勾股定理讲解
知识点一：勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：a, b,斜边长为c,那么a + b2= cl即直角三
角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
要点诠释：(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
(3)理解勾股定理的一些变式：
c =a +b , a =c-b , b =c -a , c =(a+b) -2ab
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13;③8、15、17:④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ ABC中，/ C=90°
(1)已知a=6, c=10，求b, (2)已知a=40, b=9,求c; (3)已知c=25, b=15，求a. 【练习】：如图/ B=Z ACD90° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少
类型二：勾股定理的构造应用
例如图，已知：在胡BC中，= ，虫C = ，屈=30
求：BC的长.
【练习1】如图，已知: 」，二—二于P求证：』丄 :：.
，/ A=60°, AB=4, CD=2 求：四边形ABCD的面积。
D
练习】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某
题型三：旋转问题:
例 如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB=2「3,PC=4,求厶ABC 的边长.
练习 如图，△ ABC 为等腰直角三角形，/ BAC=90 , E 、F 是BC h 的点,
2 2 2
究BE 、CF 、EF 间的关系，并说明理由 题型四：关于翻折问题
例：如图，有一块直角三角形纸片，/
C=90°, AC = 6cm, BC= 8cm,
AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。
练习：如图，矩形纸片 ABCD 的边AB=10cm BC=6cm E 为BC 上一点, 矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
类型五：勾股定理的实际应用
例 如图，公路 MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点 A 处有一所中学， AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周 围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿PN 方向
行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是
18千米/小时，那
么学校受到影响的时间为多少?
类型六用勾股定理求两点之间的距离问题
例 如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发, 60°方向走了二•-二二到达B 点，然后再沿北偏西 500m 到达目的地C 点。
求A C 两点之间的距离。 确定目的地C 在营地A 的什么方向。
沿北偏东 方向走了 (1) (2)
D
工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
类型七用勾股定理求最短问题
【例题】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AE为4cm,EC是上底面的直径.一只蚂
蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
练习：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假
设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
型八：勾股定理及其逆定理的基本用法
若直角三角形两直角边的比是3: 4，斜边长是20,求此直角三角形
面积。
【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【练习2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
类型九：转化的思想方法
例如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC 边上的点，且DE± DF,若BE=12 CF=5.求线段EF的长。
、选择题（每小题2分，共26 分）
1.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）
A.可能是锐角三角形
B.不可能是直角三角形
C.仍然是直角三角形
D.可能是钝角三角形
2、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
一艘轮船以16海里/小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，同时另一轮船以
12海
里/小时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口
3小时后，则两船相距（
如图1,小方格都是边长为 1的正方形，则四边形 ABCD 勺面积是（
）
A. 25 B . 12. 5 C . 9 D . 8. 5
图1
填空题（每小题3分，共48分）
直角三角形的两直角边是 3,4,则以斜边长为直径的圆的面积是 ____________________ . 若|a-18 | + （ b-80 ） 2+ （c-82 ） 2=0,则以a , b , c 为三边长的三角形是 ________ . 如图4,学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出
“路”，他们仅仅少走了 ___________ 米路，却踩伤了花草。
某宾馆在重新装修后， 准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，
？已知这种地毯每平方米售
30元，主楼道宽2m 其侧面如图5,则购买地毯至少需要 ____________ 元.
A 4、、3
、,3 C 、2 3 D
4、 5、 A: 36海里
B : 48海里
C : 60海里
D : 84海里
若 ABC 中，AB =13cm, AC =15cm ，高 AD=12，则 BC 的长为（
）
A ： 14
B : 4
C : 14或4 D
:以上都不对
五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形 （
？如
图），
6、
图4
图3
