A (－1，0)、B (1，0)．曲线C 上任意一点P 知足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.那么曲线C 的轨迹是______．解析 由PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0，得|PA →|＋|PB →|＝4，且4>AB .故曲线C 的轨迹是椭圆．答案 椭圆11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A (2，0)，求动圆圆心M 的轨迹．解设动圆M的半径为r，∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴MC＝r－2，MA＝r，∴MA－MC＝2，又∵AC＝4>2，∴点M的轨迹是以C、A为核心的双曲线的左支．12．如下图，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c，0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R、Q为两核心，实轴长为2a的双曲线右支．13．(创新拓展)设Q是圆x2＋y2＝4上的动点，点A(3，0)，线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P.当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹．解因为线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P，因此PA＝PQ.而半径OQ＝OP＋PQ，因此OP＋PA＝2，且2>3＝OA，故点P的轨迹为椭圆(除去与x轴相交的两点)．。

2．3 双曲线 2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．[知识链接]1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉．答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程要点一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9. (舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪演练1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1 (－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.要点二 由方程判断曲线的形状例2 已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin a >0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1.它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x 2和y 2的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定． 跟踪演练2 方程ax 2＋by 2＝b (ab <0)表示的曲线是____________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 原方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∵ab <0，∴ba <0，知曲线是焦点在y 轴上的双曲线．要点三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为 x 22－y 26＝1(x >2)． 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪演练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1．椭圆x 234－y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是________________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 3．过点(1,1)且ba ＝2的双曲线的标准方程是________________________．答案 x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝6，则动点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 29－y 216＝1(x ≥3)解析 根据双曲线的定义可得．1.双曲线定义中|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)不要漏了绝对值符号，当2a ＝F 1F 2时表示两条射线． 2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解．一、基础达标1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________．答案 4 3解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3. 2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案 m >－1解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，P A －PB ＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为________________． 答案 双曲线一支或一条射线解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时AB ＝10， ∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )．当a ＝5时，2a ＝10，此时AB ＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________． 答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有MB ＝r ，另设A (4，0)，则有MA ＝r ±4，即MA －MB ＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<AB ，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________． 答案 18解析 由双曲线定义可知AF 1＝2a ＋AF 2＝4＋AF 2； BF 1＝2a ＋BF 2＝4＋BF 2，∴AF 1＋BF 1＝8＋AF 2＋BF 2＝8＋AB ＝13. △AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝18.7．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形． 解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上； 当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)． 二、能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 (1,3)解析 将方程化为x 2k －1－y 23－k ＝1，若表示焦点在x 轴上的双曲线，则有k －1>0且3－k >0，即1<k <3.10．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的值为________． 答案 33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33. 又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33.11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m 的值．解 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7； (2)当焦点在y 轴上时，有m <0， 则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2； 综上，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．三、探究与创新13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23，又F 1F 2＝25， 因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212·MF 2·F 1F 2<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

章末复习学习目标1.梳理本章知识，整合知识网络.2.巩固圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质.3.能综合应用本章知识解决相关问题．1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)距离相等的点的轨迹 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1e ＝1 准线方程 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小2．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B 时，焦点在y 轴上；双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B <0时，焦点在x 轴上．(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)，然后建立方程求出参数p 的值． 3．圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离比等于常数e 的点的轨迹． 当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e ＞1时，表示双曲线；当e ＝1时，表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．(2)对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)对应的准线方程分别为x ＝－a 2c ，x ＝a 2c.1．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，P A －PB ＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线．(×) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(×)3．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1＜x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(√) 4．已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m ＞n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆．(×) 5．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116a .(√)类型一圆锥曲线的定义与标准方程例1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．考点椭圆的标准方程题点由椭圆的几何特征求方程答案x216＋y28＝1解析设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由e＝22，知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为AB＋BF2＋AF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.反思与感悟 1.涉及椭圆，双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决．2．涉及焦点，准线，离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题．3．求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．跟踪训练1抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是________．(填序号)①x1，x2，x3成等差数列；②y1，y2，y3成等差数列；③x1，x3，x2成等差数列；④y1，y3，y2成等差数列．答案①解析如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知：AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，CF ＝CC ′. ∵2BF ＝AF ＋CF ， ∴2BB ′＝AA ′＋CC ′.又∵AA ′＝x 1＋p 2，BB ′＝x 2＋p 2，CC ′＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，∴2x 2＝x 1＋x 3， ∴x 1，x 2，x 3成等差数列．类型二 圆锥曲线性质的应用例2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 答案 (1,3] 解析 如图所示，由PF 1＝2PF 2知P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ， 又PF 1＝2PF 2， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去． 跟踪训练2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是________．答案2解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1，即e 2＝2，因为e ＞1，所以双曲线的离心率e ＝ 2.类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题例3 已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当直线AB 与x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入椭圆方程x 2＋3y 2＝5，消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1·x 2＝3k 2－53k 2＋1.所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将上式整理，得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m2 ＝⎝⎛⎭⎫2m －13(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1). 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数， 从而有6m ＋14＝0，解得m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－1，233，⎝⎛⎭⎫－1，－233，当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝⎛⎭⎫－73，0，使MA →·MB →为常数． 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 在C 上且其横坐标为1，以F 为圆心、FP 为半径的圆与C 的准线l 相切． (1)求p 的值；(2)设l 与x 轴交点为E ，过点E 作一条直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距的取值范围．解 (1)因为以F 为圆心、FP 为半径的圆与C 的准线l 相切， 所以圆的半径为p ，即FP ＝p ， 所以FP ⊥x 轴，又点P 的横坐标为1， 所以焦点F 的坐标为(1,0)，从而p ＝2. (2)由(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为D (x 0，0)，则由DA ＝DB ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 得(x 1－x 0)2＋y 21＝(x 2－x 0)2＋y 22，化简得x 0＝x 1＋x 22＋2，①设直线AB 的方程为x ＝my －1，代入抛物线C 的方程， 得y 2－4my ＋4＝0，由Δ>0得m 2>1， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝4m ， 所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝4m 2－2，代入①得x0＝2m2＋1>3，故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).1．设双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．答案 2解析双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数，得a＝2.2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．答案x281＋y272＝1解析∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，∴2c＝13×2a＝6，∴c＝3，b2＝a2－c2＝72，故椭圆的方程为x281＋y272＝1.3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．答案x2＋y2＝4(x≠±2)解析点P的轨迹是以MN为直径的圆，又P为直角三角形的顶点，∴点P不能与M，N两点重合，故x≠±2.4.如图，已知椭圆的方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．答案223解析 由BC ，OA 平行且相等及椭圆的对称性，可得点C 的横坐标为a2.由∠COx ＝∠OAB ＝30°，得C ⎝⎛⎭⎫a 2，3a 6，代入椭圆的方程得14＋a 212b 2＝1，即a 2＝9b 2，则c 2＝a 2－b 2＝8b 2，故椭圆的离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝8b 29b 2＝223. 5．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________． 答案 2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P (8,1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0. 即直线方程为2x －y －15＝0.1．离心率的几种求法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法．(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系．2．在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略：(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理．(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解．一、填空题1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为________．答案抛物线解析由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，且点(0,3)不在直线y ＝－1上，根据抛物线的定义可知，圆心C 的轨迹为抛物线．2．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为4，经过点(0,2)，则该椭圆的方程为________． 答案 x 28＋y 24＝1解析 椭圆的焦距为4，所以2c ＝4，c ＝2.椭圆经过点(0,2)，根据椭圆的几何性质可知b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，则由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.3．下列曲线中离心率为62的是________．(填序号) ①x 22－y 24＝1；②x 24－y 22＝1；③y 24－x 22＝1；④x 24－k ＋y 22－k ＝1(2<k <4)． 答案 ②③解析 显然②③符合题意，①④不符合题意．4．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与曲线y 2＝4x 有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有________条． 答案 3解析 直线l 斜率不存在的时候有一条．斜率存在时，一条交线，一条切线，共3条．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－25，0)，右焦点F 2(25，0)，离心率e ＝52.若点P 为双曲线C 右支上一点，则PF 1－PF 2＝________. 答案 8解析 由题意得c ＝25，e ＝c a ＝52，∴a ＝4，PF 1－PF 2＝2a ＝8.6．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________． 答案 43解析 设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－43＋842＋32＝43. 7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是________． 答案 4 3解析 由题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， F (2,0)，那么直线l 的方程为x ＝2，把x ＝2代入渐近线方程可得y ＝±23， 故所求的三角形的面积为S ＝12×43×2＝4 3.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若AF ＝3，则BF ＝________. 答案 32解析 设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及BF ＝m ， 因为点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， 所以3＝2＋3cos θ⇒cos θ＝13.又m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，所以BF ＝32.9．已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为________． 答案 15解析 由题意得圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)， 那么AM →·AN →＝(CM →－CA →)·(CN →－CA →)＝CM →·CN →－CA →·(CM →＋CN →)＋CA →2＝－1＋CA →2， 显然A 取(－3,0)时CA →2取得最大值16， 此时AM →·AN →的最大值为－1＋16＝15.10．已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA ＋MF 取最小值时，点M 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，－2解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知MF ＝ME . 当点M 在抛物线上移动时，MF ＋MA 的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时， A ，M ，E 共线，此时ME ＋MA 最小， 把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－2. 11．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________． 答案 4解析 由已知可得AB ＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个． 二、解答题12．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，过O 作OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程． 解 由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2，又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵以AB 为直径的圆过点O ，∴OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5，y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0， ∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5)＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0，∴p ＝54， ∴抛物线的方程为y 2＝52x .13.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左顶点A 与上顶点B 的距离为 6.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＋b 2＝6，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 22＝1，即x 20＋2y 20＝4，∵A (－2,0)，∴直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，同理直线QA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2. 以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0，即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0， ∵x 20－4＝－2y 20，∴x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，得x 2－2＝0，解得x ＝±2， ∴以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)． 三、探究与拓展14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32解析 如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴4＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝2. 取M (0，b )，∵点M 到直线l 的距离不小于45，∴|4b |32＋42≥45，解得b ≥1. ∴e ＝ca＝1－b 2a2≤1－122＝32. 又∵0＜e ＜1，∴椭圆E 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.15.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)因为AB ＋AF 2＋BF 2＝8， 即AF 1＋F 1B ＋AF 2＋BF 2＝8， 而AF 1＋AF 2＝F 1B ＋BF 2＝2a ， 所以4a ＝8，解得a ＝2.又e ＝c a ＝12，所以c ＝12a ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， 所以m ≠0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，即4k 2－m 2＋3＝0.①此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m ，故P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m )． 假设在坐标平面内存在定点M 满足条件，由图形的对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足①式的m ，k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )， 所以由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0， 即(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.② 由②式对满足①式的m ，k 恒成立， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，得x 1＝1. 故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

《圆锥曲线与方程》知识系统整合规律方法收藏1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2—图形封闭图形无限延展，但有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个2．待定系数法求圆锥曲线的标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当1A>1B时，焦点在x轴上，当1A<1B时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．3．求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．4．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线问题，是高考对圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等．(2)直线与圆锥曲线问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．分析这类问题，往往利用“数形结合”的思想方法，或“设而不求”的方法求解．学科思想培优一、圆锥曲线的定义、方程及性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用． [典例1] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P (1，m )是抛物线C 上的一点，且|PF |＝2.(1)若椭圆C ′：x 24＋y 2n ＝1与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C ′的方程； (2)设抛物线C 与(1)中所求椭圆C ′的交点为A ，B ，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程．解 (1)P 到焦点距离等于P 到准线距离，所以|PF |＝1＋p2＝2，p ＝2， 故抛物线的方程为C ：y 2＝4x .又由椭圆C ′：x 24＋y 2n ＝1，可知4－n ＝1，所以n ＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x ，消去y 得到3x 2＋16x －12＝0，解得x 1＝23，x 2＝－6(舍去)．所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，236，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－236，则双曲线的渐近线方程为y ＝±6x .由渐近线6x ±y ＝0，可设双曲线方程为6x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 由点P (1，m )在抛物线C ：y 2＝4x 上， 解得m 2＝4，P (1，±2)，因为点P 在双曲线上，∴6－4＝λ＝2， 故所求双曲线方程为3x 2－y 22＝1.拓展提升(1)圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用．二、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系综合题，往往因综合性强，难度偏大，从而使很多同学遇到圆锥曲线题后感到无从下手，因此有些同学选择对其置之不理，先将其他题目完成后再做圆锥曲线题(考试过程中)，这样一由于时间紧张，二由于无从下手，三由于运算量大，有些同学不得不放弃，从而造成遗憾．实际上直线与圆锥曲线综合题的求解是有一定的规律可循的，如下规律不妨试一试，共分六步，每步都有一定的步骤得分，因此要求步骤要全且规范，争取做到能得分且得分．(1)引参，设直线或圆锥曲线方程，并设直线与圆锥曲线交点坐标，如A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(2)将直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去y (或x )得到关于x (或y )的方程f (x )＝0(或f (y )＝0)．此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程(这种情况应注意对二次项系数的讨论)，然后列出Δ>0及根与系数的关系．(3)试用A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)的坐标x 1，y 1，x 2，y 2表示题中条件，得条件式(*)．(4)利用点A ，B 在直线上，将条件式(*)中坐标进行统一，都转化为关于x 1，x 2(或y 1，y 2)的条件式(*)′.(5)对第二步应用根与系数的关系整体代入条件(*)′，求参或其他． (6)与Δ>0联系验证求解结果或其他．[典例2] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为45°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝214，求椭圆C 的方程． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为45°及AF →＝2FB →，可知y 1<0，y 2>0.直线l 的方程为y ＝x －c ，其中c ＝a 2－b 2，联立⎩⎨⎧y ＝x －c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2＋b 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0， 解得y 1＝－b 2(c ＋2a )a 2＋b 2，y 2＝－b 2(c －2a )a 2＋b2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2， 即b 2(c ＋2a )a 2＋b 2＝2×－b 2(c －2a )a 2＋b 2，求得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝2|y 2－y 1|，所以4ab 2a 2＋b2＝214， 由c a ＝23，得b ＝73a ，所以74a ＝214，得a ＝3，b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 27＝1. 拓展提升直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．三、圆锥曲线中的定点与定值问题解决定点与定值问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用．[典例3] 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0.若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上， 所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以A ，O ，C 三点共线，所以直线AC 经过原点O .[典例4] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值．解 (1)由题意得，a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积 S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值． 拓展提升圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．四、圆锥曲线中的最值(或范围)问题 1.最值问题的求解方法(1)建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．(2)建立不等式模型，利用基本不等式求最值．(3)数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．2.求参数范围的常用方法[典例5]设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A坐标为(－1,0)，如图．因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.＋由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24y 23＝1(y ≠0)．(2)解法一：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．解法二：设∠MBA ＝θ(θ∈(0，π))，则在△MAB 中运用余弦定理，有|MA |2＝|MB |2＋|AB |2－2·|MB |·|AB |·cos θ，结合|MA |＋|MB |＝4可解得|MB |＝32－cos θ.同理可得|NB |＝32＋cos θ，从而|MN |＝|MB |＋|NB |＝124－cos 2θ.此时直线PQ 的方程为x cos θ＝y sin θ＋cos θ. 于是圆的弦长|PQ |＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2cos θcos 2θ＋sin 2θ2＝44－cos 2θ.则四边形MPNQ 的面积S ＝12·|MN |·|PQ | ＝244－cos 2θ∈[12,83)，故四边形MPNQ 面积的取值范围是[12,83)． 拓展提升圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．五、圆锥曲线中的存在性问题 1．解决存在性问题的关注点求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 2．存在性问题的解题步骤[典例6] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3，④ 在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12. 由于A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1， 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．解法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)， 令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1， 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y 23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5， 则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)， 所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．拓展提升存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，学生应结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识有较高的要求．。

2．4 抛物线 2． 抛物线的标准方程[学习目标] 1.运用抛物线的定义推导标准方程.2.掌握抛物线的标准方程.3.会求抛物线的标准方程．[知识链接]1．抛物线定义中的定点F 若在定直线l 上，动点轨迹还是抛物线吗？ 答：不是．是过定点F 且与l 垂直的直线． 2．函数y ＝x 的图象是抛物线吗？答：不是．由于y 2＝x 的图象是抛物线，且由y 2＝x 得y ＝±x ，所以y ＝x 的图象是抛物线的一部分．[预习导引] 1．抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)(p2，0) x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)(－p2，0) x ＝p 2x 2＝2py (p >0)(0，p 2)y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)(0，－p 2)y ＝p 2要点一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解 (1)∵焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)∵焦点到准线的距离为52，∴p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪演练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 要点二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值，并求此时P 点坐标．解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求P A ＋PF 的最小值的问题可转化为求P A ＋d 的最小值的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知P A ＋PF ＝P A ＋d .由图可知，当P A ⊥l时，P A ＋d 最小，最小值为72.即P A ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．跟踪演练2已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．答案17 2解析如图，由抛物线定义知P A＋PQ＝P A＋PF，则所求距离之和的最小值转化为求P A＋PF的最小值，则当A、P、F三点共线时，P A＋PF取得最小值．又A(0,2)，F(12，0)，∴(P A＋PF)min＝AF＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.要点三抛物线的实际应用例3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝(m)．所以管柱OA 的长为1.8m.规律方法 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．跟踪演练3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，一木船宽4m ，高2m ，载货的木船露在水面上的部分为，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图)设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故：16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航． 设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2m 时，木船开始不能通航．1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝28x解析 抛物线开口向右，方程为y 2＝2px (p >0)的形式，又p2＝7，所以2p ＝28，方程为y 2＝28x .2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为________．答案 y 2＝±8x解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 2解析 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 、F 间的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 答案1516解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116，由于点M 到焦点距离为1， 所以M 到准线距离也为1， 所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).一、基础达标1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是________． 答案 (－2,0)解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．2．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是________． 答案 直线解析 设动点P 的坐标为(x ，y )． 则(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10. 整理，得x 2＋9y 2＋4x －12y －6xy ＋4＝0， 即(x －3y ＋2)2＝0，∴x －3y ＋2＝0. 所以动点P 的轨迹为直线．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，它与圆相切，所以必有p2＝1，p ＝2.4．抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________． 答案 (－716，0)解析 方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为(－716，0)．5．动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是________． 答案 抛物线解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x ＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线．6．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 54解析 ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.7．已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解 方法一 设动点M (x ，y )，设⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则MA ＝MN ，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， ∴p2＝3，∴p ＝6. ∴圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .方法二 设动点M (x ，y )，则点M 的轨迹是集合 P ＝{M |MA ＝MN }， 即(x －3)2＋y 2＝|x ＋3|，化简，得y 2＝12x .∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x . 二、能力提升8．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x . 9．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k 等于________． 答案 2解析 由抛物线C ：y 2＝8x 得焦点(2,0)，由题意可知：斜率k ≠0，设直线AB 为my ＝x －2，其中m ＝1k.联立⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝8x得到y 2－8my －16＝0，Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16. 又MA →＝(x 1＋2，y 1－2)，MB →＝(x 2＋2，y 2－2)，所以MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝(m 2＋1)y 1y 2＋(4m －2)(y 1＋y 2)＋20＝－16(m 2＋1)＋(4m －2)×8m ＋20＝4(2m －1)2. 由4(2m －1)2＝0，解得m ＝12.所以k ＝1m＝2.10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝________. 答案 8解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴PF ＝x 0＋2＝8.11．已知定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离．解 如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A 、B 、M 分别作AA ′、BB ′、MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′、B ′、M ′.由抛物线定义知AA ′＝F A ，BB ′＝FB .又M 为AB 中点，由梯形中位线定理得MM ′＝12(AA ′＋BB ′)＝12(F A ＋FB )≥12AB ＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1 (当且仅当AB 过抛物线的焦点时取“＝”)，所以d min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.12．一辆卡车高3m ，宽，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则⎝⎛⎭⎫a 22＝m ·⎝⎛⎭⎫－a 4，∴m ＝－a . 即抛物线方程为x 2＝－ay .将(，y )代入抛物线方程，得2＝－ay ， 即y ＝－2a. 欲使卡车通过隧道，应有y －⎝⎛⎭⎫－a4＞3， 即a 4－2a＞3. ∵a ＞0，∴a ＞12.21.∴a 应取13. 三、探究与创新13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且AF ＋BF ＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 则其准线为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF ＋BF ＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的垂直平分线上， ∴QA ＝QB ， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x .。

【关键字】数学第2章圆锥曲线与方程1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质(1)曲线与方程：如果曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．3．直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，与圆锥曲线D的方程联立可得(消去y)ax2＋bx＋c＝0(*)．(1)当a≠0时，若关于x的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．(2)当a＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点．1．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单．例1 双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．答案(1,3]解析如图所示，由PF1＝2PF2知P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝，又PF1＝2PF2，∴PF1＝，PF2＝，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝－＝－，∵0<∠F1PF2≤π，且当点P是双曲线的顶点时，∠F1PF2＝π，∴－1≤cos∠F1PF2<1，∴－1≤－<1，由e>1，解得1<e≤3.跟踪训练1 抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是________．①x1，x2，x3成等差数列②y1，y2，y3成等差数列③x1，x3，x2成等差数列④y1，y3，y2成等差数列答案①解析如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知：AF＝AA′，BF＝BB′，CF＝CC′.∵2BF＝AF＋CF，∴2BB′＝AA′＋CC′.又∵AA′＝x1＋，BB′＝x2＋，CC′＝x3＋，∴2(x2＋)＝x1＋＋x3＋⇒2x2＝x1＋x3.2．分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的东西不能进行统一研究时，我们就需要对研究的东西进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论．例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±x ，求此双曲线的离心率． 解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得＝， ∵c2＝a2＋b2，∴e2＝2＝＝1＋＝， ∴双曲线的离心率e ＝；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝. 故双曲线的离心率为或.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P(2，－6)； (2)椭圆过点P(3,0)，且e ＝.解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)． 由已知得a ＝2b.①∵椭圆过点P(2，－6)，∴＋＝1或＋＝1.② 由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又ca ＝63，∴c ＝ 6. ∴b 2＝a 2－c 2＝3.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3.又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.3．函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．例3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a . 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .②将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， 且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴AB ＝k 2＋1x 1－x 22＝k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b .∵AB ＝22， ∴2·4b 2－4a ＋b b －1a ＋b ＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b.∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532(a >0)，得a ＝3.4．化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性．例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA ＋MF 取最小值时，点M 的坐标为________． 答案 (12，－2)解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知MF ＝ME . 当点M 在抛物线上移动时，MF ＋MA 的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线，此时ME ＋MA 最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M (12，－2)．跟踪训练4 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当AM ＝AN 时，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又AM ＝AN ，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. (ⅱ)当k ＝0时，AM ＝AN ，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点．2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．3．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线．考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题．4．考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程．5．对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

1．要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换．2．正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．3．有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．5．在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．6．否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p ，结论q ，改写成“若p ，则q ”的形式再判断.题型一 充分条件与必要条件的理解及判断方法例1 已知p ：－2<m <0,0<n <1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正实根．试分析p 是q 的什么条件．解 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正实根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1， 有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，故⎩⎪⎨⎪⎧0<－m <2，0<n <1，即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，那么方程变为x 2－13x ＋12＝0，则Δ＝19－4×12<0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p q . 综上所述，p 是q 的必要不充分条件．跟踪演练1 已知p ：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． (1)若m ＝1，则p 是q 的什么条件？ (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 (1)因为p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x －10≤0＝{x |－2≤x ≤10}， q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}＝{x |0≤x ≤2}，显然{x |0≤x ≤2}{x |－2≤x ≤10}，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)由(1)，知p ：{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，1－m ＝－2与1＋m ＝10不同时相等.解得m ≥9，即m ∈[9，＋∞)．题型二 命题的否定与否命题例2 写出下列命题的否定．(1)所有人都晨练；(2)∃x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数． 解 (1)“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”．(2)“∃x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数”的否定是“∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数”． 跟踪演练2 写出下列命题的否命题，并判断其真假．(1)若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实根；(2)若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是奇数．解 (1)若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实根，假命题．(2)若x ，y 不都是奇数，则x ＋y 不是奇数，假命题．题型三 等价转化思想对于含有逻辑联结词“非”的充分、必要条件的判断，往往利用“原命题与逆否命题是等价命题”进行转化．例3 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴实数m 的取值范围是m ≥9.方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴实数m 的取值范围是m ≥9.跟踪演练3 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，若p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解 函数y ＝a x 在R 上单调递减知0＜a ＜1，由p 真知0＜a ＜1，不等式：x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，即y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又∵x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ， x ≥2a ，2a ，x ＜2a ， ∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ，故要使解集为R ，只需2a ＞1，∴a ＞12，∴q 真时a ＞12；若p 真且q 假，则0＜a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a 的取值范围为0＜a ≤12或a ≥1. 题型四 分类讨论思想若命题“p ∨q ”“p ∧q ”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p ∨q ”“p ∧q ”的真假情况分类讨论参数的取值范围．例4 已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p 、q 一真一假，求m 的取值范围．解 若p 真，则Δ1＝m 2－4＞0且m ＞0，即m ＞2；若q 真，则Δ2＝16(m －2)2－16＜0，即1＜m ＜3；若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3，即m ≥3；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，即1＜m ≤2.综上，m 的取值范围是{m |1＜m ≤2或m ≥3}．跟踪演练4 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解 p 真：Δ＝(－a )2－4×4≥0，∴a ≤－4或a ≥4.q 真：－a 4≤3，∴a ≥－12. 由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假．当p 真q 假时，a <－12；当p 假q 真时，－4<a <4.综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．1．对于命题的判断问题，在高考中往往涉及多个知识点综合进行考查．考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何初步等诸多内容，得到命题者的青睐．该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系．体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求．解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为判断它的逆否命题来解决．2．充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径，是高考重点考查的内容，往往在不同知识点的交汇处进行命题，考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容．通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解．3．逻辑联结词在近几年的高考试题中经常出现，主要是含有逻辑联结词的命题的真假判断问题，所以正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有逻辑联结词的命题的真假判断方法，熟记规律：已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相反．另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．4．解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真．。

曲线与方程2.6.1 曲线与方程课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示通过两曲线的交点的曲线．1．一般地，在直角坐标系中，若是某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解成立如下关系：(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．2．若是曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.一、填空题1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x ′，y ′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x ′，y ′)＝0表示的曲线是________________．3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．①y ＝x ，y x＝1； ②y ＝x ，y ＝x 2；③|y|＝|x|，y ＝x ；④|y|＝|x|，y 2＝x 2.4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线通过点A(0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．若是曲线C上的点的坐标知足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)①曲线C的方程是F(x，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标不知足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上；④坐标知足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上．二、解答题9．(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为何？(2)设A(2,0)，B(0,2)，可否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为何？10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．能力提升11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若是动点P知足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.1．判断方程是不是是曲线的方程要验证两个方面．2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x ，y)的关系． § 曲线与方程2． 曲线与方程知识梳理1．(1)曲线C 上点的坐标(x ，y ) (2)曲线C 的方程 方程f (x ，y )＝0的曲线2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠0作业设计1．与l 平行的一条直线解析 方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．2．过A 点与圆C 同心的圆解析 由点B (x ′，y ′)在圆上知f (x ′，y ′)＝0.由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．3．④解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线； ④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．4．必要不充分解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必需同时知足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.5．2解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2.∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.7．16－83 28．③解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法③.特值方式：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．9．解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因此在直线l上的点的坐标都知足|y|＝1，可是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．所以|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部份．(2)由方程x＋y－2＝0知，当x＝4时，y＝－2.故点(4，－2)的坐标是方程x＋y－2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB上．∴x＋y－2＝0不是线段AB的方程．10．解①x∈R，y≥0，②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.∴曲线关于y轴对称．④当x≥0时，有y＝|x－1|，此时，若x≥1，则y＝x－1，若0≤x<1，则y＝1－x.先画出图象在y轴右边的部份，再按照图象关于y轴对称，即可取得方程的曲线，如图所示．11．4π12．证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。

2．6.3 曲线的交点[学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．[知识链接]1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点．2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引]1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|.要点一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解 依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6，②①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k >63或k <－63时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±63时，直线与曲线仅有一个公共点；当3k 2－2<0，即－63<k <63时，直线与曲线没有公共点．规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系．跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，①②①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．(2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝12(x 1－x 2)，弦长为AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝145(a 2－8a ).∵AB ＝15， ∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12. ∴所求抛物线方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|及公式|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |较为简单． 跟踪演练2 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1、x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.要点三 与弦的中点有关的问题例3 抛物线y 2＝8x 上有一点P (2,4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程． 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)．∵F 为△PQR 的重心，∴QR 的中点为M (2，－2)，如图所示．设Q (x 1，y 1)、R (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2，②①－②，得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝－4，∴直线QR 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝8－4＝－2.∴QR 所在直线的方程为y ＋2＝－2(x －2)， 即2x ＋y －2＝0.规律方法 本题设出Q 、R 的坐标，得出y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．跟踪演练3 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，求直线l 的方程．解 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，又因为y 1＋y 2＝4，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.所以直线l 的方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 答案3－1解析 2a ＝c ＋3c ，e ＝ca＝3－1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2a ＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33.3．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝53，则此双曲线的方程是____________．答案 y 236－x 264＝1解析 焦点坐标为(0,10)， 故c ＝10，a ＝6，b ＝8.4．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而AB ＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0时，若消去y ，得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，这时，要考虑a ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a ≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．2．求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，设其两根为x 1，x 2，则P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(b 2a 2－4ca).3．求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)．即设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1上两点，P 0(x 0，y 0)是弦P 1P 2的中点，则由mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1相减，得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，从而kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝－mx 0ny 0.一、基础达标1．若直线l 过点(3,0)且与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线共有________条． 答案 3解析 有两条与渐近线平行的直线：y ＝±23(x －3)，另外，还有一条切线x ＝3.2．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________． 答案255解析 由交点坐标为(1,2)，求得a 、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为255.3．曲线x 2＋y 2＝9与曲线x 2＝8y 的交点坐标是________． 答案 (±22，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝9，x 2＝8y ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝±22，∴交点坐标为(±22，1)．4．过点(0,1)且与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有______条． 答案 3解析 一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条． 5．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.6．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为________．答案 相交解析 因为直线过的定点(1,1)恒在椭圆内，所以，直线与椭圆相交．7．如图，斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A 、B两点，求弦AB 的长．解 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×(83)2－4×5×85＝85.二、能力提升8．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为________． 答案 9或19．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是____________．答案 (－23，13)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0，所以x 1＋x 2＝－43，所以弦的中点的横坐标为－23，代入y ＝x ＋1，得中点坐标是(－23，13)．10．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则AB ＝________. 答案 3 2解析 设AB 的方程为y ＝x ＋b ，与y ＝－x 2＋3联立得： x 2＋x ＋b －3＝0，∴Δ＝1－4(b －3)>0，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3.∴AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫－12，b －12在x ＋y ＝0上： 即－12＋b －12＝0，解得b ＝1符合Δ>0，∴弦长AB ＝1＋1·1－4×(－2)＝3 2.11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点．设△AOB 的面积为S (O 为原点)，若S 的最小值为8，求此时的抛物线方程．解 如题干图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.又S △AOB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12·p 2·|y 1|＋12·p 2·|y 2|＝p 4(|y 1|＋|y 2|)≥p 4·2|y 1y 2|＝p 22.当且仅当|y 1|＝|y 2|＝p 时等号成立．故S min ＝p 22.由题意有p 22＝8，∴p ＝4.故所求的抛物线方程为y 2＝8x .12．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 如图所示，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k4，∴N 点的坐标为(k 4，k 28)．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 y －k 28＝m (x －k 4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0.∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8(mk 4－k 28)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行． (2)解 假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0， 则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB .由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·(k 2)2－4×(－1)＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0. 三、探究与创新13．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A (3,0)、B (0,3)，求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．解 线段AB ：x ＋y －3＝0(0≤x ≤3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－x 2＋mx －1.消去y ，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0.令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则方程f (x )＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－4×1×4>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝32－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103.故所求m 的取值范围为{m |3<m ≤103}．。