高中数学必修五 等比数列的前n项和

高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【一】教学目标熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学重难点熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学过程【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差(或公比)等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

一、基础训练1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ( )A、511B、512C、1023D、10242.若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为( )A、 B、C、 D、二、典型例题例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即最后一期)的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少?评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。

存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。

计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。

用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期(存期+1)利率]例2：某人从1999到2002年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2003年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元?例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从2000年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%.(lg2=0.3)例4、.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多?并求这一天的新患者人数.高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【二】整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用.等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用.等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具.在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律).培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能.新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务.这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决.如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜.掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.三维目标1.通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.2.通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养.3.通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观.重点难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题.教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了.“好吧!”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求.国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢?”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧!”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天!我哪来这么多的麦子?”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋.假定千粒麦子的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢?由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢?思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱?请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元.事实上，这是等比数列的求和问题，即S=14+12+1+2+…+221=?那么怎样求等比数列的前n项和呢?在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究.推进新课新知探究提出问题(1)回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?(2)对任意数列{an}，前n项和与通项an的关系是什么?(3)对首项为1的等比数列{an}，你能探究它的前n项和吗?(4)对任意等比数列{an}，怎样推导它的前n项和公式呢?你能联想到哪些推导思路?(5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒?对于Sn=1+2+22+…+2n-1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢?活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：an=a1，Sn-Sn-1，n=1，n≥2，还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列，且a1不一定满足由Sn-Sn-1=an求出的通项表达式.类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n项和呢?我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S=1+2+…+263=?让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和.通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化.再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和，即1，q，q2，…，qn-1的前n项和.观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减.但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究.经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个Sn=1+q+q2+…+qn-1错一个位，两边再同乘以公比q，那么相同的指数就对齐了.这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现.这样将Sn=1+q+q2+…+qn-1与qSn=q+q2+q3+…+qn两式相减就有(1-q)Sn=1-qn，以下只需讨论q的取值就可得到Sn了.在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+…+an，那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.这里要提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有Sn=a1-anq1-q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1，则有Sn=a11-qn1-q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个;后者出现的是a1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.对于等比数列的一般情形，如果q=1会是什么样呢?学生很快会看出，若q=1，则原数列是常数列，它的前n项和等于它的任一项的n倍，即Sn=na1.由此我们得到等比数列{an}的前n项和的公式：Sn=na1，q=1，a11-qn1-q，q≠1或Sn=na1，q=1，a1-anq1-q，q≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗?经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，再由合比定理，则得a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q，从而就有(1-q)Sn=a1-anq.当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1-anq1-q.思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an)，从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了Sn-Sn-1=an这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子.但要注意这里n≥2，也就是n的取值应使这个关系式有意义，若写Sn-1-Sn-2=an-1，则这里n≥3，以此类推.教师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它.(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量;(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q≠1，当q=1时，应按常数列求和，即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q=1与q≠1两种情况.讨论结果：(1)倒序相加法;(2)an=Sn-Sn-1(n≥2);(3)利用错位相减法;(4)利用an=Sn-Sn-1(n≥2);(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264-1(颗)，每千粒麦子按40 g计算，共约7 000亿吨.应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：(1)12，14，18，…;(2)a1=27，a9=1243，q<0.活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n项和公式的直接应用;第(2)小题已知a1=27，n=8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q<0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q既可为正数，又可为负数.本题中由条件可得q8=a9a1=1243×27，再由q<0可得q=-13.将所得的值代入公式就可以了.本例可由学生自己探究解答.解：(1)因为a1=12，q=12，所以当n=8时，S8=12[1-128]1-12=255256.(2)由a1=27，a9=1243，可得q8=a9a1=1243×27，又由q<0，可得q=-13，于是当n=8时，S8=271-1243×271--13=1 64081.点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n项和公式中共五个量：a1，an，q，n，Sn，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a1，q为最基本的两个量.同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质.例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答.本例可由学生自己完成.点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3个量就可以求出另外的2个量.变式训练设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}前7项的和为( )A.63B.64C.127D.128答案：C解析：∵a5=a1q4，∴16=q4.又∵q>0，∴q=2.∴S7=a11-q71-q=127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用.虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9=10-1,99=100-1,999=1 000-1，…，这样就容易解决了.点评：让学生体会本例中的转化思想.变式训练求和：2+22+222+…+ .解：原式=29(10-1)+29(102-1)+…+29(10n-1)=29(10+102+…+10n-n)=29[101-10n1-10-n]=2081(10n-1)-29n.例4求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n-1)an-1的前n项的和.活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{an•bn}型数列，且{an}是等差数列，{bn}是等比数列.根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和.教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写.解：当a=1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n-1)，则Sn=n[1+2n-1]2=n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1，①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an，②①-②，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an，(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2•a1-an-11-a=1-(2n-1)an+2a-an1-a.又1-a≠0，∴Sn=1-2n-1an1-a-2a-an1-a 2.点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论.在应用错位相减时，写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练等差数列{an}中，a2=8，S6=66.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{Cn}的通项为Cn=2n，求数列{anCn}的前n项和An.解：(1)由已知，得a1+d=8，a1+a662=66，解得a1=6，d=2.∴an=2n+4.(2)由题意，知anCn=(2n+4)•2n，∴An=6•21+8•22+10•23+…+(2n+4)•2n.①在上式中两边同乘以2，得2An=6•22+8•23+10•24+…+(2n+4)•2n+1.②①-②，得-An=6•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+4)•2n+1=4-(2n+2)•2n+1，∴An=(n+1)•2n+2-4.例5已知数列{an}中，a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，(a2-a1)，…，(an-an-1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了 .解：(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+13+(13)2+…+(13)n-1=32[1-(13)n].(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=32(1-13)+32[1-(13)2]+…+32[1-(13)n]=32{n-[13+(13)2+…+(13)n]}=32n-34[1-(13)n]=34(2n-1)+14(13)n-1.点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性.知能训练1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3等于( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶32.在等比数列{an}中，(1)已知a2=18，a4=8，求a1与q;(2)已知a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.答案：1.C 解析：∵S6∶S3=1∶2，由a11-q61-q+a11-q31-q=12，得q3=-12.∴S9S3=1-q91-q3=34.2.解：(1)由已知得a1q=18，a1q3=8.解这个方程组，得a1=27，q=23或a1=-27，q=-23.(2)根据题意，有a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6.方程两边分别相除，得a1q4-a1a1q3-a1q=156.整理，得2q2-5q+2=0.解这个方程，得q=2或q=12.当q=2时，a1=1;当q=12时，a1=-16.所以a3=4或a3=-4.课堂小结1.由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法;在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考.2.等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧.作业课本习题2—3 B组2、3.[设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想.为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活.本教案设计加强数学思想方法的训练.因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用.教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用.“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学.通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功.(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金?如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算呢?银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课.思路2.(习题导入)在等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则数列前15项的和S15为( )A.112B.312C.5D.15本题如果运用方程的思想，求数列{an}的首项a1和公比q之后再求S15，是一种常规思路，但运算量较大.可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解.具体解法如下：解析：设b1=a1+a2+a3=8;b2=a4+a5+a6=-4;…;b5=a13+a 14+a15，则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，公比为-12.故S15=S5′=b1+b2+b3+b4+b5=112.选A.由此展开本课的进一步探究.答案：A推进新课新知探究提出问题1回忆等比数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?需要注意什么问题?2比较等差、等比数列的前n项和公式，从推导方法到应用有什么不同?怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式?3利用等比数列求和的关键是什么?4你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗?5应用等比数列可解决哪些类型的实际问题?活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1的两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位;然后通过求Sn-qSn把相同项消去，达到简化的目的，最后解出Sn.这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q是否等于1，如果不确定，就应分q=1与q≠1两种情况或更多的情况进行讨论.等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法.为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n项和的性质.(1)若某数列的前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,1)，则{an}成等比数列.(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列;若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇=q.应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题.解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档.等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结.(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数.(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成.②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和.一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法;如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法;如果每项可写成两项之差一般可用拆项法;如果能求出通项，可用拆项分组法.(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍.(4)通项公式中含有(-1)n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论.讨论结果：(1)(2)(3)(5)略.(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法.例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台?(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.本例的解答应先根据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的知识解方程.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000，q=1+10%=1.1，Sn=30 000.于是得到5 0001-1.1n1-1.1=30 000，整理，得1.1n=1.6，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，用计算器算得n=lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型.从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大;另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情.变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13?解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a7=a1•q6=128×1.56=1 458(辆).(2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得Sn10 000+Sn>13.于是Sn=1281-1.5n1-1.5>5 000(辆)，即1.5n>65732，则有n-lg65732lg1.5≈7.5，因此n≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题.教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法.例3某教师购买安居工程集资房72 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款.签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清.如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元?(计算结果精确到百元.下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了.本例由教师与学生共同探究完成.解：设每年应付款x元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1+1.075+1.0752+1.0753+…+1.0759)元;购房余款10年后的本利和为[1 000×72-(28 800+14 400)]•1.07510=28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=28 800×1.07510，∴x=28 800×1.07510×1.075-11.07510-1≈4 200(元)，即每年应付4 200元.点评：解决本例的关键是建立等比数列模型.分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和.变式训练。

【等比数列前n项和】教学设计【教材分析】1.《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容。

2.《等比数列的前n项和》是在学生学习了有关数列的知识如等差数列概念及通项公式和等差数列的前n项和公式以及等比数列的概念，本课是为了进一步学习数列知识并且能够解决一类求和问题。

教材从设计情境问题开始展开，使得学生从解决实际问题体会错位相减的数学思想从而推广到等比数列前n项和公式的推导，在公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．教材由“知识传授”的传统模式转变成“以学生为主体”的参与模式，注重数学思想的渗透。

这一部分的知识在生活中有着广泛的应用，是解决理论和实际问题的数学工具，在数学学科中占据着重要的位置，也是学生学习专业知识必备的基础。

【学情分析】1.在之前，学生已经学习了等差数列及等比数列的相关知识，也学习了累加法，错位相减法，图像法等相关的推导方法，具备了一定的探究能力。

2.高一学生具有初步的自主探究能力，思维活跃，敢于猜想，在老师的引导下能够独立解决问题。

但学生缺乏冷静容易片面不严谨，不如丢掉q=1的特殊情况。

并且在推导过程中学生容易将等比数列前n项和的推导方法与之进行类比，要将此点突破。

【教学目标】1.知识与技能：通过情境设计引出等比数列求和问题，使学生理解用错位相减的推导方法推导出等比数列前n项和公式的过程，能活学活用，掌握公式的特点，并能在此基础上利用公式解决一些简单问题2.过程与方法：通过创设情景提出问题，鼓励学生合作讨论，自主解决问题，激发深入学习的欲望；通过组织学生分组探索，使得学生最大程度上灵活动脑，积极配合；通过例题讲解加强学生理解，巩固学习。

3.情感态度价值观：通过故事引入使学生自主探索，增加积极性，激发求知欲。

通过对公式推导方法的发现，让学生感受数学的博大精深，体验数学的乐趣并能树立学好数学的信心。

15.等比数列前n 项和教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.理解并掌握等比数列前n 项和公式.2.掌握等比数列前n 项和的性质，并能应用性质解决相关问题.教学过程一、等比数列前n 项和公式.1.等比数列前n 项和公式:________________________________注意事项：（1）n S 的求解，分1=q 和1≠q 两种情况，注意讨论.（2）等比数列共有5个量，知三求二.2.等比数列前n 项和的性质.（1）等比数列前n 项和公式)1(1)1(1≠--=q q q a S n n 可化为)1(1111≠⋅---=q q qa q a S n n ， 可知，若A Aq S nn -=（0≠A ），则{}n a 为等比数列. （2）{}n a 为等比数列，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-成等比数列（其中n S ，n n S S -2，n n S S 23-各项均不为0）.（3）若等比数列{}n a 共有2n 项，则q S S =奇偶.（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，对任意的*∈N n m ,有p m m p m S q S S +=+.（5）{}n a 是公比为q 的等比数列，n T 为数列的前n 项之积，则,...,,232n n n n n T T T T T 成等比数列. 二、等比数列前n 项和的应用.例1：设)(2...222)(1374*+∈++++=N n n f n ，则)(n f =__________.练1：在正项等比数列{}n a 中，811=a ，165=a ，求它的前5项和.例2：已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n =，等比数列}{n b 的通项公式为n n b 2=，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n S .例3：在等比数列{}n a 中，公比2=q ，前2012项的和902012=S ，则__________...2012642=++++a a a a练3：已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10=m S ，302=m S ，求m S 3.作业：等比数列{}n a 的前6项和216=S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，求通项公式n a .。

《等比数列的前 n 项和》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是“等比数列的前 n 项和”。

接下来，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“等比数列的前 n 项和”是高中数学必修 5 第二章数列中的重要内容。

等比数列在现实生活中有着广泛的应用，如金融领域的利息计算、生物种群的增长等。

而等比数列的前 n 项和公式则是解决这类问题的有力工具。

本节课是在学生已经学习了等比数列的定义、通项公式的基础上，进一步研究等比数列的前 n 项和。

通过本节课的学习，不仅能让学生掌握等比数列前 n 项和的公式推导方法，提高学生的逻辑推理能力，还能为后续学习数列的综合应用打下坚实的基础。

二、学情分析学生在之前已经掌握了等差数列的相关知识，具备了一定的数列学习经验和逻辑推理能力。

但是，等比数列的前 n 项和公式的推导过程相对复杂，需要学生具备较强的抽象思维和数学运算能力。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过类比、转化等数学思想方法，逐步理解和掌握公式的推导过程。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解等比数列前 n 项和公式的推导过程。

（2）掌握等比数列前 n 项和公式，并能熟练运用公式解决相关问题。

2、过程与方法目标（1）通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

（2）让学生经历从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法的应用过程，提高学生的数学思维能力。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过数学在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学生的数学应用意识。

四、教学重难点1、教学重点等比数列前 n 项和公式的推导及应用。

2、教学难点等比数列前 n 项和公式的推导过程中错位相减法的理解和运用。

五、教法与学法1、教法为了突出重点、突破难点，我将采用启发式教学法、探究式教学法和讲练结合法相结合的教学方法。

2.5 等比数列的前n 项和【教学目标】1.知识与技能：探索并掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题。

2.过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。

3.情感态度与价值观：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养学生的化简能力，在本节课的学习过程中培养合作交流、解决问题能力。

【教学重难点】教学重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题。

教学难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。

【教学过程】（一）新课导入给出数列：n 2,,2,2,232提问学生此数列是否为等比数列，如果是，那它的首项和公比分别是什么？那它的前n 项和又为多少呢？所以这节课就来探究此问题，引出本节课的课题。

（二）新知探究一般地，对于等比数列n a a a ,,21，它的前n 项和可以写n n a a a S +++= 21，由等比数列的通项公式，上式可以替换成1111-+++=n n q a q a a S ①小组合作探究，观察此式子的特征，让学生探讨如何化解此计算式从而得到n S .学生合作探究得出：将①式左右同时乘以q ，得到n n q a q a q a qS 1211+++= ②，①式和②式有1-n 个相同的项，所以通过两式相减就可以得到n n q a a S q 11)1(-=-，进而得 到qq a S n n --=1)1(1，这时1≠q ，当1=q 时，1na S n =. 师：这种两个式子错开一项的方法叫做错位相减法问：得到的两个前n 项和的公式是数学符号的形式，可不可以用文字语言刻画这两个式子呢？生：当公比不等于1时，等比数列的前n 项和为1减公比分之首项乘以1减公比的项数次方，当公比等于1时，等比数列的前n 项和为项数乘以首项通过对等比数列前n 项和公式和通项公式的观察，发现qq a S n n --=1)1(1可以替换为q q a a S n n --=11.由此学生得到等比数列前n 项和的另一个式子qq a a S n n --=11. （三）课堂练习师：通过刚才对等比数列的前n 项和公式的学习，可以解决开头所提到的问题，师生共同解答。

第五节 等比数列及前n 项和【基础知识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{2n a }，{a n ·b n }，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，S n ＝111(1)(1)(1)11n n na q a a q a q q q q =⎧⎪--⎨=≠⎪--⎩6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 难点正本 疑点清源 1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．【考点剖析】考点一：等比数列基本量的运算【题组训练】1．已知等比数列{a n}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.18【答案】C【解析】由{a n}为等比数列，得a3a5＝24a，又a3a5＝4(a4－1)，所以24a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{a n}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{a n}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1 B．－1 2C．1或－12D．－1或12【答案】C【解析】当q＝1时，a n＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，由21317,(1)=211a qa qq⎧=⎪⎨-⎪-⎩得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝71(12)12a--＝381，解得a1＝3..【名师微点】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝11(1)11n n a a q a q q q--=--. 考点二：等比数列的判定与证明例1．[典例精析]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 【证明】因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以1n n b b +＝211111112442242222n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===--- 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]等比数列的判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 考点三：等比数列的性质及应用例2．(1)已知等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A．12B．10C．8 D．2＋log35(2)设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C. 578D.558(3)已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【答案】(1)B(2)A(3)2【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3(a1a2 (10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18，所以a7＋a8＋a9＝1 8 .(3)由题意，得=240=80S SS S+-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶奇偶，，解得=80=160SS-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶，所以q＝160=80SS--偶奇＝2.[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．2.4 等比数列 基础练一、单选题1．在等比数列{}n a 中，201920168a a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．82．已知等比数列{}n a 中，2017a ，2019a 是方程2410x x -+=的两个根，则2018a =（ ）A ．1B ．±1C ．2018D ．1，2018 3．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且132,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．11,-2B ．1C ．1-2D ．-24．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b 为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知等比数列{}n a 满足112a =，且()24341a a a ⋅=-，则5a =（ ） A ．8B ．16C ．32D ．646．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题7．若,22,33x x x ++是一个等比数列的前3项，则第四项为_________．8．在等比数列{}n a 中，1132a =，当11n 时，1n a >恒成立，则公比q 的取值范围是______．9．已知数列{}n a 满足()*1111,3n n n a a n a a +==∈+N ，那么{}n a 的通项公式是___.三、解答题10．已知：n S 为{}n a 的前n 项和，且满足n n a S n +=.（1）求证：{}1n a -成等比数列； （2）求n a .2.5 等比数列的前n 项和基础练一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11{}n n a a +⋅的前6项和为（ ）A ．215 B ．415 C ．511 D ．1011 2．数列11111,2,3,424816…的前n 项和为（ ）A ．()211122n n n ++-B ．()1111122n n n +++-C ．()211222n n n ++-D ．()1112122n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭3．数列{}n a的通项公式为n a =n S 为其前n 项和.若9n S =，则n =（ ）A ．99B ．98C ．97D ．964．若数列{}n a 的通项公式为221n n a n =+-,则数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．221n n +-B ．1221n n ++-C ．1222n n ++-D ．222n n +-5．数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．2nn +B ．22nn + C ．1n n + D ．21nn + 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ）A ．3(1)2n n -++⨯B ．3(1)2n n ++⨯C ．1(1)2n n ++⨯D ．1(1)2n n +-⨯二、填空题7．已知数列｛a n ｝的通项a n =2n +n ，若数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，则S 8＝_________8．()()11114473231n n +++=⨯⨯-+ 9．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于_________．三、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．参考答案11．【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2019=8a 2016，∴q 3=8，解得q =2． 故选A ． 2．【答案】B【解析】∵2017a ，2019a 是方程x 2﹣4x+1=0的两个根，∴20172019a a =1，则在等比数列{a n }中，201720192018a a a =2=1，2008a ∴=±1故选B ． 3．【答案】A【解析】数列{}n a 是公比为q 的等比数列,132,,a a a 故3122a a a =+,由此解得112q =-， 故选A 。

等比数列的前n 项和公式教学重点： 掌握等比数列前n 项和通项公式及性质，理解等比数列前n 项和公式与函数的关系教学难点： 等比数列前n 项和通项公式的性质的应用1. 等比数列前n 项和通项公式设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12...n n S a a a =+++ （1） 当1q =时，1n S na = （2） 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--2. 等比数列前n 项和公式的性质（1） 等比数列中，连续m 项的和（如232,,,...m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（注意：公比1q ≠-）（2）{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ⇔=++=（3） mn m m n S S q S +=+（q 为公比）（4） 若等比数列的项数为()2k k N +∈，则S S偶/奇q = ；若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ，则S aS- 奇/偶q =3. 等比数列前n 项和公式与函数的关系（1） 当 1q =时，1n S na =是关于n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当1q ≠时，()0n n S Aq A A =-+≠是n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且11a A q=- （2） 当1q =时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是正比例函数1y a x =的图像上的一群孤立的点；当1q ≠时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是函数()0x y Aq A A =-+≠的图像上的一群孤立的点。

（3） 若n S 表示数列{}n a 的前n 项和，且()0,1n n S Aq A Aq q =-≠≠则数列{}n a 是等比数列。

类型一：等比数列前n 项和通项公式例1． 在等比数列{}n a 中，若189,2,96,n n S q a ===求1,a n 解析：由()1111,1n n n n a q S a a q q--==⋅-以及已知条件得()()111121891121111962962192,189211923232,63n n a n n n a a a a a n --=--=⎧⎪∴⋅=∴=-=-∴===∴=⎨⎪⎩答案：13,6an ==练习1. 在等比数列{}n a 中，若1346510,4a a a a +=+=，求4a 和5S 答案：45311,2a S ==练习2. 在等比数列{}n a 中，若42,1,q S ==求8S 答案：817S =例2.等比数列{}n a 中，已知333,9,a S ==求1a 和公比q解析：当1q =时，13313,39a a S a ====符合题意；当1q ≠时，由已知得()2311332191210,a a q a q S qq q ==-==-⎧⎪∴--=⎨⎪⎩ 解得12q =-或1q =（舍）1111121,3;,122a q a q a ∴=∴===-=答案：1111,3;,122q a q a ===-=练习3.已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 答案：()10313--练习 4.设公比为()0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 若224432,32,S a S a =+=+则q 为____ 答案：32类型二： 等比数列前n 项和公式的性质例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 解析：{}n a 是等比数列，1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列，又()210203030301010,30,30,7010S S S S -==∴-=∴=答案：70练习5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知368,7,S S ==则789a a a ++= （） A.18 B.18- C.578 D.558答案：A练习6.已知等比数列的前n 项和13,,n n S a n N ++=+∈则实数a 的值是（）A.-3B.3C.-1D. 1 答案：A类型三： 等比数列前n 项和公式与函数关系例4.若等比数列{}n a 中，前 n 项和2nn S a =+，则a =（）A.-2B.2C.1D.-1解析：由题意知，{}n a 为公比不为1的等比数列，因为2nn S a =+故101a a +=∴=-故选D 答案：D练习7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知481,17,S S ==求n S 答案：当2q =时，()12115nn S =- 当2q =-时，()12115nn S ⎡⎤=--⎣⎦ 练习8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为113,6n n S x -=⋅-则x 的值为_______ 答案：12例5.数列2211,12,122,...,122...2n -+++++++的前 n 项和等于（）A.12n n +- B.2n C.2n n - D.122n n +--解析：不妨设该数列为{}n a ，其前n 项和为n S ，则()()()()2112121231122...221...2121...21222 (22)2n n n n n n nn a S a a a n n-+=++++=-∴=+++=-+-++-=++++-=--答案：D练习9.已知数列{}n a 满足12...21,n n a a a +++=-则22212...n a a a +++= ____________答案：413n -练习10.122133434...344nn n n n ---+⋅+⋅++⋅+= ________________答案：1143n n ++-1. 已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512 D ．510 答案：D2. 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：C3. 已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1 答案：B4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．1 答案：A5. 若S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列答案：B6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A．6B．7 C．8 D．9答案：A7. 等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝() A．7B．8 C．15 D．16答案：C8. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35 C．49 D．63答案：C_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1. 在数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，则a 1，a 3，a 5( )A ．成等差数列B ．成等比数列C ．倒数成等差数列D ．不确定 答案：B2. 等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192 答案：B3. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158答案：C4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝27，则S 9＝( ) A ．81 B ．72 C ．63 D ．54 答案：C5. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.答案：156. 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______，前n 项和S n ＝______. 答案：2， 2n ＋1－27. 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________． 答案：－128. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 答案：249. 已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋a 10＋…＋a 3n －2. 答案：(1)设公差为d ，由题意，得a 211＝a 1·a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，又a 1＝25，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝25＋(－2)×(n －1)＝27－2n . (2)由(1)知a 3n －2＝31－6n ，∴数列a 1，a 4，a 7，a 10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列． 令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2 ＝n (25＋31－6n )2＝－3n 2＋28n .10. 在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和．答案：解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1q n －1，由已知条件得a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64， ∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去． 将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 24＝a 3·a 5＝64，∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8. 因为{a n }是实数列，所以a 6a 4＞0，故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4·a 6＝±16. 公比q 的值为q ＝a 5a 4＝±2，当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q ＝85.能力提升11. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90·(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 答案：C12. 已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C13. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2B ．73C ．83 D ．3答案：B14. 等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案： C15. 已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( )A ．7B ．9C ．63D ．7或63 答案：D16. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n )答案：C17. 等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n＝________. 答案：13(4n －1)18. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________. 答案：－6519. 等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( )A ．65B ．56 C ．20 D ．110答案：B20. 已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( ) A ．148 B ．149 C ．150 D ．151 答案：B21．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 也成等差数列，则a x ＋cy 的值__________． 答案：222. 将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案：n 2－n ＋6223. 设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 答案：(1)设公比为q (q >0)，∵a 1＝2，a 3＝a 2＋4， ∴a 1q 2－a 1q －4＝0， 即q 2－q －2＝0，解得q ＝2， ∴a n ＝2n .(2)由已知得b n ＝2n －1， ∴a n ＋b n ＝2n ＋(2n －1)，∴S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝2(1－2n )1－2＋[1＋(2n －1)]n 2＝2n ＋1－2＋n 2.24. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }的前n 项和．答案：(1)∵a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，即b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝1.故数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1，2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)2n ＋1.25. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .答案：(1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2，∴q ＝1不满足题意．∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q， 解得q ＝－12. (2)由(1)知q ＝－12， 又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3， ∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ]． 26. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 答案：(1)∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝72a 1(1－q 6)1－q ＝632， 解得q ＝2，a 1＝12. ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2.(2)b n ＝6n －61＋log 22n －2＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7，∴数列{b n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7 ＝－56n ＋12n (n －1)×7 ＝72n 2－1192n . 27. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝1，S 8＝17，求S n . 答案：设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 4)1－q ＝1a 1(1－q 8)1－q ＝17，两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16.∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115(1－2n )1－2＝115(2n －1)； 当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝－15[1－(－2)n ]1＋2＝115[(－2)n －1]． 28. 已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .答案：(1)∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ， ∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n 2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， ② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。

等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。

2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。

3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。

(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。