二项式定理
1．二项式定理：
011()()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r
n r
r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r
r n
T C a b -+=表示。 3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n
b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的
次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0
1
2
,,,,,,.r
n
n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系
数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *
+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *
-=-+-+++-∈L L
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)
k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n
n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n
n n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n
n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，
从而得到：02421321
11222
r r n
n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=
⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
00112220120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()
2
(1)(1),()
2
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n
C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n
C
-,12n n
C
+同时
取得最大值。
⑥系数的最大项：求()n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112
r r
r r A A A A +++≥⎧⎨
≥⎩，从而解出r 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；
例：12321
666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L
解：012233(16)6666n n n
n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，
123211221666(666)6
n n n
n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=
⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666
n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L
练：1231393 .n n
n n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n n
n n n n n S C C C C -=++++L ，则
122330122333333333331(13)1
n n n n
n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)141
33
n n n S +--∴==
题型二：利用通项公式求n x 的系数；
例：在二项式n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知2
45n n
C -=，即2
45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由
