人教版平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷
一、解答题
1．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
2．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结
⊥，则
论：如图1，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC BD 2222
+=+．
AB CD AD BC
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE.已知AB=，求GE的长，请你帮助小明解决这一问题．
AC=，5
4
3．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．
（1）补全图形，并求证：DM＝CN；
（2）连接OM，ON，判断OMN的形状并证明．
4．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕
与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．（1）操作发现：
①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个三角形；
②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为．
（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23．
①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．
6．已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
△的形状，并说明理
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC
由．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．
（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．
∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点8．如图，ABC
∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线B、C重合），ADE
AC于点F，连接BE．
（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；
（2）当DE AB
⊥时，求四边形BCFE的周长；
（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说
明理由．
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
10．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意
．．取一点
F，在线段BC上任意
．．取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
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一、解答题
1．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2326
+
【分析】
（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在
Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，3，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（3x）2，解得
62
-
，推出62
+
BG=BN÷cos30°即可解决问题.
【详解】
