大学物理经典系列之简谐振动

讨论: 竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？
例二 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧
振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
平衡点
小球 在受力平衡点 受弹性力大小
合外力
动力学方程
微分方程
的解：
振动方程 A
均与水平弹簧振子结果相同
由牛顿第二定律
mat mg
d2
ml
mg
dt2
令 2 g l
d2
dt2
2
0
T 2 2
l g
单摆运动学方程： mcots()
以弹簧振子为例
Fkx xAco st() vAsin(t)
E k1 2m v21 2m 2A 2si2(n t)
Ep1 2k2 x1 2k2 A co 2( st)
总机械能
当t = 0时, x0= 6cm, 且向x正方向运动。
求（1） 初位相。
（2）t =0.5s 时, 物体的位置、速度、加速度。
解：（1）由旋转矢量图看
t 0
1? 2 ?
3
3
1 12
0 2 x(cm)
（2）t =0.5s 时
xAcos(2T t)12cos(22 053)
10.4(cm )
v A s in (t)18.9(s1)
2
x
0
即简谐振动 的微分方程
m
m 该微分方程的通解
a2x xAcots()简 运谐 动振 学动 方的 程
d2x 2x
dt 2
A, 为求解时的积分常量，由初始条件决定。
k m
是由谐振子本身的性质决定的， 称为振动系统的固有角频率。
简谐振动的振动方程 A
A
简谐振动的速度
A
A
简谐振动的加速度
A
A
最大
最大
1 T
角频率 2 2
T
周期和频率仅与振动系统 本身的物理性质有关
3 相位
xAcots()
相位 ：
是界定振子在时刻 的运动状态的物理量
运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于
A
A
x xt图
A
o
Tt
T
wenku.baidu.comX A
2
初相 ：是
时，振子的相位。( 取 [ π π或][0 2 π)
所谓
，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。
2 k/m
振幅不变
EEkEp1 2kA 2A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
均随时间而变且能量相互转换
x,v
o
简谐运动能量图
xt 0 均随时间而变且能量相互转换
t 变到最大时
变到最大时
变变为为x 零零A cots
T 系统的机械能 v 守恒。t v 及 AAsin t
A
1.03 ( m ·s -2 )
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐振动方程
0.04
例一
1
2
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
= 2 / T = (rad /s )
0.04
SI
2
t=0 时
x0 Acos0
2
v0Asin0
二 单摆的振动
模型
在不能延伸的轻线下端悬一小球m，小 球在重力和拉力作用下，在铅直平面内 作往复运动，这样的振动系统称为单摆。
周期 T = 2 s，t = 0 时物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a
由简谐振动方程 x = A cos ( t﹢ )
t = 0 时 0.06 = 0.12 cos 得 =± / 3
再由题意知 t = 0 时物体正向运动，即
方法二，用旋转矢量法
由已知条件可画出t=0时振幅矢量，同时可画出，时刻 的振幅矢量图如图所示。由图可知，
(1) 3
(2)
tb
2
ta 0
(3)
ta
3
T
2
T 6
/2 /2/3 5
tb
2/T
T 12
［例］ 已知振动曲线求初相位及相位。
如图所示的x—t振动曲线，已知
振幅A、周期T、且t=0 时 x ，A 求：
A
0
且
，则 在第四象限，故取 = / 3
将 A = 0.12 m，T = 2 s , = 2 / T = rad ·s -1 ,
= / 3 rad及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得
x A cos ( t﹢ ) 0.104 (m)
A
0.19 ( m ·s -1 )
t+ t = 0 A
旋转角速度ω逆时针
x
角频率
ox
与x轴的0时刻夹角φ 初相位
x = A cos ( t﹢ )
t 时刻与x轴的夹角
( t﹢ ) 相位
A
A
11
续上 旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率
A
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
A t
t
旋转矢量端点 M 的加速度为
法向加速度，其大小为
解: E 1 0 .0 5 0 .5 J
A 2E 20.50.20m 4
k
24
t 0时
k 242(1/s) x A ,
m6
x0 .20 co 4 2 t s)(
例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅1.0102m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0ms2，求：
（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
（1）按振动规律分： 简谐、非简谐、随机振动。 （2）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。 （3）按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。 （4）按振动位移分： 角振动、线振动。 （5）按系统参数特征分： 线性、非线性振动。
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
大学物理经典系列之简谐振动
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
如：机械振动、电磁振动、分子振动、原子振动……。
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等.
机械振动的特点：
（1）有平衡点。 （2）且具有重复性。即具有周期性振动。
机械振动的分类：
x0.70c7m
描述谐振动的方法：
1. 函数法： xAcos(t)
2. 曲线法： 3. 旋转矢量法：
x A c o s ( t )
t=t
t+ t = 0
A
x
ox
: 初相位 t+ ：相位
x = A cos ( t﹢ )
A
A
11
t
2
t
物体x 正 越A c 过o s 原(点t, 以最)大速率运动. =下t个时刻要向 x 轴的负方向运动.
t+ t = 0
A
x
o
: 初相位 t+ ：相位
x = A cos ( t﹢ )0
A
A
11
t 物x 体 在A 负c o 向s (位t移 极) 大处, 速度为零. 下个时刻要向 x 轴的正方向运动.
: 初相位
t=t
t+
t=0
A
x t+ ：相位
o
x = A cos ( t﹢ ) A
A
A
11
最大
A
A
简谐振动定义
弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。
（1）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或 正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。
x = A cos(ωt + φ) （2）动力学定义：物体仅受下式的合力作用的振动 称为简谐振动。
F=-kx （3）简谐振动的运动微分方程
d2x / dt2+ ω2 x = 0
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
xA co t1s () xA co t2s ()
t
t2
t1
x
A
ab
tb
A2
t
x
o
A
v
π
A 0 A ta A
2
t π 3T1T
3
2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
平衡位置---铅直方向 F 0
悬线与铅直方向之间的角度θ作为小球 位置的变量，称为角位移，规定悬线在 铅直线右方时，角位移为正 。
任意位置 Fmsgin
悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。
Fmsgin
当θ很小时 sinθ ≈ θ ( θ ＜ 5 °)
恢复力 Fmg
符合简谐振动的动力学定义
例三 弹簧振子
m = 5×10 -3 kg k = 2×10 -4 N·m -1
t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·s -1
完成下述简谐振动方程
k m
0.2 (rad ·s –1)
x0 v0
2 (m)
已知 x0 = 0 v0
相应的旋转矢量图为 v0
2
0.2
(SI)
讨论 ➢ 相位差：表示两个振动状态相位之差 .
初始条件即为
时质点的运动状态
位置 速度
A A
4 常数 A和 的确定
xAcots()
v A si n t ()
或
ta n
k
v0
mx0
初始条件 t0xx0 vv0 A
x02
v02
2
x0 Acos
v0Asin 0
已知 t0,x0,v0求
sin0取 π
2
π
2
例四 某物体沿 X 轴作简谐运动，振幅 A = 0.12
x 1 A 1cot s1 )( x 2 A 2co t s2 )(
(t 2 ) (t 1 ) 21
0同步
x
π反相
x
超前
为其它
落后
x
o
o
t
to
t
［例］ 已知振动曲线求初相位及相位。
如图所示的x—t振动曲线，已知
振幅A、周期T、且t=0 时 x ，A 求：
(1)该振动的初相位；
2
(2)a、b两点的相位； (3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?
三 描写简谐振动的三个特征量
从描写简谐振动的运动学方程 xAcots()
中可看出，一个简谐振动系统，若确定了A、ω、φ，则 简谐振动系统的振动就完全确定了，因此称这三个量为 简谐振动的三个特征量。
1 振幅A
物体的运动范围
为：AxA，将
物体离开平衡位置 的最大位移的绝对 值称为振动的振幅。
X
-A
A
平衡位置
O
A
和
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
A t
A
X
任一时刻的 和 值， 其正负号仅表示方向。
同号时为加速 异号时为减速
O
X
A
A
振动质点位移、速度与特征点 (t=0时对应的φ)
v
xv x
x
x0>0时Φ在1,4象限 v0>0时Φ在3,4象限
x
v
x
x
xv x
例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2co2st
2
t Ek
1m2A2sin2t
2
例 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数 k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置 上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩 檫），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去 力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物 体的运动方程。
一 弹簧振子的振动
弹簧振子
若弹簧本身的质量和摩 擦力忽略不计，即只有 弹性恢复力作用下的质 点的模型称为弹簧振子
平衡位置
物体所受合力为零，物体所在位置称为平衡位置。
l0 k
m
A o
x
A
自然长度 l0 平衡位置(原点）
x0 F0
A
F
o
m
x
A
x
任意位置
a
Fk xmad2 x
k x 令 2 k dt 2
: 初相位
t+ t = 0
t=t
o
A
x t+ ：相位
x = A cos ( t﹢ )A
A
A
11
循环往复
A旋x 转 一A 周c ，o s 投(影t点 作一)次全振
动，所需时间为谐振周期。
T
2
t
o
: 初相位
t=0
A
x t+ ：相位
A
A
11
矢量 画法小结
t = t 旋转矢量的模 A 振幅
t
3
2
物体x 正 越A c 过o s 原(点t, 以最)大速率运动. 下个时刻要向 x 轴的正方向运动.
t+
o
t=t
: 初相位
t=0
A
x t+ ：相位
x = A cos ( t﹢ )0
A
A
11
物x 体 在A 正c o 向s (位t移 极) 大处, 速度为零.
t0 下个时刻要向 x 轴的负方向运动.
a A 2co s(t)103(cm s2)
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐振动方程
0.04
例一
1
2
t=0
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
= 2 / T = (rad /s )
0.04
SI
2
A
v0
=/2
A 从 t = 0 作反时针旋转时，
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，
即 v0 ，与 已知 X~ t 曲线一致。
2 周期和频率
（1） 周期
x xt图
A
o
Tt
T
完成一次振动需时间-----振动的周期。A
2
x(t)x(tT) A co t ) s A ( co ( t T s ) [ ]
T2
T 2
对弹簧振子： k
m
（2）频率
T 2π m k
对单摆
T 2 2 l
g
每秒内振动的次数称为频率ν，单位：赫兹（HZ）
解 （1） amaxA2
a max 20s1
A
T 2π 0.314s
（2） Ek,ma x1 2m vm 2 a x1 2m 2A22.0103J
（3） E Ek,max2.0103J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103J
由
Ep
1kx21m2x2
22
x2
2Ep
m 2
0.51 04m2