反比例函数综合题难题

反比例函数综合题（解答）

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一．解答题（共30小题）

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A

的双曲线y=

k

x

的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．

（1）填空：双曲线的另一支在第

三

象限，k的取值范围是

k＞0

；

（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？

（3）若

OD

OC

=

1

2

，S△OAC=2，求双曲线的解析式．

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2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）

在边AB上，反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=

1

2

．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

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3．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（-4，0）．

（1）求经过点C的反比例函数的解析式；

（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．

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4．如图，直线y=k1x+b与双曲线y=

k2

x

相交于A（1，2）、B（m，-1）两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞

k2

x

的解集．

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5．如图，一次函数y1=-x-1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=

k

x

图象的一个交点为M（-2，m）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B到直线OM的距离．

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6．如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2=

c

x

的图象

相交于B（-1，5）、C（

5

2

，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．

（1）求k、b的值；

（2）设-1＜m＜

3

2

，过点P作x轴的平行线与函数y2=

c

x

的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

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7．如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（-2，0）、

B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？

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8．已知反比例函数y=

1

x

的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，M n，则S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

n-

1

2n

．

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9．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；

（2）点N（a，1）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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10．如图，已知双曲线y=

k

x

经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作C

A⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

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11．如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=

5

13

．

探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=

12

，AC=

15

，△ABC的面积S△ABC=

84

；

拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）

（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；

（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围．

发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

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12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比

例函数y=

m

x

（x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数y=kx+3-3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定